Lista03 2015 Calc1

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Ca´lculo 1 - Insper - Lista 3 1
Lista 3 - Limites e continuidade
Nı´vel 1
E1) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.2 - pa´g. 117 a 119
◮ Exerc´ıcios 5 a 8
◮ Exerc´ıcios 37 a 40 e 42 a 45
◮ Exerc´ıcios 53 a 55
Nı´vel 2
E3) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.2 - pa´g. 120
◮ Exerc´ıcio 73
E4) Determine p e q para que a func¸a˜o g(x) =


−10, se x < −3
px+ q, se − 3 ≤ x ≤ 3
10, se x > 3
seja cont´ınua.
E5) Considere a func¸a˜o f(x) =
{
|x|
x
, se x 6= 0
b, se x = 0
.
a) Desenhe o gra´fico de f(x) para b = 0.
b) Existe algum valor de b para o qual a func¸a˜o f(x) seja cont´ınua em x = 0? Justifique.
Nı´vel 3
E6) Considere a func¸a˜o f(x) =
{
0, se x ∈ Z
1, se x 6∈ Z
, em que Z representa o conjunto dos nu´meros inteiros.
a) Calcule f(2) e f(pi).
b) Desenhe o gra´fico de f(x).
c) Calcule lim
x→2
f(x) e lim
x→pi
f(x).
d) A func¸a˜o f(x) e´ cont´ınua em x = 2? E em x = pi? Justifique.
e) Suponha que, na definic¸a˜o da func¸a˜o f , o conjunto Z fosse trocado pelo conjunto Q (conjunto dos nu´meros
racionais). Neste caso, existiria lim
x→2
f(x)? Justifique.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 3 2
E7) Pedro estava procurando um servic¸o de impressa˜o de co´pias coloridas na internet para fazer um trabalho,
quando um banner chamou sua atenc¸a˜o:
IMPRIMA MAIS E ECONOMIZE! 10 CO´PIAS COLORIDAS POR APENAS R$ 13,00
Animado com o anu´ncio, ele clicou no banner. O site da empresa trazia a tabela a seguir.
Impressa˜o COLORIDA em A4
Papel Quantidade de folhas R$
sulfite 75 g 1 a 5 1,50
sulfite 75 g 6 a 20 1,30
sulfite 75 g 21 a 50 1,20
sulfite 75 g acima de 50 1,00
Pedro resolveu analisar os dados e verificar as condic¸o˜es mais vantajosas para encomendar as impresso˜es.
Para isso, tentou elaborar ummodelo matema´tico que representasse o sistema de cobranc¸a da empresa. Chamou
de x a quantidade de folhas impressas e de P (x) o prec¸o pago, em reais, pela impressa˜o dessas x folhas.
Encontrando alguma dificuldade na tarefa, ele decidiu pedir a sua ajuda, que prontamente atendeu.
Atenc¸a˜o: Considere, ao elaborar o modelo, que x e´ um nu´mero real maior ou igual a zero.
a) Determine a expressa˜o matema´tica que define a func¸a˜o P (x). Como x e´ uma varia´vel real, voceˆ tera´ de
fazer algumas hipo´teses em relac¸a˜o aos valores indicados na tabela (o que ocorre com a func¸a˜o em valores na˜o
inteiros de x, como por exemplo, quando x = 5, 5?). Explicite as hipo´teses que voceˆ assumir.
b) Desenhe o gra´fico da func¸a˜o P (x).
c) Apo´s sua ajuda, Pedro solicitou a impressa˜o colorida de certa quantidade de folhas nessa empresa,
pagando R$ 60,00. Por sua indicac¸a˜o, seu amigo Jorge acabou encomendando, na mesma empresa, a impressa˜o
colorida de uma quantidade menor de folhas do que Pedro, mas acabou pagando os mesmos R$ 60,00.
c1) Calcule as quantidades pedidas por Pedro e Jorge.
c2) Usando argumentos matema´ticos, indique a caracter´ıstica da func¸a˜o P (x) que explica o compor-
tamento observado nas solicitac¸o˜es de Pedro e Jorge.
E8) Resolva o exerc´ıcio interativo que esta´ dispon´ıvel no seguinte link:
app.vc/C1L3
Voceˆ pode abrir o aplicativo em seu computador pessoal ou qualquer dispositivo mo´vel com sistemas opera-
cionais iOS ou Android. Basta inserir esse link em seu navegador (Chrome, Internet Explorer, Safari, etc.).
Nos smartphones, e´ poss´ıvel tambe´m adicionar o aplicativo a` sua tela.
Respostas
Nı´vel 2
E4) p = 10
3
e q = 0.
E5) a)
x
y
-1 0 1
-1
1
b
bc
bc
b) Na˜o, pois, para todo valor de b, na˜o existe lim
x→0
f(x).
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 3 3
Nı´vel 3
E6) a) f(2) = 0 e f(pi) = 1. b)
x
y
-2 -1 0 1 2
1
b b bbb
bc bc bcbcbc
c) lim
x→2
f(x) = 1 e lim
x→pi
f(x) = 1.
d) Na˜o e´ cont´ınua em x = 2, pois lim
x→2
f(x) 6= f(2).
E´ cont´ınua em x = pi, pois lim
x→pi
f(x) = f(pi).
e) Na˜o. Tomando-se qualquer vizinhanc¸a do ponto x = 2 e excluindo esse ponto, por menor que ela seja, sempre
encontraremos tanto nu´meros racionais quanto irracionais. Portanto, havera´ pontos onde a func¸a˜o assume o valor 0 e
pontos onde ela assume o valor 1, o que na˜o permite definir o limite.
E7) a) P (x) =


1, 50x, se 0 ≤ x ≤ 5
1, 30x, se 5 < x ≤ 20
1, 20x, se 20 < x ≤ 50
x, se x > 50
Para valores na˜o inteiros de x (por exemplo, x = 7, 5), a func¸a˜o segue a mesma lei estabelecida para valores inteiros,
respeitando-se os intervalos da tabela.
Como a tabela na˜o indica o que ocorre com a func¸a˜o P (x) quando 5 < x < 6, por exemplo, decidi incorporar tais valores
ao segundo intervalo da tabela (6 a 20). Segui o mesmo crite´rio nos demais intervalos.
b)
x
P (x)
6,50
7,50
24,00
26,00
50,00
60,00
5 20 50
bb
b
b
b
bc
bc
bc
c1) Pedro: 60; Jorge: 50
c2) A func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua no ponto x = 50. Assim, mesmo sendo crescente para todo x > 50, observa-se que
P (50) = P (60).
E8) O gabarito da atividade encontra-se no pro´prio aplicativo.