Lista10 2015 Calc1

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Ca´lculo 1 - Insper - Lista 10 1
Lista 10 - Derivadas de polinoˆmios
Nı´vel 1
E1) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.5 - pa´g. 154 e 155
◮ Exerc´ıcios 1, 3, 5, 7, 13, 23, 31, 41, 51 e 55
E2) Bittinger, Ellenbogen e Surgent - 10a. edic¸a˜o - Sec¸a˜o 1.4 - pa´g. 141 e 142
◮ Exerc´ıcios 5, 21, 25, 29 e 31
Nı´vel 2
E3) Estima-se que o nu´mero de alunos de uma escola seja dado por n(t) = −2t2 + 100t + 6000, em que t e´ o
tempo, em anos, decorridos desde o instante atual.
a) Obtenha, em func¸a˜o de t, a lei que expressa a taxa de variac¸a˜o do nu´mero de alunos da escola no instante
t.
b) Calcule a taxa de variac¸a˜o do nu´mero de alunos da escola no instante t = 8. O nu´mero de alunos estara´
aumentando ou diminuindo neste instante?
c) Qual sera´ a variac¸a˜o observada no nu´mero de alunos da escola no per´ıodo compreendido entre os instantes
t = 8 e t = 9?
d) Explique a diferenc¸a existente entre os valores obtidos nos itens b e c.
e) A partir de que instante o nu´mero de alunos da escola comec¸ara´ a cair?
E4) Considere a func¸a˜o g(x) =
{
x5, se x < 1
x2, se x ≥ 1 .
a) Construa o gra´fico de g.
b) A func¸a˜o g e´ cont´ınua em x = 1? Justifique.
c) Calcule lim
h→0−
g(1+h)−g(1)
h
e lim
h→0+
g(1+h)−g(1)
h
.
d) Existe o limite lim
h→0
g(1+h)−g(1)
h
?
e) A func¸a˜o g admite derivada no ponto x = 1?
E5) Considere a func¸a˜o h(x) =
{
x8, se x < 1
ax3 + 1− a, se x ≥ 1 .
a) Prove que a func¸a˜o h(x) e´ cont´ınua em x = 1 para todo valor real de a.
b) Calcule a de modo que a func¸a˜o h(x) seja deriva´vel em x = 1.
c) Desenhe o gra´fico de h(x) para o valor de a calculado no item b.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 10 2
Nı´vel 3
E6) Obtenha a equac¸a˜o de uma reta paralela a` reta y = 12x − 7 e que seja tangente ao gra´fico da func¸a˜o
f(x) = x3.
E7) Obtenha uma equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1,−3) e e´ tangente ao gra´fico da func¸a˜o g(x) = x2.
E8) A varia´vel t representa o tempo, em meses, decorrido desde a fusa˜o de duas empresas e a varia´vel P
representa o prec¸o, em reais, das ac¸o˜es da empresa X, resultante dessa fusa˜o, no instante t. O comportamento
de P pode ser bem descrito, para 0 ≤ t ≤ 15, pela equac¸a˜o
P (t) =
3t4 − 80t3 + 510t2 + 1800t + 6000
1200
.
a) Calcule a derivada primeira da func¸a˜o P (t).
b) De acordo com o modelo apresentado, o prec¸o das ac¸o˜es da empresa X, 6 meses apo´s a fusa˜o, encontra-se
esta´vel, em alta ou em queda? Justifique sua resposta.
c) Determine todos os instantes t, 0 ≤ t ≤ 15, para os quais a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o P (t) e´
horizontal.
Observac¸a˜o: Neste item, sera´ necessa´rio utilizar o dispositivo pra´tico de Briot-Rufini. Se voceˆ na˜o se lembrar
dos detalhes, consulte o cap´ıtulo de polinoˆmios do seu livro de Matema´tica da 3a se´rie do Ensino Me´dio.
d) Qual o significado dos resultados que voceˆ encontrou no item (c) para o prec¸o das ac¸o˜es da empresa X?
Respostas
Nı´vel 2
E3) a) n′(t) = −4t+ 100. b) 68. c) 66.
d) A taxa de variac¸a˜o calculada no item b corresponde a um instante espec´ıfico, t = 8. Ao longo do ano compreendido
entre t = 8 e t = 9 essa taxa na˜o se mante´m constante. Por isso, a variac¸a˜o real no nu´mero de alunos da escola e´ dada
pelo resultado do item c. No item b, temos apenas uma aproximac¸a˜o.
e) 25 anos.
E4) a)
x
y
-2 -1 0 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
b) Sim, pois lim
x→1−
g(x) = lim
x→1+
g(x) = 1 = g(1).
c) lim
h→0−
g(1+h)−g(1)
h
= 5 e lim
h→0+
g(1+h)−g(1)
h
= 2.
d) Na˜o, pois lim
h→0−
g(1+h)−g(1)
h
6= lim
h→0+
g(1+h)−g(1)
h
.
e) Na˜o, pois na˜o existe lim
h→0
g(1+h)−g(1)
h
.
E5) a) Temos que h(1) = a · 13+1− a = 1. Ale´m disso, lim
x→1−
h(x) = 18 = 1, lim
x→1+
h(x) = a · 13+1− a = 1 e, portanto,
lim
x→1
h(x) = 1. Como h(1) = lim
x→1
h(x), a func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 1, qualquer que seja a.
Ca´lculo 1 - Insper - Lista 10 3
b) 83 .
c)
x
y
-2 -1 0 1 2
1
2
3
4
Nı´vel 3
E6) y = 12x− 16 ou y = 12x+ 16.
E7) y = −2x− 1 ou y = 6x− 9.
E8) a) P ′(t) = 12t
3
−240t2+1020t+1800
1200
b) Como P ′(6) = 1, 56 > 0, conclu´ımos que o prec¸o esta´ em alta (ou seja, a func¸a˜o P (t) esta´ crescendo)
c) A reta tangente e´ horizontal nos instantes t = 10 e t = 5 + 2
√
10 ≈ 11, 3
d) Eles representam pontos onde a func¸a˜o P (t) para de crescer e comec¸a a cair ou para de cair e comec¸a a crescer.
Observe que P (11) < P (10) e P (12) > P (11). Assim, em t = 10, P (t) deixa de ser crescente e passa a ser decrescente e,
em t = 11, 3, P (t) deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.