3aProva_1455_2_2002

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
2o. Semestre de 2002 – 3a. Prova
11/03/03 – 14:55-16:35
Respostas sem justificativas na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1: Considere a matriz:
A =
0 1 11 0 1
1 1 0
 .
(a) Determine o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores de A.
(b) Para cada autovalor de A, determine uma base para o autoespac¸o associado e sua dimensa˜o.
(c) A e´ diagonaliza´vel ? Por queˆ?
(d) Se poss´ıvel, encontre uma matriz diagonal D e uma matriz invert´ıvel P tais que D = P−1AP .
Se na˜o for poss´ıvel, explique o motivo.
(e) Se poss´ıvel, encontre uma matriz diagonal D e uma matriz ortogonal P tais que D = P−1AP .
Se na˜o for poss´ıvel, explique o motivo.
Questa˜o 2: Considere a equac¸a˜o do segundo grau
5x2 − 6xy + 5y2 + 14
√
2x− 18
√
2y + 26 = 0.
(a) Encontre mudanc¸as de coordenadas para coloca´-la na forma padra˜o.
(b) Coloque-a na forma padra˜o e identifique a coˆnica representada pela equac¸a˜o.
(c) Ache as coordenadas do(s) foco(s) da coˆnica no sistema de coordenadas xy.
(d) Esboce a curva no sistema de coordenadas xy.
Questa˜o 3: Considere o sistema usual de coordenadas xy do plano, definido pela origem O e pela
base canoˆnica {i, j} e tambe´m o sistema x′y′ definido pela mesma origem e pela base
B = {(1, 1), (1, 0)}.
Se a reta r tem equac¸a˜o 2x′ + y′ − 1 = 0, qual e´ a equac¸a˜o de r no sistema usual?
O gabarito da prova sera´ colocado no site oficial de GAAL: http://www.mat.ufmg.br/gaal