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MTM5261 - A´lgebra I - Turma 03222 - 2013/01 Prof. Gilles Gonc¸alves de Castro Lista de exerc´ıcios 4 1) Verifique que as seguintes relac¸o˜es sa˜o de equivaleˆncia: (a) X = N× N, (a, b) ∼ (c, d) se a + d = b + c. (b) X = Z× Z∗, (p, q) ∼ (r, s) se ps = qr. (c) A anel, I subanel de A, a ∼ b se a− b ∈ A. 2) Definimos Z = N×N/ ∼ com a relac¸a˜o de equivaleˆncia dada no item (a) do exerc´ıcio 1. Defina as operac¸o˜es de soma e produto em Z pensando [(a, b)]“ = ”a− b e mostre que elas esta˜o bem definidas. 3) Defina a func¸a˜o f : N→ Z por f(a) = [(a, 0)]. Mostre que f(a + b) = f(a) + f(b) e f(ab) = f(a)f(b) para todos a, b ∈ N. 4) Definimos Q = Z × Z∗/ ∼ com a relac¸a˜o de equivaleˆncia dada no item (b) do exerc´ıcio 1. Defina as operac¸o˜es de soma e produto em Q pensando [(p, q)]“ = ”p/q e mostre que elas esta˜o bem definidas. 5) Defina a func¸a˜o f : Z→ Q por f(m) = [(m, 1)]. Mostre que f(m+n) = f(m) + f(n) e f(mn) = f(m)f(n) para todos m,n ∈ Z. 6) Em cada item, verifique se o subconjunto dado e´ ideal ou na˜o. (a) Q em R. (b) {0, 2, 4, 6} em Z8. (c) Z[x] em Q[x]. (d) Z em Z[i]. (e) {ni : n ∈ Z} em Z[i]. (f) Z× {0} em Z× Z. (g) {5n + 5m√2 : n,m ∈ Z} em Z[√2] (ver exerc´ıcio 1, lista 2). (h) O conjunto de todos os polinoˆmios de grau par junto com o po- linoˆmio nulo em Q[x]. 7) Dado um anel A qualquer, definimos a unitizac¸a˜o de A no exerc´ıcio 13 da lista 2. Mostre que A× {0} e´ ideal de A× Z. 1 8) Relembre que para um anel A e um elemento a ∈ A, 〈a〉 denota o ideal gerado por a. Suponha que A e´ um anel comutativo com unidade, mostre que 〈a〉 = aA := {ab : b ∈ A} e 〈a〉 = Aa := {ba : b ∈ A}. 9) As seguintes igualdades sa˜o verdadeiras ou falsas? (a) 〈x〉 = 〈3x〉 em Z[x]. (b) 〈x〉 = 〈3x〉 em Q[x]. (c) 〈1 + i〉 = Z[i] em Z[i]. (d) 〈 2 〉 = 〈 10 〉 em Z14. 10) Determine todos ideais de Z12 e verifique que todos sa˜o principais. 11) Encontre 〈√ 5 〉 e 〈 3 + √ 5 〉 em Z[ √ 5]. 12) Suponha que A seja um anel comutativo com unidade e que I, J sejam ideais de A. Mostre que se I ⊆ J enta˜o I e´ ideal de J . 13) Sejam A anel comutativo com unidade e I, J ideais de A. Mostre que I · J ⊆ I ∩ J . Deˆ um exemplo em que I · J 6= I ∩ J . 14) Sejam I, J,K ideais de uma anel comutativo com unidade A, mostre que I · (J + K) = I · J + I ·K. 15) Mostre que o nilradical de uma anel comutativo definido no exerc´ıcio 11 da lista 2 e´ um ideal. 16) Seja A anel comutativo com unidade. Dado a ∈ A definimos o aniqui- lador (em ingleˆs: annihilator) de a por Ann(a) = {r ∈ A : ar = 0}. Mostre que Ann(a) e´ um ideal de A. 17) Mais geralmente se I e´ um ideal de A, definimos o aniquilador de I por Ann(I) = {r ∈ A : ar = 0 ∀a ∈ I}. Mostre que Ann(I) e´ um ideal de A. 18) Sejam A anel comutativo com unidade e e idempotente, isto e´, e2 = e. Mostre que Ann(e) e´ um ideal principal. 19) Suponha que A seja um anel comutativo com unidade. Sejam a, b elementos na˜o divisores de zero, mostre que 〈a〉 = 〈b〉 se e somente existe existe um elemento invers´ıvel u ∈ A tal que a = ub. 2
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