Anéis e subanéis resumo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMA
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - PÓLO BARRA DA CORDA
Curso: Licenciatura em Matemática
 Aluna: marcely silva sarafim
Disciplina: ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
Professor: José Mairton Barros da Silva
ATIVIDADE – 7
BARRA DO CORDA
 2020
ANÉIS, SUB ANÉIS, CORPOS, HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS DE ANÉIS
Seja A um conjunto munido de duas operações, as quais 
chamaremos de adição e multiplicação e denotaremos respectivamente por 
“+” e “.” Dizemos que a estrutura algébrica (A ,+, .) é um anel se os 
seguintes axiomas são satisfeito s:
A estrutura algébrica (A,+) é um grupo comutativo
A estrutura algébrica ( A, .) é um semigrupo, isto é, x .(y.z) = (x.y).z, ∀
x.y,z ∈ A operação “.” é distributiva em relação à operação “+”, isto é, x.(y+z) = x.y+x.z e (y+z).x = y.x+z.x, ∀ x.y,z ∈ A.
Para ser chamado de anel um dado sistema matemático de um conjunto não vazio se compreender os seguintes aspectos.
i.(A,+) é um grupo abeliano, ou seja:
a.se a,b,c A, então a+(b+c) =(a+b)+c ( associatividade);
b. se a,b A, então a+b =b+a (comutatividade);
c. existe um elemento OA A tal que, qualquer que seja a A, a+ OA= a (existência de elemento neutro);
d. qualquer que seja a A, existe um elemento em A, indicado genericamente por – a, tal que a + (-a) = OA( existência de opostos).
ii. A multiplicação goza da propriedades associativa, isto é:
se a,b,c A, então a(bc) = (ab)c.
iii. A multiplicação é distributiva em relação à adição, vale dizer:
se a,b,c A, então a(b+c) = ab+ac e (a+b)c = ac+bc.
Pode-se simplificar a identificação de adição do anel com símbolo (+) e a multiplicação com um ponto (.). Se não houver possibilidade de confusão, esses símbolos poderão ser omitidos como: “Seja (A, +, .) um anel”
Propriedades imediatas de um anel
Seja (A, +, .) um anel.
a. As propriedades aqui reunidas são consequências do fato de que a adição é uma operação sobre A e de que ( A,+) é um grupo aditivo abeliano:
· O elemento neutro OA é único. Esse elemento é chamado zero do anel e, quando não houver possibilidade de confusão poderá ser indicado pelo símbolo 0.
· O oposto – a de um elemento A do anel é único.
· Se a1,a2,...an A, então – (a1+a2+...an) = (-a1) +(a2)+...+(-an). ( a comutatividade da adição foi usada).
· Se a A,então –(- a)= a.
· Se a + x = a + y, então x = y. Ou seja, todo elemento de A é regular para a adição. Ou, dito em outros termos, vale a lei do cancelamento da adição.
· A equação a + x = b tem uma e uma só solução: o elemento b + ( -a).
b. Se a A, então a . 0 = 0. a = 0.
Definição 2 ( diferenças em um anel): Sejam a, b A. Chama-se diferença entre a e b e indica-se por a – b o elemento a + (-b) A. Portanto, a –b= a +(- b).
e. Se a, b A, então a(b-c) = ab –ac e (a-b)c=ac-bc.
Alguns anéis importantes
i. Anéis numéricos
São os mais importantes. As operações são as usuais, cujas propriedades, como é bem conhecido, cumprem os axiomas da definição:
· Anel dos números inteiros: ( Z,+,.);
· Anel dos números racionais: (Q,+,.);
· Anel dos números reais: ( R, +,.);
· Anel dos números complexo: (C ,+,.).
ii. Anel das classes de resto módulo m
iii. Anéis de matrizes
Entre os exemplos de grupos de aditivos figuravam os das matrizes m x n sobre ZQR e C, todos comutativos. E entre os grupos multiplicativos, os grupos lineares de grau n, cujos elementos são as matrizes quadradas racionais, reais ou complexas inversíveis ( determinante não nulo), nenhum deles comutativo, exceto no caso em que n=1.
Iv Anéis de funções
· Zero do anel, como seria de esperar, é a função OA: Z Z definida por OA(x)=0.
Anéis finitos
Um anel (A,+,.) em que o conjunto A é finito chama-se anel finito. São finitos os anéis sempre que A é um anel finito e M um conjunto finito.
Subanéis
Sejam (A,+,.) um anel e L um subconjunto não vazio de A. Diz-se que L é um subanel de A se:
i. L é fechado para operações que dotam o conjunto A da estrutura de snel;
ii. ( L,+,.) também é um anel. (Naturalmente a adição e a multiplicação consideradas são as mesmas de A, porém restritas aos elementos de L.)
Proposição 1; Sejam A um anel e L um subconjunto não vazio de A. Então L é um subanel de A se, e somente, se a – b, ab L sempre que a,b L.
 Tipos de Anéis
A definição de anel é bastante aberta no que se refere à multiplicação. Por exemplo, há anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação e outros que não.
Da mesma forma, há anéis cuja multiplicação é comutativa r outros em que isso não acontece. Um exemplo é a multiplicação do anel dos inteiros goza da propriedade comutativa. E há outros aspectos em relação aos quais os anéis podem ser subdivididos.
Anéis comutativos
Definição: seja A um anel. Se a multiplicação de A goza da propriedade comutativa, isto é, se
 ab = ba
Para quaisquer a,b A, então se diz que A é um anel comutativo.
Anéis com unidade
Definição: Seja A um anel. Se A conta com elemento neutro para multiplicação, isto é, se existe um elemento 1A A, 1A ≠ 0A , tal que 
a. 1A = 1A . a = a
qualquer que seja a A, então se diz que 1A é a unidade de A e que A é um anel com unidade. Quando não houver possibilidade de confusão, poderemos indicar a unidade simplesmente pelo símbolo 1. 
Exemplo: Os anéis Z,Q,R e C cuja unidade é o número 1.
Definição: ( potências num anel): Seja A um anel com unidade. Se a A e n é um número natural, define-se an (potência n-ésima de A) por recorrência da seguinte maneira:
A0 = 1A e an+1 = ana (sempre que n ≥ 0)
Proposição: Seja A um anel com unidade. Se a A e m,n são números naturais, então: i) am an = am+n ;ii) (am)n = amn.
Definição: Sejam A um anel e L um subanel de A, ambos com unidade. Se 1A = 1B, diz-se que L é um subanel unitário de A.
Anéis comutativos com unidade
Definição: Um anel cuja multiplicação é comutativa e que possui unidade chama-se anel comutativo com unidade.
Exemplo: Os anéis numéricos Z,Q,R e C.
Anéis de integridade
Consideremos o anel dos inteiros Z e o anel ZZdas funções de Z em Z. Embora ambos, como já vimos, sejam anéis comutativos com unidade, eles diferem num ponto muito importante. Isso porque , enquanto no primeiro vale a lei do anulamento do produto, ou seja:
“SE a,b Z e ab = 0,então a = 0 ou b = 0”, no segundo isso não acontece. De fato, consideremos as funções f,g: Z Z definidas da seguinte maneira:
f(0) = 1 e f (x) = 0 sempre que x ≠ 0;
g (0) = 0 e g(x) = 1, sempre que x ≠ 0.
Definição: Seja A um anel comutativo com unidade. Se para esse anel vale a lei do anulamento do produto, ou seja, se uma igualdade do tipo ab =0A
em que a,b A, só for possível para a = 0A ou b = 0A, então se diz que A é um anel de integridade ou domínio.
Corpos
Seja K um conjunto não vazio sobre o qual podem ser definidas as operações binárias + e ×. A estrutura (K,+,×) é um corpo se:
1. (K,+) é um grupo abeliano;
2. (K−{0},×) é um grupo abeliano;
3. A operação×é distributiva em relação à operação +.
Exemplo: A estrutura (Z,+,.), em que Z é o conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação, não representa um corpo.
	Lembremos primeiro que a unidade e o zero de um anel com unidade são elementos diferentes.
Definição: Seja K um anel comutativo com unidade. Se U(K) = K*=K - 	 0 , 
então K recebe o nome de corpo. 
Proposição: Todo corpo é um anel de integridade
Proposição: Todo anel de integridade finito é um corpo.
Definição: Um objeto matemático constituído de um objeto não vazio K, uma adição e uma multiplicação sobre K recebe o nome de corpo: i) se K é um grupo abeliano no que se refere à adição; ii) se 0 indica o elemento neutro da adição, K*=K 0 é um grupo abeliano no que se refere à multiplicação; iii) se a multiplicação é distributiva em relação à adição.
HOMOMORFISMO E ISOMORFISMOS DE ANÉIS
Como no caso dos grupos, o papel dos isomorfismos de anéis, conceito central desta seção, é em essência o de separaros anéis em classes disjuntas, de maneira tal que as propriedades pertinentes à estrutura de anel deduzidas para um dos representantes de uma das classes possam ser estendidas para todos os outros anéis da mesma classe , apenas mudando-se convenientemente as notações (dos elementos e das operações).
HOMOMORFISMO DE ANÉIS
Definição: Dá-se o nome de homomorfismo de um anel ( A,+,.) num anel ( B,+,. )a toda aplicação f: A B tal que, quaisquer que sejam x, y A:
f(x+y) = f (x) + f(y) e f(xy) = f (x)f(y).
Nessas condições, para simplificar a linguagem, nos referiremos a f: A B como um homomorfismo de anéis. Quando se tratar do mesmo anel, o que pressupõe A=B, a mesma adição e a mesma multiplicação em A, tanto como domínio como contradomínio, então f será chamada de homomorfismo de A.
Se um homomorfismo é uma função injetora, então é chamado de homomorfismo injetor. E, se for uma função sobrejetora, de homomorfismo sobrejetor.
Proposições sobre Homomorfismo sobrejetor de anéis e suponhamos que A possua unidade. Então: i) f(1A) é a unidade de B e, portanto, B também é um anel com unidade; ii) se a A é inversível, então f(a) também o é e [f(a)]-1 = f(a-1).
NÚCLEO DE UM HOMOMORFISMO DE ANÉIS
Definição: Seja f: A B um homomorfismo de anéis. Damos o nome de núcleo de f, e denotamos por N(f) ( usa-se também a notação Ker(f),ao seguinte subconjunto de A: N(f)= {x A|f(x)=0B}
Vale observar que, como f(0A) = 0B (proposição 8), então 0A N(f). Logo,pelo menos o zero de A pertence ao núcleo de f.
ISOMORFISMO DE ANÉIS
Um isomorfismo é um homomorfismo bijetivo. Duas estruturas matemáticas são ditas isomorfas se há um mapeamento bijetivo entre elas.
Essencialmente, dois objetos são isomorfos se eles são indistinguíveis dado apenas pela seleção de sua característica, e isomorfismo é o mapeamento entre objetos que mostra um relacionamento entre duas propriedades ou operações.
Consideremos os anéis Z6 e Z2 x Z3 (produto direto),ambos constituídos de 6 elementos. À primeira vista, é difícil perceber algo em comum entre eles além da cardinnalidade: afinal, os elementos e as operações de um e de outro têm natureza diferente.