Equacoes Lineares 1 ordem

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Centro Universitário Univates 
Disciplina: Cálculo III Semestre: 2011/A 
Professoras: Adriana Belmonte Bergmann 
Marli Teresinha Quartieri 
 
3. Equações Lineares de Primeira Ordem 
Uma outra classe de equações diferenciais, facilmente 
reconhecível e prontamente solúvel (pelo menos, em princípio), é a das 
equações lineares de primeira ordem. 
 Uma equação é considerada linear de primeira ordem só se for 
da seguinte forma: 
𝑦′ + 𝑎 𝑥 𝑦 = 𝑏 𝑥 . (3.1) 
 O aspecto “primeira ordem” é óbvio; apenas derivadas de 
primeira ordem aparecem na equação. O aspecto “linear” depende do 
fato de o lado esquerdo envolver um operador diferencial que age 
linearmente no espaço das funções diferenciáveis. Grosso modo, uma 
equação diferencial é linear se 𝑦 e suas derivadas não forem 
multiplicadas entre si, nem elevadas a potências e não ocorrerem como 
argumentos de funções. Essa é uma idéia avançada que explicaremos 
em detalhe mais tarde. Por agora, o leitor deveria simplesmente aceitar 
que uma equação da forma (3.1) é linear de primeira ordem e que terá 
em breve uma receita para resolvê-la. 
Como usual, aprenderemos este novo método indo diretamente 
aos exemplos. 
 
 
Exemplo 1 – Considere a equação diferencial 
𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥 . 
Encontre a solução completa. 
Solução 
Tentaremos multiplicar ambos os lados da equação por alguma 
função que tome cada lado facilmente integrável. Existe um truque que 
sempre funciona: você multiplica ambos os lados por 𝑒 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 . 
Como muitos truques, este pode parecer sem motivação. Mas 
vamos tentar usá-lo e ver como funciona. Agora, 
 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 . 
[nesse ponto, poderíamos incluir uma constante de integração, mas isso 
não é necessário.] 
Assim, 𝑒 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
2
 . Multiplicando ambos os lados de nossa equação 
por este fator, obtemos 
𝑒𝑥
2
. 𝑦′ + 𝑒𝑥
2
. 2𝑥𝑦 = 𝑒𝑥
2
. 𝑥 
ou 
(𝑒𝑥
2
. 𝑦)′ = 𝑥. 𝑒𝑥
2
 . 
O último passo é um pouco surpreendente. Para uma equação linear de 
primeira ordem, é garantido que, se multiplicarmos por 𝑒 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 o 
lado esquerdo da equação acabará sendo a derivada de 
𝑒 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑦 . 
Agora, é claro, integramos ambos os lados da equação: 
2 
 
 (𝑒𝑥
2
. 𝑦)′ 𝑑𝑥 = 𝑥. 𝑒𝑥
2
𝑑𝑥 . 
Podemos fazer ambas as integrações: no lado esquerdo, simplesmente 
aplicamos o teorema fundamental do cálculo; no lado direito fazemos 
integração. O resultado é 
𝑒𝑥
2
. 𝑦 =
1
2
. 𝑒𝑥
2
+ 𝐶 . 
ou 
𝑦 =
1
2
+ 𝐶. 𝑒−𝑥
2
 . 
Observe que, como geralmente esperamos, a solução tem uma 
constante livre (porque a equação original era de ordem 1). Deixamos 
para você a verificação de que essa solução de fato satisfaz a equação 
diferencial. 
 
Resumo do Método 
Para resolver uma equação linear de primeira ordem 
𝑦′ + 𝑎 𝑥 𝑦 = 𝑏 𝑥 , 
multiplique ambos os lados da equação pelo “fator integrante” 𝑒 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 
e então integre. 
 
Exemplo 2 – Resolva a equação diferencial 
𝑥2𝑦′ + 𝑥𝑦 = 𝑥3 . 
 
Solução 
 Inicialmente, observe que essa equação não está na forma 
padrão (equação 3.1) das equações lineares de primeira ordem. Nós a 
colocamos na forma padrão multiplicando-a pelo fator 
1
𝑥2
 . Assim, a 
equação se torna: 
𝑦′ +
1
𝑥
𝑦 = 𝑥 . 
 Agora, 𝑎 𝑥 =
1
𝑥
 , 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 , e 𝑒 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 . 
Multiplicamos a equação diferencial por este fator. Na realidade, para 
simplificarmos os cálculos, nos restringiremos a 𝑥 > 0. Portanto, 
podemos eliminar os valores absolutos. 
 Logo, 
𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑥2 . 
Agora, como é garantido pela teoria, podemos reescrever esta equação 
como 
 𝑥. 𝑦 ′ = 𝑥2 . 
Integrando ambos os lados, obtemos 
 𝑥. 𝑦 ′𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑑𝑥 . 
 Agora, como é usual, podemos usar o teorema fundamental do 
cálculo no lado esquerdo e integrar diretamente no lado direito. O 
resultado é 
𝑥. 𝑦 =
𝑥3
3
+ 𝐶 . 
 
3 
 
Finalmente, nossa solução é 
𝑦 =
𝑥2
3
+
𝐶
𝑥
 . 
 
 Circuito em série 
Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a 
segunda lei de Kirchoff estabelece que a soma das quedas de voltagem 
no indutor (𝐿 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 ) e no resitor (iR) é igual à voltagem aplicada no 
circuito (𝐸(𝑡)). Veja a Figura 3.1: 
 
Figura 3.1 Circuito em série LR. 
 
Figura 3.2 Circuito em série RC. 
 
 
Obtemos assim, a equação diferencial linear para a corrente 𝑖(𝑡), 
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑖 = 𝐸(𝑡) , (1) 
onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, 
respectivamente. A corrente 𝑖 𝑡 é também chamada de resposta do 
sistema. 
A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por 
𝑞(𝑡)
𝐶
 , onde q é a carga do capacitor. Assim sendo, para o circuito em série 
mostrado na Figura 3.2, a segunda lei de Kirchhoff nos dá 
𝑅𝑖 +
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) . (2) 
Mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por 𝑖 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
 ; dessa forma 
(2) transforma-se na equação diferencial linear 
𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸(𝑡) . (3) 
 
Exemplo – Circuito em Série 
 Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no 
qual a indutância é ½ Henry e a resistência é 10 ohms. Determine a 
corrente i se a corrente inicial for 0. 
Solução 
De (1) vemos que é necessário resolver 
1
2
 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 10𝑖 = 12 , 
sujeita a 𝑖 0 = 0. Em primeiro lugar, multiplicamos a equação 
diferencial por 2 e, usando o fator integrante, 𝑒20𝑡 , obtemos 
𝑑
𝑑𝑡
 𝑒20𝑡 . 𝑖 = 24𝑒20𝑡 . 
Integrando cada lado da última equação e resolvendo-a, obtemos 
𝑖 𝑡 =
6
5
+ 𝑐𝑒−20𝑡 . 
Como 𝑖 0 = 0, temos que 0 =
6
5
+ 𝑐 ou 𝑐 = −
6
5
 . Assim sendo, a 
resposta é 
𝑖 𝑡 =
6
5
−
6
5
𝑒−20𝑡 . 
 
4 
 
 Problemas de Misturas 
Na mistura de dois fluidos, muitas vezes temos de lidar com equações 
diferenciais lineares de primeira ordem. No próximo exemplo, 
consideramos a mistura de duas soluções salinas com diferentes 
concentrações. 
 Exemplo – Inicialmente, 50 gramas de sal são dissolvidos em um 
tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada 
para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução 
bem misturada é então drenada na mesma taxa. Veja a Figura 3.3. Se a 
concentração da solução que entra é 2 gramas por litro, determine a 
quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de 
sal estão presentes após 50 minutos? E depois de um longo tempo? 
 (4) 
Figura 3.3 constante 300 l. 
 Solução 
 Seja 𝐴(𝑡) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante 
t. Para problemas desse tipo, a taxa de variação de 𝐴(𝑡) é dada por 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙
 − 
𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑑𝑒
𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙
 = 𝑅1 − 𝑅2 . (5) 
 
Agora, a taxa pela qual o sal entra no tanque é, em gramas por minuto. 
𝑅1 = (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛). (2𝑔/𝑙) = 6𝑔/𝑚𝑖𝑛 
e a taxa pela qual o sal sai é 
𝑅2 = (3 𝑙/𝑚𝑖𝑛). (
𝐴
300
𝑔/𝑙) =
𝐴
100
𝑔/𝑚𝑖𝑛 . 
Com isso, a equação (5) torna-se 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 6 −
𝐴
100
 , (6) 
a qual devemos resolver sujeita à condição 𝐴 0 = 50. 
 Como o fator de integração é 𝑒𝑡 100 , podemos escrever (6) como 
𝑑
𝑑𝑡
𝑒𝑡 100 . 𝐴 = 6𝑒𝑡 100assim 
𝑒𝑡 100 . 𝐴 = 600. 𝑒𝑡 100 + 𝑐 
𝐴 = 600 + 𝑐. 𝑒𝑡 100 . (7) 
Quando 𝑡 = 0 , 𝐴 = 50 , logo encontramos 𝑐 = −550. Finalmente, 
obtemos 
𝐴 𝑡 = 600 − 550. 𝑒−𝑡 100 . (8) 
Em 𝑡 = 50 , encontramos, 𝐴 50 = 266,41 gramas. Também, quando 
𝑡 → ∞ , podemos ver em (8) e na Figura 3.3 que 𝐴 → 600 . Claro que 
esperávamos isso; durante um longo período de tempo, a quantidade de 
sal na solução deve ser 
 300 𝑙 . (2 𝑔/𝑙) = 600𝑔 . 
 
5 
 
 Resfriamento 
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de 
temperatura 𝑇(𝑡) de um corpo em resfriamento é proporcional à 
diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante 𝑇𝑚 
do meio ambiente, isto é, 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚 ) , (9) 
em que k é uma constante de proporcionalidade. 
 
Exemplo – Quando um bolo é retirado do forno, sua 
temperatura é de 300℉. Três minutos depois, sua temperatura passa 
para 200℉. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 70 
graus, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for 
de exatamente 70℉ ? 
Solução 
 Em (9), fazemos a identificação 𝑇𝑚 = 70. Devemos então 
resolver o problema de valor inicial 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 70) , 𝑇 0 = 300 , (10) 
e determinar o valor de k para que 𝑇 3 = 200 . 
 A equação (10) é linear e separável. Separando as variáveis, 
temos 
𝑑𝑡
𝑇 − 70
= 𝑘 𝑑𝑡 
ln 𝑇 − 70 = 𝑘𝑡 + 𝑐1 
𝑇 − 70 = 𝑐2𝑒
𝑘𝑡 
𝑇 = 70 + 𝑐2𝑒
𝑘𝑡 . 
Quando 𝑡 = 0 , 𝑇 = 300; assim 300 = 70 + 𝑐2 𝑒 𝑐2 = 230. Logo, 
𝑇 = 70 + 230. 𝑒𝑘𝑡 . 
De 𝑇 3 = 200 , encontramos 
𝑒3𝑘 =
13
23
 𝑜𝑢 𝑘 =
1
3
ln 
13
23
 = −0.19018 . 
Então 
𝑇 𝑡 = 70 + 230. 𝑒−0,19018 𝑡 . (11) 
Notamos que (11) não fornece nenhuma solução finita para 𝑇 𝑡 = 70 
pois lim𝑡→∞ 𝑇 𝑡 = 70 . Intuitivamente, esperamos que o bolo atinja a 
temperatura de seu meio ambiente após um longo período de tempo. O 
que é um longo período de tempo? Claro que não devemos ficar 
perturbados com o fato de o modelo (10) não ser tão fiel à nossa 
intuição física. As partes (a) e (b) da Figura 3.4 mostram claramente 
que o bolo estará aproximadamente em sua temperatura ambiente de 
70℉ em cerca de meia hora. 
 
(a) 
 
 
T(t) T(minutos) 
75° 20,1 
74° 21,3 
73° 22,8 
72° 24,9 
71° 28,6 
70,5° 32,3 
 
(b) 
Figura 3.4 
6 
 
Exercícios 
I) Resolver as seguintes equações diferenciais: 
a) 𝑦′ +
4
𝑡
𝑦 = 2 
b) 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 𝑒−3𝑥 
c) 𝑦′ − 5𝑦 = 𝑒5𝑥 . cos⁡𝑥 
d) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑦 = 𝑒−2𝑥 , com 𝑦 2 = 0 
e) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 1 −
1
𝑥
 , com 𝑥 2 = 1 
f) 2𝑦′ = 𝑒
𝑥
2 + 𝑦 
g) 𝑦′ −
1
𝑥
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 
h) 3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 9𝑦 + 2𝑒−5𝑡 , com 𝑦 0 = 5 
i) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 4𝑥𝑒3𝑥 , com 𝑥 5 = 1 
j) 5
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 15𝑦 + 2𝑒8𝑡 , com 𝑦 0 = 2 
k) 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−
3
𝑥
𝑦 = 2𝑥2 , com 𝑥 5 = 1 
l) 𝑥𝑦′ = 𝑥2 + 3𝑦 , com 𝑦 1 = 2 
 
II) Resolver os seguintes problemas: 
1) Um objeto tendo uma temperatura de 90oF foi posto para dentro de um 
ambiente que estava a 60℉. Dez minutos depois o objeto esfriou para 86oF. 
Qual a temperatura do objeto após 15minutos? Quanto tempo deve passar 
para que o objeto esfrie para 65℉? 
2) Uma força de 300 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a 
indutância é de 6 henry e a resistência é de 5 ohms. Encontrar a corrente no 
instante t = 10, sabendo que 𝑖 0 = 0. 
3) Um tanque contém 500 litros de fluído no qual foram dissolvidos 40 gramas 
de sal. Uma salmoura contendo 1 grama de sal por litro é então bombeada 
para dentro do tanque a uma taxa de 5l/min; a solução bem misturada é 
bombeada para fora à mesma taxa. Encontrar o número de gramas de sal no 
tanque no instante 𝑡 = 30 minutos. 
4) Um copo de água a uma temperatura de 95℃ está colocado numa sala com 
uma temperatura constante de 21℃ . Supondo que a lei de resfriamento de 
Newton se aplica, e que em 1 minuto a temperatura do copo de água era 85℃, 
calcule quantos minutos levará para a água atingir uma temperatura de 51℃. 
 
7 
 
5) Um lingote de aço, cuja temperatura é de 1500℉ é colocado em um 
compartimento cuja temperatura é constante e igual a 90℉. Uma hora depois, 
a temperatura do lingote é de 1120℉ . Qual a temperatura do lingote 5 horas 
após ter sido colocado no compartimento? 
6) Um tanque contém, inicialmente, 60 libras de sal dissolvidos em 100 galões 
de água. Suponha que a água salgada contendo 4 gramas de sal por galão é 
acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto e a solução 
misturada é drenada do tanque à mesma taxa. Determinar a quantidade de sal 
no tanque no instante após 10 minutos. 
7) Uma força eletromotriz de 200 volts é aplicada a um circuito em série no 
qual a resistência é de 30 ohms e a capacitância é 10−2 farads. Encontrar a 
carga q(t) no capacitor se 𝑖 0 = 0,4 . Determinar a carga e a corrente em 10 
segundos. 
8) No instante inicial, um tanque contém 4 libras de sal dissolvidas em 120 
galões de água. Suponha que a água salgada contendo duas libras de sal por 
galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões/min, e a solução 
misturada é drenada do tanque à uma taxa de 4 galões por minuto. 
Determinar a quantidade de sal no tanque após 25 minutos. 
9) Uma força de 50 volts é aplicada a um circuito em série L-R no qual a 
indutância é de 8 henry e a resistência é de 6 ohms. Encontrar a corrente no 
instante t = 9, sabendo que 𝑖 0 = 0 . 
10) Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 100℉ em um quarto com 
temperatura constante de 0℉ . Se, após 20 minutos a temperatura da barra é 
de 50℉, determine: 
a) o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25℉; 
b) a temperatura da barra após 10 minutos. 
11) Um tanque contém inicialmente 200 galões de água pura. Num instante 
𝑡 = 0, a água salgada contendo 5 libras de sal por galão é acrescentada ao 
tanque a uma taxa de 10 galões por minuto e a solução misturada é drenada 
do tanque a mesma taxa. 
a) Quanto sal haverá no tanque num tempo arbitrário? 
b) Quanto sal haverá no tanque após 30 minutos?