Lista de exercícios

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Probabilidade e Estatística
1a Lista de Exercícios
1. Considere o experimento que corresponde a dois lançamentos consecutivos de um dado.
Sejam A e B os eventos definidos por:
A =“Obter no mínimo sete no total de pontos dos dois lançamentos”
B = “Obter no máximo quatro pontos em cada lançamento”
Determine P(A), P(B) , P(A ∩ B) e P(A ∪ B) .
2. Em uma cidade onde se publicam três jornais, A, B e C, constatou-se que, entre 1.000
famílias, assinam: A: 470; B: 420; C: 315; A e B: 110; A e C: 220; B e C: 140; e 75 assinam
os três. Escolhendo-se ao acaso uma família, qual a probabilidade de que ela:
(a) não assine nenhum dos jornais?
(b) assine apenas um dos três jornais?
(c) assine pelo menos dois jornais?
3. Ao final de determinado ano, na cerimônia de formatura da Escola de Engenharia havia
10 formandos de Elétrica, oito de Mecânica e sete de Civil. Estava disponível uma verba
para premiar com uma viagem três desses 25 formandos, a serem selecionados por sorteio.
Calcule a probabilidade de que:
(a) Todos os três sorteados sejam da área de Elétrica.
(b) Nenhum dos sorteados seja da área de Elétrica.
(c) Seja sorteado um formando de cada uma das três áreas.
4. Para promover as vendas de uma loja, a gerência resolveu oferecer um brinde para o
consumidor que fizesse a maior compra em valor ao longo do dia. Para isso a loja dispo-
nibilizou um total de 30 itens, dos quais 10 são bens de consumo duráveis e 20 são não
duráveis. O consumidor premiado terá direito a seis desses 30 itens por meio de um sorteio.
Qual a probabilidade de que, entre os itens sorteados:
(a) todos sejam duráveis?
(b) todos sejam não duráveis?
(c) seja mantida a proporção original entre duráveis e não duráveis, isto é, dois duráveis e
quatro não duráveis?
5. Elton decide montar uma lan house com oito microcomputadores. Para isso, equipa
todos eles com placas de rede de uma determinada marca. O que ele desconhece é que
50% das placas de rede dessa marca conseguem ultrapassar uma duração de 5.000 horas
e 30% duram entre 2.500 e 5.000 horas, enquanto que 20% tem uma vida útil inferior a
2.500 horas. Qual é a probabilidade de que quatro das placas instaladas por Elton durem
mais do que 5.000 horas, duas durem entre 2.500 e 5.000 horas e que as duas restantes
durem menos de 2.500 horas?
6. Em uma revendedora de automóveis, 70% dos veículos são novos e 30% são usados.
Entre os novos: 80% são da marca A, 10% da marca B e 10% da marca C. Já entre os
usados: 60% são da marca A, 30% da marca B e 10% da marca C. Se for sorteado ao
acaso um carro do estoque dessa revendedora:
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(a) Qual a probabilidade de que ele seja da marca A? E da marca B? E da marca C?
(b) Supondo que ele é da marca A, qual a probabilidade de ser um carro novo? E de ser
um carro usado?
7. A fábrica A produziu 4.000 lâmpadas, e a fábrica B, 6.000 lâmpadas. 80% das lâmpadas
de A são boas, e 60% das de B são boas também. Escolhe-se uma lâmpada ao acaso das
10.000 lâmpadas. Qual a probabilidade de que:
(a) seja boa, sabendo-se que é da marca A?
(b) seja boa?
(c) seja defeituosa e da marca B?
(d) sendo defeituosa, tenha sido fabricada por B?
8. A urna A contém 3 fichas vermelhas e 2 azuis, e a urna B contém 2 vermelhas e 8 azuis.
Joga-se uma moeda “honesta”. Se a moeda der cara, extrai-se uma ficha da urna A; se der
coroa, extrai-se uma ficha da urna B. Uma ficha vermelha é extraída. Qual a probabilidade
de ter saído cara no lançamento?
9. Marina quer enviar uma carta a Verônica. A probabilidade de que Marina escreva a
carta é de 8/10. A probabilidade de que o correio não a perca é de 9/10. A probabilidade
de que o carteiro a entregue é de 9/10. Dado que Verônica não recebeu a carta, qual é a
probabilidade condicional de que Marina não a tenha escrito?
10. A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1
a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a
probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A?
11. O governo de um país mantém um programa de financiamento para a aquisição da casa
própria. Porém, observa-se que em cerca de 25% dos financiamentos concedidos, o mu-
tuário não paga as prestações devidas. A experiência mostra que o não pagamento ocorre
principalmente quando o valor da prestação mensal corresponde a uma fração elevada da
renda familiar. A esse respeito, constatou-se que:
• entre os bons pagadores, em 80% dos casos a relação entre a prestação a ser paga
e a renda familiar é baixa;
• entre os maus pagadores, em 90% dos casos a relação entre a prestação a ser paga
e a renda familiar é alta;
(a) Qual a probabilidade de que um determinado mutuário seja um mau pagador, dado que
ele tem uma relação prestação/renda familiar alta?
(b) Admita agora que foi tomada a decisão de se conceder o financiamento somente nos
casos em que a relação prestação/renda familiar for baixa. Qual a porcentagem dos
casos em que será tomada uma decisão errada, ou seja, negar um financiamento para
um bom pagador ou conceder um financiamento para um mau pagador?
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12. Carlos vai viajar a serviço e terá de se hospedar em um quarto de hotel, que já foi
reservado à sua revelia. Como as vezes ele sofre de insônia, deseja se prevenir quanto
a essa possibilidade. Com base em experiências anteriores, Carlos conhece os fatores -
independentes entre si - que podem prejudicar o seu sono, com suas respectivas probabili-
dades de ocorrência: excesso de barulho (20%), excesso de luminosidade (30%), falta de
ventilação (40%) e ambiente empoeirado (50%). Qual a probabilidade de que:
(a) Nenhum desses problemas esteja presente?
(b) Pelo menos dois deles estejam presentes?
(c) Todos estejam presentes?
13. Um analista de uma empresa fotográfica estima que a probabilidade de que uma firma
concorrente planeje fabricar equipamentos para fotografias instantâneas dentro dos próxi-
mos 3 anos é 0,30. Se a firma concorrente tem tais planos, será certamente construída
uma nova fábrica. Se não tem tais planos, há ainda uma probabilidade de 0,60 de que, por
outras razões, construa uma nova fábrica. Se iniciou os trabalhos de construção de uma
nova fábrica, qual a probabilidade de que tenha decidido entrar para o campo da fotografia
instantânea?
14. Consideremos dois dados: um deles equilibrado (P(1) = P(2) =... = P(6)) = 1/6) e outro
viciado com P(1) = 1/2 e P(2) = . . . = P(6) = 1/10. Escolhe-se um dos dados ao acaso e se
efetuam dois lançamentos, obtendo-se dois uns. Qual a probabilidade condicional de que o
dado escolhido tenha sido o viciado?
15. Uma uma contém 4 bolas brancas e 6 bolas vermelhas; outra urna contém 3 bolas
brancas e 6 vermelhas. Passa-se uma bola, escolhida ao acaso, da primeira para a segunda
urna, e, em seguida, retiram-se 5 bolas desta última, com reposição. Qual a probabilidade
de que ocorram 2 vermelhas e 3 brancas nessa ordem?
16. Um certo programa pode ser usado com uma entre duas sub-rotinas A e B, dependendo
do problema. A experiência tem mostrado que a sub-rotina A é usada 40% das vezes e B é
usada 60% das vezes. Se A é usada, existe 75% de chance de que o programa chegue a
um resultado dentro do limite de tempo. Se B é usada, a chance é de 50%. Se o programa
foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade de que a sub-rotina A tenha
sido a escolhida?
17. Uma urna x tem 8 bolas pretas e 2 verdes. A urna y tem 4 pretas e 5 verdes, e a urna
z tem 2 verdes e 7 pretas. Passa-se uma bola de x para y. Feito isto, passa-se uma bola
de y para z. A seguir, retiram-se 2 bolas de z, com reposição. Qual a probabilidade de que
ocorram duas bolas verdes?
Respostas:
1) 7/12 4/9 1/12 17/18 2) (a) 0,19 (b) 0,49 (c) 0,32 3) (a) 0,0522 (b) 0,1978 (c) 0,2435
4) (a) 0,0004 (b) 0,0635 (c) 0,3672 5) 0,0945 6) (a) 0,74 0,16 0,1 (b) 0,7568 0,2432
7) (a) 0,8 (b) 0,68 (c) 0,24 (d) 0,75 8) 0,75 9) 0,5682 10) 0,5263 11) (a) 0,6 (b)17,5% 12) (a) 0,168 (b) 0,438 (c) 0,012 13) 0,4167 14) 0,9 15) 0,0171 16) 0,5
17) 0,066
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