Condução de calor em regime transiente

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Condução de calor em regime transiente 
 
 
Condições variam com o tempo 
 
1°) Temperatura na superfície de um sólido é alterada e a temperatura no 
interior do sólido começa a variar 
 
2°) Passa-se algum tempo antes que seja atingida a distribuição de 
temperatura estacionária 
 
O comportamento da temperatura dependente do tempo e da posição no 
sólido ocorre em muitos processos industriais de aquecimento e 
resfriamento 
 
A energia é transferida por convecção e radiação na superfície do 
sistema e condução no interior do sistema 
 
 
- O problema transiente pode ser resolvido através de duas análises 
considerando: 
1. A variação de temperatura no interior do sólido desprezível (variação 
com a posição) e somente há variação com o tempo 
 
2.A variação da temperatura do sólido com a posição e o tempo. 
 
Exemplos de aplicação: 
- tratamento térmico 
- lingote de metal quente removido de um forno e exposto a uma 
corrente de ar frio 
- produção de novos materiais com propriedades melhoradas 
 
 
 
 
1) Método da capacitância global 
(sólido com resistência interna desprezível) 
 
Sólido que é submetido à variação térmica repentina. 
 
Ex: Metal quente a temperatura Ti é imerso em um líquido a T (Ti>T) 
em t=0 
 
 
 
 
 Para t>0 a temperatura do metal decresce até alcançar T. 
 Isto se deve a convecção na interface sólido-líquido 
 
Considerando: 
 
1) temperatura do sólido é espacialmente uniforme em qualquer 
instante durante o processo, o que implica que o gradiente de 
temperatura dentro do sólido é desprezível 
 
2) da Lei de Fourier um gradiente desprezível implica a existência 
de um k infinito. 
 
Admite-se que a resistência interna a transferência de calor por condução 
dentro do sólido é muito pequena comparada à resistência externa entre a 
superfície e o meio (convecção) 
 
Esta aproximação é mais exata quanto maior for a relação entre a área 
superficial e o volume, ex: placas finas e fios. 
 
 
 
 
 
 
Balanço de energia no sólido 
 
Taxa de perda de calor do sólido = Taxa de variação da energia interna 
 
acsai EE
 
 
 
 
dt
)t(dT
Vc)T)t(T(hA 
 
 
Por conveniência se define: 
 
 T)t(T)t(
 
 
Substituindo resulta: 
 
 
tln
hA
Vc i 

 
 
Esta equação pode ser usada para determinar o tempo em que um sólido 
leva para atingir a temperatura T 
 
 
ou 










Vc
hA
texp
TTi
T)t(T
i 
 
 
Esta equação pode ser usada para calcular a temperatura do sólido no 
tempo t. 
 
 
 
O termo 

1

Vc
hA 
 
onde 

é denominada de constante de tempo térmica 
 
 







 
 1
texp
TTi
T)t(T
i
 
 
 
- A temperatura cai exponencialmente com o tempo, até alcançar T∞. 
- > , menor o tempo para alcançar T∞ e maior a taxa de decaimento de T 
- quanto maior a massa do corpo e seu calor específico, menor  e portanto 
mais tempo leva para aquecer ou resfriar 
 
 
 
 
Por analogia: 
 
R
hA

1 Resistência à T.C. por convecção 
e 
 
CVc 
 Capacitância térmica do sólido 
 
então =R C 
 
aumentando R ou C o sólido responderá mais lentamente às mudanças 
térmicas do meio e aumentará o tempo para alcançar o equilíbrio térmico. 
 
 
 
A energia total transferida Q é: 
 
 
t t dthAdt.QQ 0 0
 
 
substituindo  
 
dt)t
Vc
hA
exp(hAQ t i  0 
 
 
 
3>2>1 
 
 












 t
Vc
hA
expVcQ i  1
 
 
ou 
 
 –Q=Eac Q é + se o sólido experimenta um decréscimo na energia interna 
 Q é – se a energia interna aumenta (sólido é aquecido) 
 
 
 
Validade do método – para que condições o método pode ser aplicado 
 
Para uma placa com uma superfície mantida à T1 e de temperatura T2 outra 
exposta a um fluido com T. Fazendo um balanço na superfície: 
 
)TT(hA)TT(
L
kA
 221
 
 
Bi
k
hL
R
R
hA/
kA/L
TT
TT
conv
cond 


12
21
 
 
 
Número de Biot – Bi: 
Razão entre as resistências interna e externa. Dá a medida do decréscimo 
de temperatura no sólido relativo à diferença de temperatura entre a 
superfície e o fluido. 
 
 
 Bi=hL/k 
 
Se 
 - Bi<<1 é razoável assumir uma distribuição de temperatura 
uniforme no sólido em qualquer tempo durante o processo transiente. 
(T(x,t)T(t)) 
 
- Aumentando o Bi o gradiente de temperatura dentro do sólido é 
significativo T(x,t). 
 
- Bi>>1 o gradiente de temperatura no sólido é muito maior que entre 
a superfície e o fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para aplicá-lo testar se: 
 Bi = hLcond/k < 0,1 
 
onde Lcond é o “comprimento da condução”, que é definido para considerar 
outras formas geométricas, Lcond=V/A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometrias unidimensionais: todas com característica de simetria 
 
- Parede plana Lcond=L (espessura 2L) 
 
- Cilindro longo Lcond=r/2 
 
 
 - Esfera Lcond=r/3 
 
 
 
 
Número adimensional de Fourier – Fo 
 
Denominado tempo relativo 
 
2Lcond
t
Fo


 
 
Difusividade térmica 
pc
k

 
 (m²/s) 
Assim a equação pode ser escrita em função de Bi e Fo: 
 
 
 Fo.Biexp
TTi
T)t(T
i




 
 
 
A equação escrita com estes dois números generaliza a equação para 
diversos tipos geométricos. 
 
Os números de Bi e Fo caracterizam a análise transiente. 
 
 
Gradientes de temperatura no interior do meio não são desprezíveis 
 
- Determinação da distribuição de temperatura no interior do sólido como 
uma função do tempo e da posição 
 
Para unidimensional, k constante e sem geração 
 
 
)t,x(
t
T
x
T






1
2
2 
 
 
Especificar as condições inicial e de contorno 
 
- Para parede plana de espessura 2L (simetria geométrica e térmica na linha 
de centro) 
 
Condição inicial t=0 T(x,0)=Ti 
 
Condições de contorno x=0 
0


x
T (simetria) 
 
 x=L 
)T)t,L(T(h
dx
dT
k 
 
 
 
T=T(x,t,Ti,T,L,k,,h) 
 
Resolução: - métodos analíticos (separação de variáveis) 
 
- métodos numéricos 
 
 
Adimensionalizar as equações e condições permite: 
 
- diminuir a dependência da temperatura 
- arranjar as variáveis em grupos 
 
 
Temperatura adimensional 



TTi
TT
i
*


 
 
 
Coordenada espacial ou posição adimensional 
 
 
L
x
x* 
 L = semiespessura da parede plana 
 
 
Tempo adimensional 
2
*
L
t
Fot


 
 
 
Equação torna-se: 
 
Fox
*
*
*




 
2
2 
 
 
 
Condições de contorno: 
10 ),x( **
 
 
 
0


*
*
x
 
)t,(Bi
x
**
*
*
1 

 
 
 
)Bi,Fo,x(f **  
 
Para uma dada geometria a distribuição transiente de temperatura é uma 
função de x
*
, Fo e Bi. A solução não depende de valores particulares. 
 
A resolução envolve várias técnicas analíticas e numéricas, incluindo a 
transformada de Laplace e outras, método de separação de variáveis, 
método das diferenças finitas e dos elementos finitos. 
 
 
1) Soluções analíticas aproximadas: parede plana, cilindro longo e esfera 
 
Válidas paraFo > 0,2 
 
 
A) Parede plana 
 
- Temperatura 
 
)xcos()Foexp(C ** 1
2
11   
 
 
ou 
)xcos( **o
*
1 
 onde 



TTi
TTo
)Foexp(C*o
2
11 
 
 
 
C1 e 1 (em rad) são tabelados para cada geometria em função de Bi. 
 
 
- Quantidade total de energia que deixou a parede até um dado instante de 
tempo t 
 
 
)TTi(cVQo  
 Energia interna inicial da parede em relação 
à temperatura do fluido ou quantidade 
máxima de transferência de calor para 
tempo infinito. 
 
Q/Qo=qde total de energia transf. ao longo do intervalo de t/transf. máxima 
 
 
 
 
Ou 
*
o
o
sen
Q
Q 


1
11
 
 
 
 
B) Cilindro infinito – raio ro 
 
 
Idealização que permite utilizar a hipótese de condução unidimensional na 
direção radial. Razoável para L/ro>=10. 
 
)r(Jo)Foexp(C ** 1
2
11   onde Jo= função de Bessel tabelada 
 
 
ou 
)r(Jo **o
*
1 
 onde 



TTi
TTo
)Foexp(C*o
2
11 
 
 
 
)(J
Q
Q
*
o
o
11
1
2
1 



 onde J1= função de Bessel tabelada 
 
 
C) Esfera – raio ro 
 
)rsen(
r
)Foexp(C *
*
*
1
1
2
11
1 

 
 
 
ou 
)rsen(
r
*
*
*
o
*
1
1
1 

 
 onde 



TTi
TTo
)Foexp(C*o
2
11 
 
 
 )cos()sen(
Q
Q
*
o
o
1113
1
3
1 



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sólido semi-infinito 
 
- Idealização útil para muitos problemas práticos 
- Pode ser usado para determinar a resposta transiente perto da superfície 
do solo ou a resposta transiente aproximada de um sólido finito onde 
nos instantes iniciais a temperatura no interior do sólido ainda não foi 
afetada pelas alterações superficiais 
 
 
)t,x(
t
T
x
T






1
2
2 
 
Condição inicial t=0 T(,t)=Ti 
 
Condições de contorno 
 
Caso 1 - Temperatura constante na superfície: T(0,t)=Ts 
 
 
 Ts 
 
 
 x 
Caso 2 – Fluxo de calor constante na superfície: 
dx
dT
kq 
 
 
 
 q 
 
 
 x 
 
Caso 3 – Convecção na superfície: 
))t,(TT(h
dx
dT
k 0
 
 
 
 T 
 h 
 
 x 
 
 
Soluções analíticas aproximadas – resposta dentro do sólido diferente para 
cada situação: 
 
Caso 1 
 
 









t
x
erf
TsTi
Ts)t,x(T
2
 t em horas e x em metros 
 
Onde a função erro de Gauss erf é tabelada (Apêndice B2) 
 
t
)TiTs(k
q



 
 
 
 
 
Caso 2 
 














 

t
x
erfc
k
qx
t
x
exp
k
/tq
Ti)t,x(T 

24
2 2 
 
Sendo erfc(w)=1-erf(w) função erro complementar de erf (w) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso3- Convecção 
 
 








































k
Th
t
x
erfc
k
th
k
hx
exp
t
x
erfc
TiT
Ti)t,x(T 


 22 2
2 
 
 
 
Exemplo: