Estimação intervalo de confiança amostragem tamanho de amostra 2018

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ESTIMAÇÃO
INTERVALO DE CONFIANÇA
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Parâmetro e Estatística
Parâmetro - característica relacionada à população.
Estatística - característica relacionada à amostra.
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Estimação de Parâmetros
População
Amostra

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Estimação
População
Amostra
?
Conhecidas as estatísticas (amostra), estimar quais são os parâmetros (população).
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Propriedades Desejáveis de um Estimador
Não-tendenciosidade ou justeza: um estimador é justo (não tendencioso, não viesado; não viciado) se sua média (ou valor esperado) for o próprio parâmetro que se pretende estimar.
E( )=  = (média) E( )=  = (proporção) 
  (Xi – )2
 
 n – 1 
E( ) =


^
2
=
S2 =

^
2

2
E(s2) =
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Consistência
Um estimador é consistente se o aumento do tamanho da amostra leva a uma redução da variância.
Eficiência
Um estimador não-tendencioso (E1) é mais eficiente que outro estimador não-tendencioso (E2) se a variância de E1 for menor que a variância de E2.
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Eficiência
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
Não-tendenciosos
E1
E2
E3
Tendencioso
E1 é mais eficiente que E2
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Pontual Estima-se apenas um valor para o parâmetro.		 (p = )
Intervalar Estima-se um intervalo de valores onde deve-se encontrar o parâmetro (intervalo de confiança).
 (p = ± erro amostral)


Estimação de Parâmetros
Proporção e Média
Estimador pontual 

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Intervalo de Confiança (I C) Média ( conhecido): 
Relação entre o parâmetro  e a estatística 
[I. C.] =
População infinita
População finita
Estimação de uma média 
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Intervalo de Confiança Média ( desconhecido)
Normalmente, não se conhece o desvio padrão da população cuja média se deseja estimar. 
Então, utiliza-se um estimador pontual para o desvio padrão populacional.
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Intervalo de Confiança
Média 
( desconhecido)
s = Desvio padrão da amostra
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Intervalo de Confiança
Média 
( desconhecido)
Nesta situação, a distribuição correta a ser utilizada é a distribuição “t” de Student, com (n-1) graus de liberdade. (supondo que a população seja normal).
Obs: se a amostra for grande, pode utilizar-se a distribuição normal como aproximação.
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0
t

normal
Intervalo de Confiança
Média 
( desconhecido)
t
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Interv.Conf. Média ( desconhecido)
[I. C.] =
População infinita
População finita
^
^
^
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Limites do Intervalo
t - valor limite da distribuição t, para a probabilidade de erro , com (n-1) graus de liberdade.
tabela t.
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Exemplo
Na construção de um motor, o diâmetro dos cilindros é de grande importância. Em uma pesquisa feita com 5 blocos com 4 cilindros cada (20 furos), o diâmetro médio encontrado foi 82 mm e o desvio padrão 0,1 mm. Construir um intervalo com 95% de confiança para este parâmetro.
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Exemplo
n = 20 (19 graus de liberdade)
s = 0,1 mm
X = 82 mm
= 5% - da tabela: t19 = 2,093
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Exemplo
IC = IC =
LS = 82,05 mm
 LI = 81,95 mm
81,95 < m < 82,05 com 95% de confiança
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Intervalo de confiança para
a proporção
População com proporção p (desconhecida).
Amostra com n elementos e proporção p conhecidos.
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Distribuição Amostral da Proporção
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Intervalo de Confiança
Limites:IC=
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Nível de confiança
IC =
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Exemplo 1- Construir um intervalo de confiança para a proporção de favoráveis ao candidato X.
Numa amostra de 400 , 268 são favoráveis ao candidato
IC= 0,67  0,047
Ou IC= 67,0%  4,7%
IC=
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Exemplo
Foi retirada uma amostra com 100 itens de um grande lote de peças, sendo encontrados 10 defeituosos. Construa um intervalo de confiança com 3% de erro para a percentagem de defeituosos no lote.
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Exemplo
 Bilateral

0
Z0,05
1,5%
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IC= 0,10 2,17 
100
Exemplo
3		
p			n
Linf = 0,035
Lsup = 0,165
0,0651
0,10.0,90
IC=[3,5%, 16,5%]
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Exercício
Numa amostra aleatória simples de 120 domicílios, realizada num certo bairro da cidade, observou-se que apenas 33,3% possuíam instalações sanitárias adequadas. Considerando que existam 460 domicílios no bairro, encontre um intervalo de 95% de confiança para a proporção de domicílios com instalações sanitárias adequadas.
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Solução
Intervalo de 95% de confiança para :
	
		IC= [33,3%  7,3%]
1,97S = 1,97(0,037) = 0,073
IC=
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Estimação de uma proporção p Tamanho N da população conhecido
Faz-se a seguinte correção no
cálculo do erro padrão:
Se N > n, pode-se usar a expressão anterior.