Testes para Convergência de Séries

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Lista S ÉRIES 
 
Lista 1 de Exercícios: Use um dos testes: comparação, limite da comparação, da integral, da raiz ou o da 
razão, para determinar se a série converge ou diverge: 
1- 


n
n
2
13
 TESTE DA RAZÃO, L=1/2 
2- 
 nn
1
 TESTE DA RAÍZ, L = 0 
3- 
 1
2
n
n
 TESTE DA RAZÃO, L=2 
4-
 nn
n!
 
SOLUÇÃO 
nn n
n
a
!

 e 
)1(1 )1(
)!1(
 


nn n
n
a

)1()1(
)1(!
1



nn
nn
a
nn

nn n
n
a
)1(
!
1


 
 
n
nn
n
n
nn
n
n
n
n
n
nnn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a

















































1
1
1
1
1
1
1
1
1)1(!)1(
!
!
)1(
!
1 
e
n
a
a
nn
n
n
n
1
1
1
1
limlim 1 











 
Concluindo: Como 
e
n
nn
1
1
1
1
lim 








 

 L = 
e
1
 < 1, então a série 
 nn
n!
é CONVERGENTE. 
 
5- 
  

12
3
4 nnn
n
 TESTE LIMITE DA COMPARAÇÃO, mostre que 
2/7
1
n
bn 
 
 
6- 

 2
1
2n
 TESTE LIMITE DA COMPARAÇÃO, mostre que 
2
1
n
bn 
. Mostre que o 
TES TE DA RAZÃO não pode ser aplicado neste caso. 
 
7-

 2)23(
1
n
 TESTE DA INTEGRAL. Mostre que o TES TE DA RAZÃO não pode ser aplicado 
neste caso. 
 
8- 

n
nln
 TESTE DA INTEGRAL 
9- 

nnln
1
 TESTE DA RAÍZ, L = 0 
 
10- 

 125 3 nn
n
 TESTE LIMITE DA COMPARAÇÃO, mostre que 
2/5
1
n
bn 
 
 
11- 
 2
)!(
n
n
n
n
 TESTE DA RAÍZ, L = 0 
SOLUÇÃO: 
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a 







!)!()!(
2
 

 
n
n
n
n
n
n
n
a
2
)!(

 ou 
n
n
n
n
n
n
n
a 






! 
n
n
n
n
n
a
!

 
Logo pelo teste da raiz, temos que 
0
!
limlim 
 nn
n
n
n n
n
a
, 
 
 pois: podemos observar que 10!=362800 e 
1010
10000000000, logo 
1010
 é muito maior que 10!, 
sendo assim o 
0
!
lim 
 nn n
n
. Isto também pode ser visualizado no gráfico da função 
xx
x
xf
!
)( 
 
 
Concluindo: Como 
0
!
lim 
 nn n
n
 

 L = 0 < 1, então a série 
 2
)!(
n
n
n
n
é DIVERGENTE. 
 
 
12- 
 n
n
n
7
 TESTE DA RAÍZ, L = 0 
 
13-

 

2
4 1
25
n nn
n
 TESTE DA COMPARAÇÃO OU TESTE LIMITE DA COMPARAÇÃO, 
mostre que 
n
bn
1

 
14- 
 2
4
n
n
 TESTE DA RAZÃO, L = 4 
 
 
15- 
 

nn
n
n
!
2
 TESTE DA RAZÃO, L = 2e 
SOLUÇÃO: 
 
nn
n
a
n
n
!
2

 

 
 
)1()!1(
)1(2
1
1





nn
n
a
n
n
 
 
 
 
 n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
n
nn
n
nn
n
a
a
2
!
)1()!1(
)1(2
!
2
)1()!1(
)1(2
1
1
1








 
lembrando que: 
 
)1.(..4.3.2.1)!1(  nnn 
 ou 
)1(!)!1(  nnn
, 
  111 )1(2)1(2   nnn nn
 ou 
  11 )1(22)1(2   nnn nn
 e que e 
  nnn nn 22 
, temos que : 
 
nn
nn
n
n
n
nn
nnn
n
a
a
2
!
)1)(1(!
)1(2 111






nn
nn
n
n
n
nn
nnn
n
a
a
2
!
)1)(1(!
)1(22 11






n
n
n
n
n
n
nn
n
a
a
)1)(1(
)1(2 11





 

n
n
n
n
n
n
nn
nn
a
a
)1)(1(
)1()1(21




n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
)1(
)1(21




n
n
n
n
n
n
n
n
a
a )1(
)1(
21 


 

n
n
n
n
n
n
n
a
a





 


1
)1(
21 
n
n
n
n
n
n
n
a
a





 


1
)1(
21
 

n
nn
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
a
a





 















 





1
lim
)1(
2
lim
1
)1(
2
limlim 1
 
como 
2
)1(
2
lim 
 n
n
n
 
 
e 
e
n
n
n
n





 

1
lim
, pois: 
OBS: n
n
n





 1
e
 1 

 quando 
n
, como pode ser observado nas Figura abaixo 
 
 
Logo 
12lim 1 

e
a
a
n
n
n
 portanto a série 
 

nn
n
n
!
2
 diverge. 
 
 
16-

nn
n
7
8
 TESTE DA RAZÃO, L = 8/7 
 
 
17- 



2
13
4n
n
 TESTE DA COMPARAÇÃO OU TESTE LIMITE DA COMPARAÇÃO 
 
18-  



5
34 2
14
6 
n
nnn
 TESTE DA COMPARAÇÃO OU TESTE LIMITE DA COMPARAÇÃO 
 
0 20 40 60 80 100
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
f x( )
f1 x( )
x
e 2.718
1
1
x





x