5.a Aula Sist. Lineares Funcao de Transferencia

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

*
Sistemas Lineares 
Prof. Dr. Cesar da Costa
 5.a Aula: Função de Transferencia 
*
Função de Transferência - Modelos Entrada-Saída
Considere um sistema linear de parametros concentrados, invariantes no tempo (LIT), tendo apenas uma entrada e uma saída (SISO). 
O modelo matemático de tal sistema pode sempre ser expresso por uma Equação Diferencial linear, ordinária, de coeficientes constantes, relacionando diretamente as variáveis de saída e de entrada. 
O conceito de Função de Transferencia (F.T) aplica-se especificamente a sistemas como esse. 
*
Função de Transferência - Modelos Entrada-Saída
A Função de Transferência (F.T) relaciona a Transformada de Laplace de uma variável resposta (saída), com a Transformada de Laplace de uma variável de excitacao (entrada). 
Ela é obtida a partir do modelo linear do processo, esquematizado como na Figura 1.
Figura 1
*
Função de Transferência - Modelos Entrada-Saída
Suponha que o sistema da Figura 1, satisfaça as condições apresentadas e que, além disso, sejam nulas as condições iniciais (C.I.=0). 
A F.T pode ser obtida a partir da seguinte Equação Diferencial de uma forma geral: 
Onde as condicoes iniciais:
(1)
*
Função de Transferência - Modelos Entrada-Saída
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da Equação Diferencial, obtem-se:
Colocando-se Y(s) em evidencia tem-se:
*
Função de Transferência - Modelos Entrada-Saída
Logo:
*
Função de Transferência - Modelos Entrada-Saída
Uma Função de Transferência é definida como:
A função de transferência descreve as características dinâmicas do sistema. Se U(s) é a transformada da função de entrada (perturbação ou manipulada), a resposta é simplesmente:
Y(s) = G(s)U(s)
Diz-se que a função de transferência opera na função de entrada U(s) para produzir uma função de saída Y(s).
*
Função de Transferência - Modelos Entrada-Saída
Exercício 1: 
Determine a Funcão de Transferencia do circuito da Figura abaixo, considerando v1(t) como entrada e v2(t) como saída.
*
Solução: 
(1)
(2)
Equação do Circuito:
(3)
Substituindo 2 em 3, tem-se:
(4)
Aplicando-se Laplace em 4:
(0)
*
Exercício 2: 
A Figura abaixo representa um sistema formado por um bloco de Massa M, apoiado em um plano horizontal dotado de atrito viscoso de coeficiente B e preso por uma mola de constante elástica K. A forca aplicada no bloco é f(t). 
Determine a Funcao de Transferencia deste sistema, considerando f(t)= u(t) como variável de entrada e a abscisa y= y(t) como variável de saída.
Dados numéricos (em unidades do sistema Internacional - S.I).
M=2,0
B=1,6
K=0,24
*
Solução:: 
Modelo matemático: 
(1)
Substituindo pelos n.os dados 
(2)
Simplificando ( )
(3)
Aplicando Laplace em 3 e considerando as Condicões Iniciais = 0, tem-se:
Portanto: 
(0)
(0)
(0)
*
Exercício 3: 
Considere o controle do satélite da figura a seguir, sendo que a entrada
controladora é o torque T(t) da turbina. A saída que deseja-se controlar é a posição angular do satélite.
Admita que a velocidade de rotação e a posição angular são nulas em t=0, ou seja: =0 rad/s e =0 rad (C.I. nulas).
*
Solucao
Neste caso, o torque é: T(t)=L.F(t). Aplicando a segunda lei de Newton ao presente sistema e observando que não há nenhum atrito no ambiente dos satélites temos:
Sendo que J é o momento de inércia do satélite. Nosso objetivo é encontrar a função de transferência que relaciona a entrada T(t) com a saída . Para isso, aplicamos a transformada de Laplace em (1):
(0)
(0)
*
Solucao
(0)
(0)
*
Esquematicamente tem-se:
Solucao
*
Exercício 4: 
Recentes pesquisas em controle automático estão desenvolvendo o piloto
automático para automóveis. O diagrama abaixo mostra o sentido das ações das forças: força do motor (u(t)) e força de atrito (fa(t)).
A entrada do sistema é a força u(t) realizada pelo motor e a saída é a posição x(t) do carro. A saída de interesse pode também ser a velocidade do carro. Suponha que o carro esteja parado em t≤0, logo, e que o motor esteja em ponto morto, ou seja : u(t)=0 para t≤0.
*
Por simplicidade, nós assumiremos que o momento de inércia das rodas são desprezíveis; neste caso, podemos aplicar:
A força de atrito se opõe à força de impulsão u(t), logo:
a) Determine a função de transferência supondo que a saída de interesse é a posição x(t) do carro e que a entrada é a força do motor u(t).
b) Determine a função de transferência supondo que a saída de interesse é a velocidade v(t) do carro e que a entrada é a força do motor u(t).
*
Solução a: 
Aplicando transformada de Laplace em (1) com C.I. nulas:
Ou ainda:
Logo:
*
Solução b: 
A saída de interesse é a velocidade do carro e a entrada é a força do motor u(t).
.
Substituindo-se em (1) tem-se.
(2),
Aplicando transformada de Laplace em (2) com C.I. nulas:
*
Modelo Ganho-Zero-Pólo
Pode-se representar uma função de transferência, G(s), como a razão entre dois polinômios em s, N(s) e D(s). Após fatorá-los, é possível re-escrever G(s) como um Modelo Ganho-Zero-Pólo, tal que:
*
Modelo Ganho-Zero-Pólo
Vamos supor sempre, salvo aviso em contrário, que na Função deTransferência G(s) os polinômios N(s) e D(s) sejam irredutíveis, isto é, não possuam fatores comuns. 
O polinômio D(s) do denominador da Funcão de Transferencia denomina-se polinômio característico do sistema, e o grau n de D(s) é a ordem do sistema. 
A equacão D(s)= 0 é a equação característica do sistema. As raízes p1, p2…pn da equação característica, denominam-se polos do sistema. 
*
Modelo Ganho-Zero-Pólo
A equação N(s) =0, onde N(s) é o polinômio do numerador da Função de Transferência, não tem nome especial, mas as raízes z1, z2…zn, dessa essa equação são os zeros do sistema. 
Os polos e zeros de um sistema, que podem ser reais ou complexos , tem representação geométrica no plano . Sendo, que os polos são representados por x1, enquanto os zeros são representados por um pequeno círculo. 
*
Exercício 3: 
Considere o sistema visto no Exercício 2 (massa-mola), cuja Função de Transferência é dada abaixo. Escreva a equação característica e determine os polos e zeros de G(s). Determine também a resposta do sistema a uma força de impacto correspondente a impulso unitário.
Solução:
a) Sendo , a equação característica do sistema será escrita por: 
*
Solução:
b) Como a equação característica é do segundo grau em s, o sistema é de segunda ordem e tem, portanto, dois polos. Os polos são as raízes de U(s). Logo: 
Polos:
Note que os Polos são reais e negativos (gráfico figura abaixo). Por outro lado, sendo o polinômio do numerador Y(s) = 0,5 , a função de transferência não possui zeros.
*
Solução:
c) Quanto a resposta ao impulso unitário, sabe-se que no domínio da frequência ela é a própria função de transferência. Basta achar-se a transformada inversa dessa função para determinar a resposta impulsiva, no domínio do tempo. 
T.L.I
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Nesta seção, os comandos básicos do CONTROL SYSTEM Toolbox do MATLAB são introduzidos. 
O comando helpcontrol fornece uma lista das diversas funções disponíveis.
Para obter mais detalhes sobre cada uma das funções pode-se usar o comando:
>> help < nome da função >. 
No MATLAB os sistemas dinâmicos podem ser descritos por uma função de transferência ou por um modelo em espaço de estado. 
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Na representação por função de transferência definem-se os coeficientes dos polinômios do numerador e denominador. 
Função de Transferência
As funções de transferência no domínio da variável complexa
‘s/z’ são usadas para caracterizar as relaçõe entre entrada e saída de sistemas contínuos/discretos, que possam ser descritos por equações diferenciais ou a diferenças, lineares invariantes no tempo.
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Para condições iniciais nulas, a partir da aplicação da transformada de Laplace `as equações diferenciais lineares, obtém-se a relação entre a entrada e a saída descrita por uma relação entre polinômios na variável complexa ‘s’. 
No MATLAB, os polinomios são descritos pelos seus coeficientes. Por exemplo, a função de transferência em ‘s’.
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
A representação de sistemas em função de transferência pressupõe o emprego das transformadas de Laplace às equações diferenciais lineares que descrevem o modelo matemático do sistema dinâmico. 
Assim, a equação diferencial linear pode ser transformada numa equação algébrica composta por um numerador e um denominador, em função de uma variável complexa s. 
Por exemplo, um sistema que se encontra apresentado na forma de função de transferência deverá ser introduzido no MATLAB, pelos coeficientes das sucessivas potências dos polinómios que surgem ordenados por ordem significativa decrescente. 
*
Considere a Função de Transferência
Para representa-la no MATLAB escrevemos o numerador e o denominador separados na forma padrão de polinômios para o MATLAB como se segue:
>> num = [1 3];	den = [1 0 -3 2];
Para facilitar utilizamos a função tf para atribuir a função a uma única variável.
>> sys = tf(num,den)
 Transfer function:
 s + 3
-------------
s^3 - 3 s + 2
*
Pólos, Zeros e Ganho
Pode-se definir um sistema também definindo os seus pólos, seus zeros e o ganho utilizando a função zpk. 
Por exemplo, o mesmo sistema apresentado anteriormente, que tem zeros: -3 (raiz do numerador), pólos: -2, 1 e 1(raízes do denominador) de ganho: 1.
>> sys = zpk(roots(num), roots(den), 1)
 
Zero/pole/gain:
 (s+3)
-------------
(s+2) (s-1)^2
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Conversões
Basicamente temos as seguintes funções:
tf2ss – Converte funções de transferência para equações de estado;
ss2tf – Converte equações de estado para funções de transferência;
ss2zp – Converte equações de estado para pólos e zeros;
zp2ss – Converte pólos e zeros para equações de estado;
tf2zp – Converte funções de transferência para pólos e zeros;
zp2tf – Converte pólos e zeros para funções de transferência.
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Por exemplo:
tf2zp – Converte funções de transferência para pólos e zeros:
>> [z, p, k] = tf2zp(num, den)
z =
 -3
p =
 -2.0000
 1.0000
 1.0000
k =
 1
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Por exemplo:
zp2tf – Converte pólos e zeros para funções de transferência:
>> [num, den] = zp2tf(z, p, k)
 
num =
 0 0 1 3
 
den =
 1.0000 0.0000 -3.0000 2.0000
*
Análise da Resposta Transitória de Sistemas Contínuos no Tempo
Resposta ao Degrau
Considere o sistema
>> num = [0 0 1];
>> den = [1 0.5 1];
A resposta ao degrau será:
>> step(num,den)
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Podemos inserir outro gráfico na mesma janela
.
>> hold 		%Congela o gráfico
Current plot held
>> num = [0 0 1];
>> den = [1 0.5 4];
>> step(num,den)
>> hold
Current plot released
*
Caso seja necessária a construção de gráficos diferentes podemos requisitar o retorno da função step. Nesse caso o gráfico não aparece, sendo necessário a utilização de outra função de plotagem (plot, bar, stairs ...).
>> num = 1; den = [1 0.5 1]; %O mesmo sistema do exemplo anterior
>> [y,t] = step(tf(num,den));
> plot(t,y,'r--'); %Gráfico vermelho tracejado.
*
Resposta ao Impulso
Para verificarmos a resposta transitória ao impulso de um sistema utilizamos a função impulse. Nessa função, assim como na função step, podemos entrar com os sistemas criados pelas funções tf, zpk ou ss. Podemos também entrar direto com o numerador e o denominador da função de transferência ou direto com os termos das equações de estado.
Utilizando o mesmo exemplo anterior:
>> num = 1; den = [1 0.5 1]; %O mesmo sistema do exemplo anterior
>> impulse(num,den);
*
Resposta a Rampa
Para obter a resposta a rampa multiplicamos o sistema por 1/s e utilizamos a reposta ao degrau. Assim para o mesmo o sistema anterior fazemos:
>> num = 1; den = [1 0.5 1 0]; % mesmo sistema multiplicado por 1/s
>> t = 0:0.1:10;
>> y = step(num, den, t);
>> plot(t,y,t,t)
*
Análise pelos pólos e zeros
Uma ferramenta interessante para análise de sistemas é o rltool, que consiste em uma interface gráfica que permite ao usuário fazer um “chek-up” completo de um sistema de forma bastante interativa. Essa ferramenta não será explicada neste material, mas isto não impede o leitor a dar uma olhadinha.
Gráfico do Lugar das Raízes (Root Lócus )
Para construir o gráfico do lugar das raízes utilizamos a função rlocus.
Supondo que temos um sistema. 
Os comandos são:
>> num = [1 0 1];
>> den = [1 2 0];
>> rlocus(num,den);
>> grid
*
Mapa Pólo-Zero
>> num = [1 0 1];
>> den = [1 2 0];
>> pzmap(num,den); % Desenha o mapa pólo-zero.
>> grid 
*
Resposta em Frequência
Como valor considerar o sistema: 
>>num = [0 1 5]; den = [1 0.5 1];
>> sistema = tf(num,den)
Transfer function:
 s + 5
---------------
s^2 + 0.5 s + 1
*
MATLAB EM CONTROLE LINEAR
Para ilustrar a utilidade do MATLAB nesta análise, suponha que um automóvel em movimento passe por diferentes obstáculos (elevações) na pista. Abaixo temos apresentado um esquema representativo de um modelo para o automóvel com um amortecedor (f) e uma mola (k):
*
a) Suponha que o automóvel passe pela elevação representada a seguir:
Esta elevação corresponde à entrada do sistema e é chamada de entrada degrau. Para observar a resposta do sistema (movimento do sistema massa-mola, amortecedor, ou seja, o suposto automóvel) executemos o seguinte programa:
*
*
Assim, podemos visualizar a seguinte resposta:
*
b) Supondo agora que o automóvel encontre o seguinte obstáculo (conhecido como função rampa):
Pode-se verificar a saída do sistema [y(t)] (posição da massa) executando o seguinte programa:
*
*
Assim como resultados temos:
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*