APOSTILA_PILARES_02.2010

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DIMENSIONAMENTO E 
 
DETALHAMENTO DE PILARES DE 
 
CONCRETO ARMADO 
 
(SEGUNDO SEMESTRE DE 2010) 
 
 
Disciplina – Concreto Armado II 
 
Prof. Sandra Denise Kruger Alves 
 
sandra_kruger@joinville.udesc.br 
 
fone: (47) 4009-7936/7992 
 
 
 
 
 
 2 
1 INTRODUÇÃO 
 
1.1 DENOMINAÇÃO E CARGAS 
 
 Pilar é um elemento linear de eixo reto, usualmente disposto na vertical, em que as 
forças normais de compressão são preponderantes. 
 A principal função de um pilar é conduzir as ações atuantes até as fundações, e, 
junto com as vigas formar os pórticos que são os responsáveis por resistir às ações verticais e 
horizontais, proporcionando rigidez e garantindo a estabilidade global da estrutura. No caso de 
lajes planas, onde não existem vigas, as cargas atuantes nas lajes são transmitidas 
diretamente para os pilares, devendo-se tomar cuidados com a verificação da punção. 
 As solicitações são representadas pelas reações verticais das vigas dos pavimentos, 
pelo peso próprio e pelo momento fletor devido a alguns fatores como efeito de pórtico, 
posição excêntrica de alguma viga, consideração do vento, efeitos de segunda ordem, etc. 
Para edifícios com vários andares, obtém-se para cada pilar e no nível de cada andar, o 
subtotal de carga atuante, desde a cobertura até os andares inferiores. Essas cargas, no nível 
de cada andar, são utilizadas para dimensionamento dos tramos do pilar, e a carga total é 
usada no projeto da fundação. 
 De um modo geral, o dimensionamento de um pilar deve garantir a resistência e a 
estabilidade da peça. 
 As seções transversais dos pilares são formadas pelo concreto (material com boa 
resistência à compressão) e pela armadura longitudinal e transversal. A armadura posicionada 
na direção da compressão (armadura longitudinal) tem a função de diminuir as deformações da 
peça, especialmente devido à deformação lenta e à retração do concreto, além de contribuir 
para absorver as forças atuantes. A armadura transversal (perpendicular à direção da 
compressão) tem a função de garantir as barras comprimidas contra a flambagem e manter a 
posição destas barras durante a concretagem do pilar, além de impedir a fissuração do 
concreto, pois geralmente ocorre tração na direção transversal à compressão. 
 Em edifícios, a seção transversal pode variar ao longo da altura do edifício, sendo que 
a tendência atual, por motivos construtivos, é de manter a seção transversal (concreto) do 
pilar constante ao longo de toda a altura, variando-se apenas a armadura. 
 Como normalmente, o momento fletor troca de sentido ao longo de um lance de pilar, 
e por esse motivo utiliza-se a disposição simétrica da armadura longitudinal na seção 
transversal. 
 
 
1.2 PILAR PAREDE 
 
 Denomina-se pilar-parede um elemento de superfície plana, usualmente disposto na 
vertical e submetido preponderantemente à compressão, podendo ser composto por uma ou 
mais superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em algumas destas superfícies, 
a menor dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal 
da peça. Deve-se lembrar que o dimensionamento de um pilar parede difere de um pilar 
convencional, o que não será estudado na disciplina de CAR-II. 
 
 
 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES 
 
 Normalmente, os pilares de edifícios podem ser agrupados em dois conjuntos, 
conforme a sua função em termos de resistência a esforços horizontais: pilares de 
contraventamento e pilares contraventados: 
 
 
 
a) pilares de contraventamento – são os pilares que, devido a sua grande rigidez, permitem 
considerar os diversos pisos do edifício como praticamente indeslocáveis. Normalmente, 
são constituídos pela caixa de elevador e por pilares devidamente enrigecidos e situados 
junto às extremidades do piso (pilares-parede, caixas de escadas), sendo que o cálculo 
destes pilares exige a consideração da estrutura como um todo, ou seja, o pilar a ser 
dimensionado deverá ser considerado como um único pilar desde o nível da fundação até a 
cobertura do edifício. 
 PILAR: b 5/h≥ 
PILAR 
PAREDE: 5/hb < 
b 
h 
b 
h 
 4 
 
 
b) pilares contraventados – são pilares com “rigidez menor”, onde as extremidades de cada 
lance podem ser consideradas praticamente indeslocáveis devido ao efeito conjunto dos 
pilares de contraventamento e das lajes de piso. O seu cálculo pode ser feito através da 
análise isolada de cada lance entre pisos. Conforme a posição dos pilares contraventados no 
piso, eles podem ser agrupados nos seguintes tipos, conforme figura a seguir: 
 
b.1) pilares internos ou intermediários – situados internamente ao piso, constituem os 
apoios internos das vigas, sendo a força normal (N) seu principal esforço solicitante. 
 
 
 
b.2) pilares de extremidade – geralmente situados nas bordas do piso, constituem os apoios 
de extremidade das vigas. Os esforços solicitantes são a força normal (N) e o momento 
fletor (M) atuando segundo o plano constituído pelo pilar e pela viga (efeito de pilar de 
extremidade), sendo este efeito normalmente substituído por um par (N, e i ). 
 
 5 
b.3) pilares de canto – estão situados junto aos cantos do piso. Os esforços solicitantes 
são a força normal (N) e dois momentos fletores, atuando segundo os planos constituídos 
pelo pilar e cada uma das vigas apoiadas, ortogonais entre si (x e y), sendo este efeito 
normalmente substituído por um conjunto de valores (N, ixe e iye ) 
 
 
 Os esforços que podem atuar num pilar podem ser devido a solicitações de 
compressão, flexão, esforço cortante e momento torsor, sendo que os dois últimos esforços 
são normalmente desprezados. A flexão pode ocorrer pela mudança no prumo dos pilares ou 
pelo momento causado pelas vigas, se for considerado que estas são solidárias com os pilares 
(efeito de pórtico). De modo geral, os pilares podem ser divididos em três grupos básicos, com 
metodologias próprias de dimensionamento, como pode ser observado na figura abaixo: 
 
 
 
1.4 POSICIONAMENTO DOS PILARES 
 
Para a localização dos pilares, recomenda-se iniciar sempre pelos cantos da edificação 
e, a partir daí, pelas áreas que geralmente são comuns a todos os pavimentos (área de 
 6 
elevadores e de escadas) e onde se localizam, na cobertura, a casa de máquinas e o 
reservatório superior. Em seguida, posicionam-se os pilares de extremidade e os pilares 
internos, buscando embuti-los nas paredes ou procurando respeitar as imposições do projeto 
de arquitetura. 
Sempre que possível, deve-se dispor os pilares de forma alinhada, a fim de formar 
pórticos com as vigas que os unem, que contribuirão significativamente na estabilidade global 
do edifício. 
Usualmente os pilares são dispostos de forma que resultem distâncias entre seus eixos 
da ordem de 4 m a 6 m, lembrando-se que distâncias muito grandes entre pilares produzem 
vigas com dimensões incompatíveis, acarretando maiores custos à construção (maiores seções 
transversais dos pilares, maiores taxas de armadura, dificuldades nas montagens da armação e 
das formas etc.). Por outro lado, pilares muito próximos podem acarretar interferência nos 
elementos de fundação e aumento do consumo de materiais e de mão-de-obra, afetando 
desfavoravelmente os custos. 
Posicionados os pilares no pavimento-tipo, deve-se verificar suas interferências nos 
demais pavimentos que compõem a edificação. Assim, por exemplo, deve-se verificar se o 
arranjo dos pilares fornece o número de vagas estipulado, permite a realização de manobras 
dos carros nos andares de garagem ou se não afetam as áreas sociais, tais como recepção, sala 
de estar, salão de jogos e de festas etc. Na impossibilidade de compatibilizar a distribuição 
dos pilares entre os diversos pavimentos, pode haver a necessidade de um pavimentode 
transição. Nesta situação, a prumada do pilar é alterada, empregando-se uma viga de transição, 
que recebe a carga do pilar superior e a transfere para o pilar inferior, na sua nova posição. 
Nos edifícios de muitos andares, devem ser evitadas grandes transições, pois os esforços na 
viga podem resultar exagerados, provocando aumento significativo de custos. 
 
 
 
2 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS E PRESCRIÇÕES REGULAMENTARES 
 
 A execução da armação de um pilar envolve diversas etapas, a saber: 
 
 
 Na determinação e no detalhamento da armadura longitudinal e da armadura 
transversal de um pilar, deve-se respeitar algumas condições, que são: 
 
 
 
 
 7 
2.1 DIMENSÕES MÍNIMAS PARA PILARES 
 
 Para que não se tenha um desempenho inadequado, a seção transversal de um pilar 
não pode ser menor do que 360 2cm e não pode apresentar dimensão menor que 19 cm. Isto se 
deve ao fato de se ter um aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e 
falhas na construção, quando do uso de dimensões muito pequenas. Em casos especiais, 
permite-se usar um valor de no mínimo 12 cm desde que se multipliquem as ações a serem 
consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional 
nγ , de acordo com a tabela 
abaixo, onde b representa a menor dimensão do pilar: 
 
 bn 05,095,1 −=γ 
 
b ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 
nγ 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
 
 Desta forma, para um pilar de seção transversal 25x40 o esforço axial de 
compressão de cálculo seria 
 
 kFd NN .γ= 
 
onde Fγ representa o coeficiente de majoração de cargas (características) visto na disciplina 
de Concreto Armado I, tomado normalmente com o valor de 1,4. 
 Por outro lado, para um pilar de seção transversal 15x50, o esforço a considerar 
seria 
 
 kd NN .4,1.2,1= 
 
Obs.: dependendo do recobrimento mínimo a ser recomendado em função da Classe de 
Agressividade Ambiental, tem-se que dimensões próximas de 12 cm são praticamente inviáveis 
de ser utilizadas. 
 
2.2 COMPRIMENTO EQUIVALENTE DE UM PILAR 
 
 Para um pilar, suposto vinculado em ambas as extremidades, o comprimento 
equivalente el do elemento isolado, é o menor dos seguintes valores: 
 
 
l
hl
le
+
≤ 0 
 
onde: 
0l é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que 
vinculam o pilar; 
h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura; 
 8 
l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado. 
 
 
 No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de el é 
 
 lle 2= . 
 
Obs.: na determinação do comprimento equivalente, deve-se observar o conjunto de pilares e 
pisos, verificando se existe “travamento” ou não diferente nas duas direções dos eixos 
principais. Esta consideração é importante no caso de vigas situadas no patamar de escadas, 
normalmente colocadas no meio do pé direito. 
 
 
2.3 COBRIMENTO DA ARMADURA DE UM PILAR 
 
Com vistas à proteção das armaduras e lembrando-se que o cobrimento nominal é o 
cobrimento mínimo acrescido de uma tolerância de execução ( )c∆ , a depender 
fundamentalmente da classe de agressividade ambiental, deve-se atender: 
 
Classe de agressividade I II III IV 
Cobrimento nominal (mm) 25 30 40 50 
 
 Os cobrimentos são sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à 
face externa do estribo. O cobrimento nominal deve também atender a condição de ser maior 
que o diâmetro da barra, e o diâmetro máximo do agregado utilizado deve ser: 
 
 nomcd .2,1max ≤ 
 
 Para garantir o cobrimento necessário, pode-se utilizar espaçadores, conforme 
figura a seguir: 
 
 9 
 
 
 
2.4 DIÂMETRO DA BARRA LONGITUDINAL 
 
 O diâmetro das barras longitudinais não deve ser inferior a 10 mm e nem superior a 
1/8 da menor dimensão transversal: 
 
 8/10 bmm l ≤≤ φ 
 
2.5 TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MÍNIMA PARA PILARES: 
 
 Tendo sido determinada a armadura longitudinal de um pilar, deve-se verificar uma 
armadura mínima min
sA : 
 
 
c
yd
d
s Af
N
A %.4,015,0
min,
≥= 
 
onde cA representa a área de concreto da seção transversal do pilar. 
 
 
2.6 TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL MÁXIMA PARA PILARES: 
 
 A maior armadura possível em pilares deve ser de 8% da seção real, considerando-se 
inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda. 
 
 
cs AA %8max, = 
 
Obs.: alguns autores consideram que uma taxa de armadura é econômica quando está entre 1% 
e 1,5%. 
 
2.7 ARRANJO DA ARMADURA EM PILARES 
 
 Em seções poligonais de um pilar, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice, 
e em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro. 
 10 
 
 
 
 
 
2.8 ESPAÇAMENTO ENTRE BARRAS LONGITUDINAIS 
 
2.8.1 ESPAÇAMENTO MÍNIMO ENTRE BARRAS 
 
 O espaçamento livre mínimo (a) entre as armaduras, medido no plano da seção 
transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores: 
 
 
max.2,1
2
d
cm
a lφ≥ 
 
 Estes valores também se aplicam às regiões de emendas por traspasse das barras 
(esperas). 
 
 
2.8.2 ESPAÇAMENTO MÁXIMO ENTRE BARRAS 
 
 O espaçamento máximo entre eixos das barras (a), ou de centros de feixes de 
barras, deve ser menor ou igual a 2 vezes a menor dimensão no trecho considerado, sem 
exceder 40 cm. 
 
 
 11 
 
ensãomenorvezes
cm
a
dim2
40
≤ 
 
Obs.: quando no plano de concretagem do pilar existir a previsão de adensamento através de 
abertura lateral na face da forma, o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para 
permitir a passagem do vibrador. 
 
 
2.9 ARMADURA TRANSVERSAL EM PILARES 
 
 A armadura transversal de pilares deve ser constituída por estribos e algumas vezes 
por ganchos suplementares, devendo ser colocados em toda a altura do pilar, inclusive na região 
de cruzamento com vigas e lajes. Esta armadura deve garantir o posicionamento e impedir a 
flambagem das barras longitudinais, garantir a costura das emendas de barras longitudinais e 
confinar o concreto, obtendo desta forma uma peça mais resistente ou dúctil. 
 O diâmetro do estribo ( tφ , também conhecido como diâmetro transversal) em pilares 
não deve ser inferior a 5 mm nem a ¼ do diâmetro da barra isolada ou do diâmetro equivalente 
do feixe que constitui a armadura longitudinal: 
 
4/
4/
5
feixe
lt
mm
φ
φφ ≥ 
 
 O espaçamento longitudinal entre os estribos ( ts ), medido na direção do eixo do 
pilar, deve ser igual ao inferior ao menor dos seguintes valores: 
 
 
25.25
50.12
dim
20
CAaçopara
CAaçopara
ltransversaseçãodaensãomenor
cm
s
l
l
t
φ
φ≤ 
 
Observações: 
- em pilares com momentos nas extremidades (portanto, nos pilares em geral), e nos pré-
moldados, LEONHARDT & MÖNNIG (1978) recomendam que se disponham, nas suas 
extremidades, 2 a 3 estribos com espaçamento igual a 4/2/ tt ses : 
 
 12 
 
 
- por razões práticas, aconselha-se que para ≥lφ 16mm utilize-se os diâmetros de estribo 
sugeridos pela tabela a seguir: 
 
lφ (mm) tφ (mm) 
10,0 e 12,5 5,0 
16,0 e 20,0 6,3 
25,0 e 32,0 8,0 
45,0 10,0 
 
- é importante também, que se tome cuidados durante a concretagem dos trechos de 
interseção dos pilares com as vigas que nelas se apoiam, por causa do acúmulo de armadura 
que aí se verifica; 
- pode ser adotado um valor de 4/lt φφ < desde que as armaduras sejam constituídas do 
mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a condição 
 
 
ykl
t
fs
1)..(90000
2
max φ
φ
= 
 
2.10 PROTEÇÃO CONTRA FLAMBAGEM DAS BARRAS 
 
 Para garantir que não haja problemas com flambagem das barras da armadura junto à 
superfície da peça, pode-se usar grampos ou estribos poligonais, sempre que as barras 
longitudinais estejam auma distância ≥ 20 tφ do canto, e desde que nesse trecho de 
comprimento 20 tφ não se tenha mais de duas barras, sem contar a do canto, onde tφ é o 
diâmetro da armadura transversal (estribo). 
 
 13 
 
 
 
 Observa-se que os ganchos devem atravessar a seção da peça e envolver a barra 
longitudinal e o estribo, devendo possuir o mesmo diâmetro e mesmo espaçamento do estribo. 
Para que não seja necessário detalhar os ganchos um a um, pode-se fazer um detalhe genérico 
dos mesmos em algum canto da folha de detalhamento dos pilares, colocando as informações 
acima. 
 
 
2.11 ANCORAGEM DE BARRAS COMPRIMIDAS (ESPERAS) 
 
 Para garantir a transferência de carga num determinado pilar entre pavimentos 
sucessivos, é necessário considerar um comprimento de ancoragem dado por: 
 
 
cm
l
A
A
ll
b
efets
calcs
bnecbc
20
15
6,0
'
,
'
,
,
φ≥= 
 
Onde 
 
'
,
'
,
, efetscalcs AA - armadura longitudinal de compressão calculada e efetivamente usada ; 
 
e 
 
bd
yd
b f
f
l
4
φ
= 
 
 
 14 
sendo bdf a tensão última de aderência. 
 Através de tabela abaixo, válida para o aço CA50 (vide a disciplina de CAR-I), tem-se 
que 
 
 φ.Klb = 
 
sendo que os valores a serem adotados para K são: 
 
f ck (Mpa) 15 20 25 30 35 40 45 50 
K 53 44 38 34 30 28 25 24 
 
Obs.: para pilares, considera-se que a armadura longitudinal dos mesmos está sempre em zona 
de boa aderência. 
 
 
2.12 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL 
 
 Para efeito de pré-dimensionamento, a área da seção transversal pode ser estimada 
através da carga total prevista para o pilar. Por sua vez, esta carga pode ser estimada através 
da área de influência total do pilar em questão ( totA ). No caso de andares-tipo, ela equivale à 
área de influência em um andar multiplicada pelo número de andares existentes acima do lance 
considerado. Convém salientar que quanto maior for a uniformidade no alinhamento dos pilares 
e na distribuição dos vãos e das cargas, maior será a precisão dos resultados obtidos. Há que 
se salientar também que, em alguns casos, este processo pode levar a resultados muito 
imprecisos. 
 A carga total média em edifícios (
medp ) varia de 10 kN/m2 a 12 kN/m2, podendo 
ainda ser considerada, para estruturas “leves”, um valor de 8 kN/m2. Portanto, tem-se: 
 
 P medtottot pA .= 
 
 Usualmente, a resistência admissível do concreto ( admσ ) pode variar entre 1 kN/cm2 
a 1,5 kN/cm2. Assim, 
 
 
adm
tot
c
P
A
σ
≅ . 
 
 A partir de cA tem-se as dimensões da seção transversal do pilar, devendo-se 
respeitar os limites vistos no item 2.1 deste mesmo capítulo. 
Esta expressão fornece resultados bem adequados no caso de pilares internos ou de 
extremidade (na direção da maior dimensão). Porém, para pilares de extremidade considerados 
na direção da menor dimensão é interessante que se majore esta estimativa de cA em 10% e 
para pilares de canto em 30%. Desta forma, se leva em conta o efeito das excentricidades das 
cargas. 
 15 
Para a carga devida ao pavimento de cobertura, pode-se considerar que esta carga é 
70% da carga do pavimento tipo. Também, não se pode ignorar no pré-dimensionamento dos 
pilares a existência de caixa d’água superior, casa de máquina e outros equipamentos, devendo-
se estimar os carregamentos gerados por eles nos pilares que os sustentam. 
 A seção do pilar pode ser mantida constante ao longo de um lance (entre pisos 
consecutivos) ou pode variar ao longo de sua altura total. Esta variação pode ser feita a cada 
grupo de 3 andares, a critério do calculista. Quando, e esta é uma tendência em alguns centros, 
a seção for mantida constante ao longo da altura total, ela pode ser predimensionada no ponto 
mais carregado, adotando-se uma tensão admissível em torno de 1,3 kN/cm2. 
 Em princípio, adotam-se para as dimensões do pilar, múltiplos de 5 cm (20 cm, 25 cm, 
etc), lembrando-se que no caso de se usar blocos de concreto, os mesmos apresentam medidas 
quaisquer (são bastante usados os blocos de base 14 cm ou 19 cm). 
Obs.: é também bastante comum que os calculistas façam um pré-dimensionamento da seção 
transversal do pilar dividindo-se a carga no pavimento considerado (através de área de 
influência) pela resistência de cálculo à compressão do concreto (
cdf ) 
 
2.13 EXEMPLO DE DETALHAMENTO 
 
 Os pilares podem ser detalhados de várias formas, sendo que o detalhamento deve 
apresentar a armadura longitudinal e transversal do pilar para o pavimento considerado, 
indicando-se a quantidade, a numeração, a bitola e o comprimento da armadura em questão. 
Para exemplo, vide o arquivo “EXEMPLO DETALHAMENTO PILARES” no link 
www.joinville.udesc.br/portal/professores/sandra. 
 
 
2.14 OBSERVAÇÕES GERAIS 
 
- os blocos de fundação devem ser concretados antes do início da execução dos pilares, e 
por isto, toda a armadura do pilar é emendada no topo do bloco (armadura de arranque); a 
altura do bloco de fundação deve permitir a ancoragem por aderência da armadura de 
arranque, garantindo-se o comprimento necessário de emenda por traspasse às barras do 
primeiro tramo do pilar; normalmente, toma-se para armadura de arranque o mesmo valor 
da armadura calculada para o pavimento logo acima. No caso de sapatas, a depender da 
profundidade da mesma, é comum que se aumente o colarinho 2,5 cm para cada lado, e 
também se utilize a mesma armadura do pavimento logo acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
blh ≥ 
 16 
- as emendas da armadura longitudinal de um pilar devem ser feitas acima da laje dos 
diferentes andares da construção; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- quando não há mudança da seção transversal do pilar de um tramo ao seguinte, somente têm o 
comprimento necessário à emenda por traspasse as barras que efetivamente irão ter 
prolongamento no tramo superior; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- quando há mudança da seção transversal do pilar, o comprimento para emenda por traspasse 
só é mantido nas barras que possam passar de um tramo a outro a despeito da mudança da 
seção de concreto. Quando o prolongamento da barra não é possível, empregam-se barras 
suplementares que funcionam como arranque para o prolongamento do pilar; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
emenda 
4N 
6 N 
4 N 
4N 
 17 
- não se recomenda a emenda representada no desenho abaixo (detalhe chamado de 
“engarrafamento” da armadura): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 DETERMINAÇÃO DAS EXCENTRICIDADES 
 
3.1 EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 Diz-se que os esforços calculados a partir da geometria inicial (indeformada) da 
estrutura, são chamados efeitos de primeira ordem. 
 As excentricidades de primeira ordem consideradas em um projeto estrutural são: 
- excentricidade inicial (que pode ser devido ao efeito de pórtico ou devido à posição da viga 
em relação aos eixos do pilar); 
- excentricidade acidental; 
- excentricidade suplementar. 
 
 
3.1.1 EXCENTRICIDADE INICIAL ( ie ) 
 
a) EXCENTRICIDADE DE FORMA 
 
 Em estruturas de edifícios, as posições das vigas e dos pilares na planta de formas 
do pavimento dependem basicamente do projeto arquitetônico. Assim, é comum em projetos a 
coincidência entre faces (internas ou externas) das vigas com as faces do pilares que as 
apóiam, surgindo assim pilares centrados, de extremidade ou de canto. 
4N 
4N 
 18 
 
 
 Quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de gravidade da 
seção transversal do pilar, as reações das vigas apresentam excentricidades que são 
denominadas excentricidades de forma. 
 As excentricidades de forma, em geral, não são consideradas no dimensionamento 
dos pilares, pelas razões apresentadas a seguir. A figura a seguir mostra as vigas V1 e V4 que 
se apoiam no pilar P1, com excentricidades de formaixe e iye , respectivamente. As tensões 
causadas pela reação da viga V1, pelo princípio de Saint-Venant, propagam-se com um ângulo de 
45o e logo se uniformizam, distribuindo-se por toda a seção transversal do pilar em um plano 
qualquer P. 
 
 19 
 
 
 A excentricidade de forma provoca, no nível de cada andar, um momento fletor 
fyVToVTo eRM .11 = que tende a ser equilibrado por um binário. Na figura anterior, tem-se 
também representados esquematicamente os eixos dos pilares em vários tramos sucessivos, os 
momentos introduzidos pela excentricidade de forma e os binários que os equilibram. 
 Observa-se que, em cada piso, atuam pares de forças em sentidos contrários com 
valores da mesma ordem de grandeza e que, portanto, tendem a se anular. 
 A rigor, apenas no nível da fundação e da cobertura, as excentricidades de forma 
deveriam ser levadas em conta. Entretanto, mesmo nesses níveis elas costumam ser 
desprezadas. 
 No nível da fundação, sendo muito grande o valor da força normal proveniente dos 
andares superiores, o acréscimo de uma pequena excentricidade da reação da viga não afeta 
significativamente os resultados do dimensionamento. 
 Já no nível da cobertura, os pilares são pouco solicitados e dispõem de armadura 
mínima, em geral, capaz de absorver os esforços adicionais causados pela excentricidade de 
forma. 
 Obs.: em estruturas pré-moldadas, por exemplo, a consideração da excentricidade de 
forma (ou de posição) torna-se bastante importante. Também é muito importante no caso de 
mudança da dimensão da seção transversal, como pode ser visto na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) EXCENTRICIDADE EM PILARES DE EXTREMIDADE – EFEITO DE PÓRTICO 
 
 Em estruturas de edifícios de vários andares ocorre um monolitismo nas ligações 
entre vigas e pilares que compõem os pórticos de concreto armado. A excentricidade inicial, 
 20 
oriunda das ligações dos pilares com as vigas neles interrompidas, ocorre em pilares extremos 
e de canto, e o efeito é conhecido como efeito de pórtico. A partir das ações atuantes em cada 
tramo do pilar, as excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas pelas expressões: 
 
 
N
M
e
topo
topoi =, e N
M
e basebasei =, 
 
 Para vigas centradas no eixo do pilar, as solicitações iniciais de um pilar intermediário 
podem ser calculadas sem a consideração de momentos, sendo a solicitação inicial devido 
somente à força normal oriunda do carregamento aplicado, podendo-se considerar compressão 
centrada, dentro de certos critérios que serão vistos posteriormente. 
 Por outro lado, um pilar de extremidade ou de canto deve ser obrigatoriamente 
calculado à flexão composta (normal ou oblíqua, dependendo do posicionamento das vigas), 
porque existe um engastamento parcial devido à consideração de nó de pórtico. Este 
engastamento é dito parcial porque a idade do concreto no nível “i” é diferente da idade do 
concreto no nível “i+1” ou “i-1”. 
 Seja o seguinte esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando-se esta figura, os momentos no nó do pórtico podem ser calculados por um 
modelo simplificado dado pela NBR 6118/2003: 
 
NIVEL 
i 
NIVEL 
i+1 
L vig H
 
H
sup 
NIVEL 
i-1 
 21 
 
 Obs.: dependendo da condição, o apoio da extremidade oposta ao nó de pórtico 
poderá ser considerado um apoio simples ou um engaste. 
 Para um esquema de viga/pilar de extremidade, os momentos fletores dos nós dos 
pilares extremos podem ser calculados pelas expressões: 
 
 
viga
eng
rrr
r
MM
++
=
supinf
inf
inf 
 
 
viga
eng
rrr
r
MM
++
=
supinf
sup
sup 
 
 
viga
engvig
rrr
rr
MM
++
+
=
supinf
infsup 
 
onde 
 
infr - índice de rigidez do pilar inferior: 
 
 
2/inf
inf
inf L
I
r = 
 
supr - índice de rigidez do pilar superior: 
 
 
2/sup
sup
sup L
I
r = 
 
vigr - índice de rigidez da viga: 
 
 22 
 
vig
vig
vig L
I
r = 
 
infsup , II - momento de inércia, na direção considerada, dos pilares superior e inferior; 
vigI - momento de inércia da viga; 
infsup , LL - altura do pilar superior e inferior; 
vigL - vão da viga; 
engM - momento de engastamento perfeito da viga, de acordo com o carregamento e 
condições de apoio consideradas (viga bi-engastada ou viga engastada-apoiada). Este valor pode 
ser tomado pelas tabelas 28 e 28A , da disciplina de Teoria das Estruturas II. 
 
 
 
 
 Tabela 28 Tabela 28A 
 
 Das fórmulas anteriores, observa-se que para as vigas apoiadas em pilares extremos, 
deve-se considerar o momento de engastamento parcial ( vigM ), devido ao efeito de pórtico 
existente após a concretagem de um determinado piso. Como já foi dito anteriormente, diz-se 
que o engastamento é parcial, porque o concreto do nível “i” tem idade diferente do concreto 
do nível “i+1” ou do nível “i-1”, não havendo, portanto, um engastamento total. 
 Observa-se também que para as extremidades opostas de um pilar extremo surgem 
momentos ditos no topo e na base, e como conseqüência surgem também excentricidades 
devido ao efeito de pórtico no topo e na base destes pilares: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N
M
e
topo
topo = 
 
 
N
M
e basebase = 
 
 Para o cálculo dos momentos fletores é indispensável um prévio conhecimento da 
seção transversal do pilar, devendo-se analisar corretamente a direção em que se deve analisar 
M topo 
M base 
 23 
o efeito de pórtico, tomando-se os devidos cuidados quando existir mudança de rigidez ou de 
altura de um pavimento a outro. 
 Como conclusão final, pode-se dizer que independente da posição das vigas em 
relação aos eixos principais dos pilares, um pilar de extremidade vai ser um caso de flexão 
composta normal (efeito de pórtico numa só direção), e um pilar de canto vai ser um caso de 
flexão composta oblíqua (efeito de pórtico em duas direções). 
Obs.: segundo apostila do prof. Libânio (São Carlos), os momentos de engastamento deveriam 
ser multiplicados pelos seguintes valores, a fim de uma melhor aproximação com a situação 
real: 
 
 
 
3.1.2 EXCENTRICIDADE ACIDENTAL ( ae ) 
 
 Devido às incertezas relativas à posição real de aplicação de um esforço normal, e 
devido a um possível desvio do eixo da peça durante a construção (em relação à posição 
prevista no projeto), a NBR 6118/78 considerava um valor de excentricidade acidental igual a 
h/30 e não menor que 2 cm na direção considerada. Segundo alguns pesquisadores, este valor 
absoluto de 2 cm poderia resultar em uma excentricidade acidental muito exagerada em 
pilares de pequenas dimensões (em torno de 20 a 30 cm). 
 A nova NBR 6118/2003 considera as imperfeições geométricas do eixo das peças da 
estrutura descarregada, sendo elas divididas em dois grupos: imperfeições globais e 
imperfeições locais. 
 De uma forma genérica, as construções de concreto são geometricamente 
imperfeitas, uma vez que existem imperfeições na posição e na forma dos eixos dos elementos, 
na forma e nas dimensões da seção transversal, na distribuição da armadura, etc. 
 Muitas dessas imperfeições podem ser cobertas apenas pelos coeficientes de 
ponderação (minoração das resistências, majoração dos esforços), mas as imperfeições dos 
eixos das peças não, pois podem ter efeitos significativos sobre a estabilidade da construção. 
 Na análise global das estruturas reticuladas, contraventadas ou não, deve ser 
considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme a figura a seguir: 
 
 24 
 
 
 
2
/11
1
n
a
+
= θθ 
 
 
l100
1
1 =θ min1θ≥ 
 
onde: 
l – altura total da edificação (em metros); 
n – número totalde elementos verticais contínuos (número de prumadas); 
=min1θ 1/400 para estruturas de nós fixos ou 
 1/300 para estruturas de nós móveis e imperfeições locais; 
=max1θ 1/200. 
 
 Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Entre os dois, 
vento e desaprumo, pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável (o que provoca o 
maior momento total na base da construção). 
 Na análise local de elementos de estruturas reticuladas, devem também ser levados 
em conta os efeitos de imperfeições geométricas locais. Para a verificação de somente um 
lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo 
do pilar, conforme figura abaixo: 
 
 
 
 25 
 
 
 Admite-se que, nos casos usuais, a consideração da falta de retilinidade seja 
suficiente. Assim, a excentricidade acidental pode ser obtida pela expressão: 
 
 2/.1 lea θ= 
 
 No caso de elementos, usualmente vigas e lajes, que ligam pilares contraventados a 
pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar 
contraventado, conforme figura anterior. No caso de pilares em balanço, como torres e pilares 
de galpões, é mais indicado que se considere o desaprumo, ou seja: 
 
 lea .1θ= 
 
 
3.1.3 EXCENTRICIDADE SUPLEMENTAR (
ce ) 
 
 A excentricidade suplementar leva em conta o efeito da fluência, sendo que sua 
consideração deve ser obrigatória em pilares com índice de esbeltez maior que 90, 
consideração esta que é bastante complexa, e que não será estudada na disciplina de CAR-II. 
 A expressão aproximada da excentricidade suplementar é dada pela fórmula a seguir, 
sendo que o índice “c” diz respeito a creep (fluência, em inglês): 
 
 







−







+=
− 1718,2
.
Sge
Sg
NN
N
a
Sg
Sg
c eN
M
e
ϕ
 
 
Tem-se que: 
2
..10
e
cci
e l
IE
N = é a força de flambagem de Euler; 
SgSg NM , - esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente de carregamento; 
ae - excentricidade acidental devida às imperfeições locais; 
ϕ - coeficiente de fluência; 
ciE - módulo de elasticidade inicial do concreto, dado por 
 
 26 
 3/2.5600 ckci fE = (Mpa); 
 
cI - momento de inércia no estádio I (não fissurado); 
el - comprimento equivalente do pilar. 
 
 Devido a sua complexidade, este assunto não será abordado nesta disciplina, uma vez 
que seria necessário se levar em conta o tempo de duração de cada ação, ou seja, deveria-se 
conhecer o histórico de aplicação de cada ação. 
 
 
3.1.4 COMPOSIÇÃO DA EXCENTRICIDADE DE PRIMEIRA ORDEM 
 
 Tendo sido determinadas, conforme o caso de solicitação, a excentricidade inicial e 
acidental (devido aos efeitos de imperfeições locais), e também, no caso do índice de esbeltez 
ser maior que 90 a excentricidade suplementar, define-se a excentricidade de primeira ordem 
como sendo 
 
 cai eeee ++=1 
 
 De maneira análoga, define-se como momento de primeira ordem: 
 
 11 .eNM dd = 
 
 O efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas 
reticuladas pela consideração do momento mínimo de primeira ordem dado por: 
 
 )03,0015,0(min,1 hNM dd += 
 
onde h representa a altura total da seção transversal na direção considerada (em metros). 
 
 Deve-se então comparar e verificar: 
 
 ≥dM 1 min,1dM 
 
 De uma outra forma, pode-se dizer que existe uma excentricidade inicial de primeira 
ordem mínima, que vale: 
 
 hcme %35,1min,1 += � cm 
 
 Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais 
esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. 
 No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser 
respeitado em cada uma das direções principais, separadamente. 
 27 
 Deve-se salientar que as expressões dadas anteriormente estão quase que 
inteiramente baseadas nas recomendações do EUROCODE 2 (1992) e no Código Modelo CEB-
FIP (1990). 
 Uma outra observação importante, é que não existem na prática, pilares com carga 
final normal centrada, uma vez que mesmo para os pilares centrais, com carga axial 
supostamente centrada, é necessário observar o momento mínimo de 1a ordem atuando na 
“direção mais fraca”, a fim de considerar a excentricidade acidental. 
 
3.2 INSTABILIDADE E EXCENTRICIDADES DE SEGUNDA ORDEM 
 
 Diz-se que uma estrutura de concreto armado atingiu o estado limite de 
instabilidade, se ao crescer a intensidade do carregamento e, portanto, das deformações, há 
elementos submetidos à flexo-compressão em que o aumento da capacidade resistente passa a 
ser inferior ao aumento da solicitação. No nosso estudo, serão apenas consideradas estruturas 
sem imperfeições geométricas iniciais, onde, para casos especiais de carregamento ocorre a 
perda da estabilidade por bifurcação do equilíbrio, efeito também conhecido por flambagem. 
 Um efeito de 2a ordem deve ser somado àqueles obtidos numa análise de primeira 
ordem, ou seja, quando se estuda o equilíbrio da estrutura numa configuração geométrica 
inicial (indeformada). Este efeito pode ser desprezado sempre que não represente um 
acréscimo superior a 10% nas reações e principais solicitações da estrutura. Como princípio 
básico, deve-se assegurar que para a pior situação de carregamento, não ocorra perda de 
estabilidade e nem esgotamento da capacidade resistente de cálculo. 
 A consideração dos efeitos de 2a ordem conduz a não linearidade entre as ações e 
deformações. Esta não linearidade, devido a sua origem, é chamada de não linearidade 
geométrica. A consideração da fissuração e fluência do concreto, também conduz a uma não 
linearidade (entre ações e deformações) chamada neste caso de não linearidade física. 
 
 
3.2.1 ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E DE NÓS MÓVEIS 
 
 Quando as estruturas são submetidas às ações verticais e horizontais, seus nós 
deslocam-se horizontalmente. Os esforços de segunda ordem decorrentes desses 
deslocamentos são denominados de efeitos globais de 2a ordem. Nas barras da estrutura, como 
um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí efeitos locais de 
2a ordem, que afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo dessas barras. 
 Se formos considerar a rigor o comportamento real das estruturas, pode-se dizer 
que todas são deslocáveis, mas que para simplificação da análise, pode-se classificá-las em: 
- estruturas de nós fixos – são aquelas onde os deslocamentos horizontais dos nós são 
pequenos (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1a ordem), e por decorrência, os 
efeitos globais de 2a ordem são desprezíveis, bastando considerar os efeitos locais e 
localizados de 2a ordem. Na disciplina de CAR-II, só serão consideradas estruturas de nós 
fixos; 
- estruturas de nós móveis – são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são 
pequenos (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1a ordem), e portanto, os efeitos 
globais de 2a ordem são importantes, devendo-se considerar obrigatoriamente tanto os 
esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados. 
 28 
Obs.: existem estruturas, como postes, certos pilares de pontes e de galpões industriais, em 
que os deslocamentos horizontais são grandes, mas os efeitos de 2a ordem podem ser 
desprezados em virtude das cargas verticais serem pequenas e, portanto, os deslocamentos 
produzidos por elas também serem pequenos. 
 Mas como saber se uma estrutura pode ser considerada de nós fixos? Para responder 
a esta pergunta, a NBR6118/2003 considera um parâmetro de instabilidade α , e considera que 
uma determinada estrutura pode ser considerada de nós fixos se este parâmetro de 
instabilidade for menor que um valor 1α : 
 
 
ccs
k
tot IE
N
H=α <α 1 ⇒nós fixos 
 
sendo: 
 
se n 3≤ � n1,02,01 +=α 
 
se n 4≥ : 7,01=α para contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede; 
 6,01 =α para associações de pilares-parede e pórticos; 
 5,01 =α quando só houver pórticos. 
 
onde: 
n – número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco 
deslocável do subsolo; 
totH - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco 
deslocável do subsolo; 
kN - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível 
considerado para o cálculo de totH ), com seu valor característico; 
ccs IE - somatória dos valores de rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso 
de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da 
altura, pode ser considerado o valor da expressão ccs IE de um pilar equivalente de seção 
constante, engastado na base e livre no topo. 
 
 O valor de I c deve ser calculado considerando as seções brutas dos pilares. A 
rigidez do pilar equivalente deve ser determinada da seguinte forma: 
- calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do 
carregamento horizontal, considerando-se a associação de todos os pórticos que participam 
dessa estrutura de contraventamento. Essa associação entre os pórticos é possível porque, 
como as lajes possuem rigidez “infinita” no plano horizontal, elas permitem que os pórticos 
e paredes trabalhem de modo conjunto para resistir às ações horizontais. Para representar 
as lajes fazendo a associação entre os pórticos, utilizam-se barras bi-articuladas, com área 
“infinita”; 
 29 
- calcular a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no 
topo, de mesma altura H tot , tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo 
deslocamento no topo. 
 Seja o exemplo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Conhecendo-se o valor do deslocamento a, pode-se determinar o valor da rigidez do 
pilar equivalente por meio da expressão abaixo: 
 
 
 
 Ainda, lembrando-se da disciplina de CAR-I, tem-se que: 
 
 
cics
ckci
EE
MPafE
85,0
)(5600
=
=
 
 
 30 
 Deve-se lembrar que sob a ação de forças horizontais, a estrutura é sempre calculada 
como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos dispensa 
apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem. Também, é importante destacar que 
um edifício pode ter um comportamento de nós fixos em uma direção e ter um comportamento 
de nós móveis na outra. 
 
 
 
3.2.2 CLASSIFICAÇÃO DOS PILARES QUANTO À ESBELTEZ 
 
 Os pilares podem ser classificados com relação às solicitações iniciais e com relação 
à sua esbeltez. Como já foi dito anteriormente, de acordo com a posição que ocupam na 
estrutura e, principalmente, com os esforços solicitantes iniciais, os pilares podem ser 
classificados em pilares intermediários, de extremidade e de canto. De acordo com o índice de 
esbeltez )(λ , os pilares podem ser classificados comparativamente a um índice de esbeltez 
limite )( 1λ como sendo: 
 
- pilares pouco esbeltos: 1λλ ≤ ; 
- pilares de esbeltez média ou pilares robustos: 901 ≤< λλ ; 
- pilares esbeltos ou muito esbeltos: 14090 ≤< λ ; 
- pilares excessivamente esbeltos: 200140 ≤< λ 
 
 Não se admite, em nenhum caso, pilares com índice de esbeltez superior a 200. Esta 
regra não precisa ser aplicada no case de postes com uma força normal menor que Af cd10,0 . 
 Obs.: para pilares esbeltos ou excessivamente esbeltos, deve-se levar em conta o 
efeito da fluência através da consideração da excentricidade suplementar, uma vez que 
90>λ . 
 
 
3.2.3 DETERMINAÇÃO DO ÍNDICE DE ESBELTEZ (λ ) 
 
 Quando uma estrutura é considerada como de nós fixos pode-se considerar cada 
elemento estrutural isoladamente, com vínculo aos demais elementos através das 
extremidades, dispensando-se apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem. 
 Para determinação do comprimento equivalente el (ou comprimento de flambagem) 
do elemento isolado, deve-se utilizar o procedimento visto no item 2.2, onde 
 
 
l
hl
le
+
≤ 0 
 
 O índice de esbeltez é definido pela expressão 
 
 
i
le
=λ 
 31 
 
onde: 
el - comprimento equivalente do elemento isolado. 
i - raio de giração mínimo da seção bruta de concreto: 
 
 
A
Ii = 
 
 Considerando-se o coeficiente de forma “c” (ou coeficiente de Euler), tem-se que a 
expressão do índice de esbeltez pode ser escrita como: 
 
 
h
l
c e=λ 
 
onde se tem: 
h – menor dimensão da peça na direção em que é considerada a flambagem; 
c = 3,46 (seção retangular); 
c = 3,74 (seção hexagonal); 
c = 3,89 (seção octogonal); 
c = 4,00 (seção circular). 
 
 Deve-se lembrar que índice de esbeltez deve ser calculado separadamente para cada 
direção. Cuidados especiais também devem ser tomados no caso de haver vigas que “travem” 
um determinado pilar numa determinada direção, como por exemplo, em pilares da caixa de 
escada. 
 
 
3.2.4 DETERMINAÇÃO DO ÍNDICE DE ESBELTEZ LIMITE ( 1λ ) 
 
 Pela NBR6118/2003, os esforços locais de 2a ordem podem ser desprezados sempre 
que 
 
 λ < 1λ 
 
onde 1λ representa um valor limite do índice de esbeltez, que depende de diversos fatores, 
entre os quais a excentricidade relativa de 1a ordem he /1 , a vinculação dos extremos da 
coluna isolada e a forma do diagrama de momentos de 1a ordem. 
 O valor de 1λ pode ser calculado pela expressão: 
 
 
b
he
α
λ )/.5,1225( 11
+
= 
 
com a limitação de que 
 32 
 9035 1 ≤≤ λ 
 
sendo 1e a excentricidade de 1
a ordem (não inclui a excentricidade acidental). 
 
 A NBR 6118/2003 não deixa claro como se adota este valor. Na dúvida, pode-se 
admitir, no cálculo da esbeltez limite ( 1λ ), uma excentricidade de primeira ordem (sem a 
excentricidade acidental), igual ao menor valor no trecho considerado. Ou então, para pilares 
usuais de edifícios, vinculados nas duas extremidades, e na falta de um critério mais 
específico, é razoável considerar 01 =e . 
 
 O valor de bα pode ser obtido considerando-se: 
 
a) se o pilar for biapoiado sem cargas transversais: 
 
 
A
B
b M
M40,060,0 +=α 
 
com 
 
 0,14,0 ≤≤ Bα 
 
 
b) se o pilar for biapoiado com cargas transversais significativas ao longo da altura: 
 
 0,1=bα 
 
 Nas fórmulas anteriores, os momentos de 1a ordem AM e BM são os momentos nos 
extremos do pilar, tomando-se para AM o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado, e 
tomando-se para BM o sinal positivo se tracionar a mesma face que AM e negativo em caso 
contrário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) se o pilar for em balanço: 
 
- 
+ 
M B 
M A 
M B 
M A 
+ 
 33 
 
A
C
b M
M
20,080,0 +=α 
com 
 0,185,0 ≤≤ Bα 
 
onde AM é o momento de 1a ordem no engaste, e CM é o momento de 1a ordem no meio do 
pilar em balanço. 
 
d) se o pilar for biapoiado ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo (como 
por exemplo na compressão simples): 
 
 0,1=bα 
 O momento mínimo total de primeira ordem já foi definido anteriormente, e sua 
expressão é: 
 
 )03,0015,0(min,1 hNM dd += 
 
com h em metros. 
 
Obs.: considerando que 351 ≥λ , conclui-se que independentemente do caso de 
dimensionamento, sempre que o pilar possuir índice de esbeltez menor do que 35 não é 
necessário considerar a excentricidade de segunda ordem. 
 
 
3.2.5 EXCENTRICIDADE DE SEGUNDA ORDEM 
 
 A força normal atuante em um pilar, sob as excentricidades de primeira ordem 
(inicial, acidental e suplementar, quando for o caso), provoca deformações que dão origem a 
uma nova excentricidade, denominada excentricidade de segunda ordem. A excentricidade de 
segunda ordem deve ser sempre calculada quando 1λλ > .A determinação dos efeitos locais de segunda ordem, em barras submetidas à flexo-
compressão normal, pode ser feita pelo método geral ou por métodos aproximados. O método 
N d 
e 1 
R 
e 2
 
R 
 34 
geral deve ser obrigatoriamente utilizado para 140>λ e será aqui apresentado de forma 
bastante simplificada. 
 Dos métodos aproximados mais importantes, tem-se o método do pilar padrão com 
curvatura aproximada e o método do pilar padrão com rigidez κ (capa) aproximada. 
 
3.2.5.1 MÉTODO GERAL 
 
O método geral consiste em estudar o comportamento da barra à medida que se dá o 
aumento do carregamento ou de sua excentricidade. É aplicável a qualquer tipo de pilar, 
inclusive nos casos em que a dimensão da peça, a armadura ou a força aplicada são variáveis ao 
longo do seu comprimento. A utilização desse método se justifica pela qualidade dos seus 
resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura, pois 
considera a não linearidade geométrica, de maneira bastante precisa. 
Considere-se o pilar da figura abaixo, engastado na base e livre no topo, sujeito à força 
excêntrica de compressão dN : 
 
 
 
Sob a ação do carregamento, o pilar apresenta uma deformação que, por sua vez, gera 
nas seções um momento incremental yN d . , provocando novas deformações e novos momentos: 
 
 
 35 
Se as ações externas ( dd MeN ) forem menores que a capacidade resistente da 
barra, essa interação continua até que seja atingido um estado de equilíbrio para todas as 
seções da barra. Tem-se, portanto, uma forma fletida estável (figura a). Caso contrário, se as 
ações externas forem maiores que a capacidade resistente da barra, o pilar perde estabilidade 
(figura b). A verificação que se deve fazer é quanto à existência da forma fletida estável. 
A estabilidade será atingida quando o pilar parar numa forma deformada estável: 
 
 
O valor da flecha é “a”, com equilíbrio alcançado entre esforços internos e externos, 
sendo respeitada a compatibilidade entre curvaturas, deformações e posições da linha neutra, 
bem como as equações constitutivas dos materiais e sem haver, na seção crítica, deformação 
convencional de ruptura do concreto ou deformação plástica excessiva do aço. 
A utilização do método geral é bastante complexa, principalmente em função do 
desconhecimento prévio da deformação da barra, cuja deformada depende de muitas 
aplicações de relação momento-curvatura, com um número muito grande de iterações. O cálculo 
manual se torna absolutamente inviável, fazendo com que se deva utilizar recursos 
computacionais com programas especializados, como por exemplo, o processo das diferenças 
finitas, o processo de Engesser-Vianello ou o processo da integração das curvaturas. 
 
 
3.2.5.2 MÉTODO DO PILAR PADRÃO 
 
Como o método geral é extremamente trabalhoso, tendo em vista o número muito 
grande de operações matemáticas, torna-se inviável a utilização desse método sem o auxílio do 
computador. A NBR 6118:2003 permite a utilização de alguns métodos simplificados, como o do 
pilar padrão e o do pilar padrão melhorado, cujas aproximações são relativas às não-linearidade 
física e geométrica. 
 Por definição, pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas 
que provoque na sua extremidade livre uma flecha “a” dada por: 
 
 36 
 
base
e
base r
l
r
l
a 





=





=
1
.
10
.4,0
22
 
 
 A elástica do pilar é admitida como sendo de forma senoidal: 
 
 
sendo 
 
 





−= x
l
ay .sen. pi 
 
Daí: 
 
 





−= x
ll
ay .cos.'´ pipi 
 
e 
 












= x
ll
ay .sen.
2
''
pipi
 
 
Como 
 
 2
21
dx
yd
r
≅ 
 
tem-se para a seção média: 
 
 ( ) 22/''
2/
.
1






==





=
=
l
ay
r
lx
lx
pi
 
 
 Para pilares em balanço, com 102 ≅pi , a expressão fica sendo: 
 37 
 
 
base
e
r
l
a 





=
1
.
10
2
 
 
 
 O momento de 2a ordem pode ser então escrito como: 
 
 
base
e
base
r
lNaNM 





==
1
.
10
..
2
,2 
 
 
3.2.5.3 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM CURVATURA APROXIMADA 
 
 O método do pilar padrão com curvatura aproximada é permitido para pilares de 
seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo e λ ≤ 90. A não-
linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a configuração 
deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma 
expressão aproximada da curvatura na seção crítica. A excentricidade de segunda ordem ( 2e ) 
é dada pela seguinte expressão: 
 
 
r
l
e e
1
.
10
2
2 = 
 
 Na expressão acima, r/1 representa a curvatura, que numa seção crítica é calculada 
como 
 
hhr
005,0
)5,0(
005,01 ≤
+
=
ν
 
 
onde: 
h – altura da seção na direção considerada; 
ν - força normal adimensional dada por 
 
 5,0≥=
cdc
d
fA
N
ν 
 
 O momento total máximo no pilar é então 
 
 AddAdbtotd MeNMM ,12,1, . ≥+= α 
 
 O valor de AdM ,1 é o valor de cálculo de 1a ordem do momento AM e que deve ser 
 
 38 
 min,11,1 . ddAd MeNM ≥= . 
 
 Os termos anteriores já foram definidos anteriormente. 
 No caso de pilares de seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, o 
método do pilar padrão pode ser aplicado simultaneamente em cada uma das duas direções 
principais, desde que a esbeltez seja menor que 90 nas duas direções. 
 A amplificação dos momentos de 1a ordem em cada direção é diferente pois depende 
de valores distintos de rigidez e esbeltez. 
 Obs.: como a excentricidade de 2a ordem não acontece nas extremidades do pilar, e 
sim no centro da altura do mesmo, torna-se necessário verificar se o momento de cálculo total 
ocorre no topo/base do pilar ou no meio dele. 
 
 
3.2.5.4 MÉTODO DO PILAR PADRÃO COM RIGIDEZ κ (KAPA) APROXIMADA 
 
 Este método é permitido para pilares com índice de esbeltez não superior a 90, seção 
retangular constante, e com armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não-
linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformada da 
barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão 
aproximada da rigidez. 
 O momento total máximo no pilar é dado pela expressão: 
 
 Ad
Adb
totd M
M
M
,12
,1
,
/.120
1
.
≥
−
=
νκ
λ
α
 
 
sendo necessário verificar 
 
 min,1,1 dAd MM ≥ . 
 
 O valor da rigidez adimensional κ (kapa) é dado aproximadamente por 
 
 νκ ).
.
.51.(32 ,
d
totd
Nh
M
+= 
 
 Observa-se que o valor da rigidez adimensional κ é necessário para o cálculo de 
totdM , e para o cálculo de κ utiliza-se o valor de totdM , . Assim, este processo é interativo, 
sendo que normalmente são suficientes 2 ou 3 interações. 
 
Obs.: a bibliografia ainda cita o método do pilar-padrão acoplado a diagrama momento-
curvatura, que não será estudado nesta disciplina. 
 
 
 
 39 
4 PROCESSOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES 
 
 Uma vez determinados os esforços finais atuantes num determinado pilar, deve-se 
proceder ao dimensionamento do mesmo. Para isto, é necessário identificar a situação da 
solicitação: compressão simples, flexão composta normal ou flexão composta oblíqua. A 
armadura devidamente calculada servirá para evitar inclusive a ruína do pilar, sendo que a 
figura abaixo mostra situações em que esta ruína de fato aconteceu: 
 
 
 
 
 40 
 
 
 O dimensionamento dos pilares de concreto armado, como todas as demais peças, é 
sempre feito no estado limite último, existindo a preocupação com os efeitosde 2a ordem. 
Assim, os pilares são dimensionados ou verificados para resistir a força normal combinada com 
momento (oblíquo ou não), majorado pela existência da excentricidade de 2a ordem. O 
problema pode ser bastante complexo, uma vez que tal excentricidade pode fazer com que o 
pilar perca o equilíbrio estável. 
 Conclui-se então que o dimensionamento e a verificação de pilares devem prever dois 
tipos de estados limites últimos: o de ruptura e o de instabilidade. De qualquer forma, ainda 
que haja estabilidade, o estado limite último de ruptura tem que considerar momentos 
majorados pelo efeito de 2a ordem. Deve-se lembrar, que um pilar pode se romper com 
esforços menores do que resistiria se seu eixo não se deformasse. 
 Conforme visto em capítulos anteriores, os pilares são elementos lineares solicitados, 
fundamentalmente, por forças de compressão na direção axial, aplicadas fora do centro de 
gravidade da seção transversal. Desta forma, os pilares ficam submetidos a uma flexo-
compressão normal, quando a excentricidade acontece em apenas um dos eixos, ou oblíqua, 
quando ocorre segundo os dois eixos principais. Então, pode-se dizer que os pilares estão 
submetidos a um conjunto de esforços de cálculo: 
 
 dd FN = => força total de compressão aplicada no pilar 
e 
 AddAdbtotd MeNMM ,12,1, . ≥+= α 
 
 A tabela a seguir apresenta de forma resumida os métodos de cálculo que devem ser 
utilizados para pilares conforme a esbeltez dos mesmos: 
 
 
 
 
 
 
 41 
ESBELTEZ CONSIDERAÇÃO 
DOS EFEITOS 
DE 2A ORDEM 
MÉTODOS DE CÁLCULO PARA 
EFEITOS DE 2A ORDEM 
CONSIDERAÇÃO DA 
FLUÊNCIA 
1λλ < Não - desprezado Não 
 
 
901 ≤< λλ 
 
 
Sim 
- método do pilar padrão com 
curvatura aproximada; 
- método do pilar padrão com 
rigidez κ aproximada; 
- método do pilar padrão acoplado 
a diagramas M, N, 1/r; 
- método geral. 
 
 
Não 
 
14090 ≤< λ 
 
Sim 
- método do pilar padrão acoplado 
a diagramas M, N, 1/r; 
- método geral. 
 
Sim 
200140 ≤< λ Sim - método geral. Sim 
200>λ Em geral não é permitido 
 
 A armadura calculada e necessária para equilibrar os esforços atuantes deve 
obedecer às prescrições regulamentares vistas no capítulo. 
 Para o dimensionamento de pilares, consideram-se válidas as mesmas hipóteses 
básicas utilizadas para o dimensionamento de vigas e lajes, ou seja: 
- as seções transversais se mantêm planas após a deformação; 
- a deformação das armaduras passivas deve ser a mesma do concreto em seu entorno, 
ou seja, considera-se aderência perfeita; 
- as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas; 
- a distribuição das tensões no concreto ocorre de acordo com o diagrama parábola-
retângulo; 
- as tensões nas armaduras devem ser obtidas a partir dos respectivos diagramas 
tensão-deformação indicados na NBR 6118:2003; 
- o ELU é caracterizado quando a reta representativa das deformações na seção 
pertencer a um dos domínios definidos na citada norma. 
 
 Seja qual for o método de dimensionamento a ser utilizado, deverá ser usado na 
direção do eventual momento atuante, um valor de altura útil (d), que depende da Classe de 
Agressividade Ambiental (CAA). Assim, sugere-se, para uma armadura longitudinal de 10,0 mm: 
 
Agressividade 
Ambiental 
Recobrimento (c) - cm Altura útil (d) - cm 
CAA-I 2,5 h – 3,0 
CAA-II 3,0 h – 3,5 
CAA-III 4,0 h – 4,5 
CAA-IV 5,0 h – 5,5 
 
Obs.: estes valores devem ser modificados no caso de utilizar uma armadura longitudinal maior. 
 
 42 
4.1 PROCESSOS EXATOS DE DIMENSIONAMEMTO À FLEXÃO COMPOSTA 
 
 Como a rigor não se aceita o dimensionamento de um pilar com carga centrada por 
causa do momento mínimo de 1a ordem a ser considerado, o dimensionamento de pilares deverá 
ser sempre feito para casos de flexão composta. Existindo excentricidade de 1a ordem em uma 
única direção (x ou y), tem-se um caso de flexão composta normal, o que ocorre por exemplo, 
para os pilares de extremidade. Já no caso de se ter um pilar de canto, com momentos de 1a 
ordem nas duas direções, tem-se um caso de dimensionamento de flexão composta oblíqua. 
 O dimensionamento à flexão composta, que considere os efeitos das não 
linearidades física e geométrica, requer a consideração da integração das curvaturas e da 
consideração do diagrama M x N x 1/r, buscando um processo refinado de dimensionamento, 
geralmente iterativo. Para o trabalho diário de um engenheiro, isto se torna um processo 
bastante trabalhoso, fazendo com que se deva utilizar recursos computacionais adequados. 
Cabe ao calculista uma visão crítica dos resultados, lembrando-se a extrema importância de se 
conferi-los baseados em sólida experiência teórica e profissional. 
 De forma geral, os processos exatos para dimensionamento de seções submetidas à 
flexão composta devem seguir os seguintes passos: 
- para uma dada seção transversal, é escolhida uma inclinação da linha neutra e fixada a 
sua profundidade; 
- a partir das equações de equilíbrio da estática, da compatibilidade de deformações e 
das equações constitutivas (diagramas tensão-deformação), calculam-se a resultante 
de compressão do concreto e as tensões que agem em cada uma das barras da 
armadura; 
- variando os dados iniciais (profundidade e inclinação da linha neutra) obtém-se ternos 
de possíveis valores de ydxdd MeMN , . 
 
 Para as formas usuais de seções (retangulares, circulares), foram elaborados uma 
série de ábacos que oferecem a armadura de tais seções submetidas à flexo-compressão, 
conforme será visto nos próximos itens. 
 
 
4.1.1 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
 
 
 Para a formulação das condições de equilíbrio e do equacionamento da flexão oblíqua, 
seja a figura abaixo, onde se tem barras distribuídas ao longo do contorno da seção, em 
posições previamente fixadas. 
 
 
 43 
 
 Em se tratando de estado limite último, devem ser obedecidas as condições de 
equilíbrio e as de compatibilidade das deformações, que também são válidas para flexão 
composta normal (excentricidade em um só eixo). Os esforços solicitantes de cálculo 
dN , ydxd MM , , devem ser equilibrados pelos esforços resistentes (contribuição do concreto 
comprimido e contribuição da armadura): 
 
 ∑∫∫
=
+=
n
i
sidSiyxcd
Acc
d AddN
1
σσ 
 si
n
i
sidSiyxcd
Acc
xddx XAdXdeNM ∑∫∫
=
+==
1
σσ 
 
 si
n
i
sidSiyxcd
Acc
yddy
YAdYdeNM ∑∫∫
=
+==
1
σσ 
 
onde: 
ccA - área da seção de concreto comprimido; 
n – número de barras de armadura na seção transversal; 
A si - área da seção transversal da barra genérica i; 
sidσ - tensão na barra genérica i; 
X – abscissa do elemento infinitesimal de área dydx. ; 
Y – ordenada do elemento infinitesimal de área dydx. ; 
X si - abscissa da barra genérica i; 
Y si - ordenada da barra genérica i. 
 
 Estas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, através de 
esforços reduzidos yx µµν ,, e da taxa mecânica de armadura ω : 
 
 44 
 
cdc
d
fA
N
=ν 
 
 
x
x
xcdc
xd
x h
e
hfA
M νµ == 
 
 
y
y
ycdc
yd
y h
e
hfA
M ν
µ == 
 
 
cdc
yds
fA
fA
=ω 
 
onde 
 
 
d
totdx
x N
M
e
,
= 
 
 
d
totdy
y N
M
e
,
= 
 
 
 yxc hhA = 
 
 sA - armadura total da seção. 
 
 Vários autores elaboraram tabelas para resolver este problema de dimensionamento. 
O exemplo abaixo se refere a um ábaco a ser utilizado para flexão composta oblíqua, obtido 
das tabelas de Montoya: 
 45 
 
 Definido o ábaco a ser utilizado, devem ser adotados valores da força normal 
reduzida de cálculo ν , sendo normalmente considerados oito valores 
( )4,1;2,1;0,1;8,0;6,0;4,0;2,0;0=ν . Para cada valor de ν corresponde a um quadrante do 
ábaco, totalizandooito quadrantes, representados em duas páginas. Para cada valor de 
yx e µµν , é adotado um valor da taxa mecânica de armadura 
 Foram escolhidos alguns ábacos para dimensionamento à flexão composta oblíqua, e 
os mesmos encontram-se no anexo. Diversas bibliografias incluem outras possibilidades de 
arranjo de armadura, sugerindo-se os ábacos de Montoya ou do prof. Libânio (São Carlos/SP). 
 46 
4.1.2 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL 
 
 Como já foi dito anteriormente, um pilar sujeito a esforços de flexão composta 
normal é aquele em que existe excentricidade inicial somente em um dos eixos cartesianos. 
 
a) UTILIZAÇÃO DE ÁBACOS 
 
 A utilização de ábacos pode ser extremamente útil no dimensionamento de seções 
retangulares sujeitas à flexão composta normal. Estes ábacos são apresentados na forma 
adimensional com todos os valores de entrada sendo de cálculo, isto é, dN e dM . 
 Na construção dos ábacos, deve-se ainda levar em conta as hipóteses de manutenção 
da forma plana da seção transversal e dos domínios de deformação vistos na disciplina de CAR 
I, que formam as condições de compatibilidade. Sendo também conhecidas as deformações sε 
nas barras da armadura, pode-se determinar as tensões de acordo com os diagramas εσ x do 
aço que está sendo utilizado. 
 Definido o ábaco a ser utilizado, devem ser calculados valores da força normal 
reduzida de cálculo (ν ) e momento reduzido ( µ ). Para cada par de ν e µ é adotado um valor 
da taxa mecânica de armadura ω , para diversos intervalos, dependendo das condições da 
seção. 
 Os ábacos a serem considerados nesta apostila encontram-se em anexo. Casos 
diferentes de arranjo de armaduras, devem ser vistos em literatura apropriada. 
 
 
cdc
d
fA
N
=ν 
 
 
xcdc
d
h
e
hfA
M νµ == 
 
 
cdc
yds
fA
fA
=ω 
 
onde 
 
 
d
totd
N
M
e
,
= 
 
 hbAc = 
 
 sA - armadura total da seção, a ser distribuída de acordo com o ábaco escolhido. 
 
 
 
 47 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: nos casos em que 7,0≥ν , o dimensionamento pode ser feito como compressão simples, 
conforme será visto mais adiante. 
 
b) PROCESSO GERAL PARA DIMENSIONAMENTO A FLEXÃO COMPOSTA NORMAL 
 
 Quando não se aplicar o processo dos ábacos e nem o processo aproximado como 
compressão simples, pode-se utilizar um processo geral para dimensionamento a flexão 
composta normal. 
 A força normal que age excentricamente em relação a um dos eixos, poderá fazer 
com que a seção transversal esteja totalmente comprimida (pequena excentricidade), ou com 
uma parte eventualmente tracionada (grande excentricidade), havendo uma situação limite 
entre estes dois casos. Seja a seguinte figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ω 
dµ 
dν 
e 1 
N d 
pequena excentricidade 
situação limite 
grande excentricidade 
 48 
Pode-se ainda definir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
dN - esforço normal de cálculo (majorado); 
sdM - momento referente ao centro de gravidade da armadura de tração (ou armadura menos 
tracionada); 
'
sdM - momento referente ao centro de gravidade da armadura de compressão (ou armadura 
mais comprimida). 
 
 No caso de pequena excentricidade, sA representa a armadura menos comprimida e 
'
sA representa a armadura mais comprimida. No caso de flexão composta com grande 
excentricidade, 
sA representa a armadura tracionada e 
'
sA representa a armadura 
comprimida. 
 Então: 
 
 kfd NN γ= 
 
 )
2
'()
2
'( ddNMddeNM dddsd
−
+=
−
+= 
 
 )
2
'()
2
'(' ddNMddeNM dddsd
−
−=
−
−= 
 
 Numa situação limite entre pequena e grande excentricidade, tem-se que: 
 
 
 
dM 
d 
e 
d " 
 
'd 
sA 
'
sA 
h 
wb 
sdM 
'
sdM 
dN
 49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0)'
2
8,0()
2
'( =−+−− ddRddeN ccd 
 
 0)'4,0.(85,0.8,0.' =−+ ddfdbM cdwsd 
 
 Daí: 
 
 )4,0.(...68,0
'
2'
d
dfdbM cdwsd −−= 
 
valor este que agora em diante será chamado de fator de comparação (FC). 
 Daí se pode concluir que: 
 Se )4,0.(...68,0
'
2'
d
dfdbM cdwsd −−≥ tem-se um caso de grande excentricidade, e 
 
 Se )4,0.(...68,0
'
2'
d
dfdbM cdwsd −−< tem-se um caso de pequena excentricidade. 
 
 
b.1) DIMENSIONAMENTO DE FLEXAO COMPOSTA NORMAL COM GRANDE 
EXCENTRICIDADE 
 
 O dimensionamento da flexão composta normal (flexo compressão) com grande 
excentricidade será todo feito para o momento fletor sdM resultante da redução dos 
esforços ( dd MN , ) atuantes ao centro de gravidade da armadura tracionada (cálculo como 
viga), sendo a única alteração o abatimento na armadura tracionada (obtida para sdM ) de uma 
parcela 
y/2 
wb 
"d 
'd 
 
e y 
0=stR 
ccR 
scR 
'
sA 
d 
h 
cdf85,0 
dN 
sA
 50 
 
yd
d
f
N
s =∆ 
 
uma vez que a carga é de compressão, tendendo a anular os efeitos de tração. A figura e a 
resolução a seguir, explicam melhor esta situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da figura anterior tem-se que: 
 
 0=+−− stccscd RRRN 
e 
 0)
2
.()'.()'.( =−−−−−+ ydRddR
d
dd
eN ccscd 
 
Também, para uma análise similar a uma viga: 
 
 0=−− ccvscvstv RRR 
 
Então: 
 
 ccvcc RR = 
 
Desta condição tem-se que a linha neutra para pilar é igual à linha neutra para viga ( vyy = ), 
pois 
 
 
cdwcc fybR 85,0.= 
 
 cdvwccv fybR 85,0.= 
stR 
VccRccR 
scR 
cdf85,0 
vy 
VstR 
wb 
"d 
'd 
 
e y 
'
sA 
d 
h 
dN 
sA
cdf85,0 
VscR 
Diagrama real Diag.similar p/viga 
 51 
 Da mesma forma, a força resultante de compressão na armadura do pilar e da viga 
são iguais: 
 
 scvsc RR = 
 
Desta condição tem-se que '' svs AA = (armadura comprimida do pilar é igual à armadura 
comprimida da viga), pois 
 
 '' . sssc AR σ= 
 
 '' . svsvscv AR σ= , 
 
sendo '' svs σσ = , e 
 
 stdstv RNR += 
 
 ydsvstv fAR .= 
 
 ydsst fAR .= 
 
 dydsydsv NfAfA += .. 
 Finalmente a armadura do lado tracionado do pilar será: 
 
 
yd
d
svs f
N
AA −= 
 
sendo que a armadura de tração da viga (
svA ) deve ser calculada com sddw MMehb =, : 
 
 sdd M
dd
eN =−+ )
2
'( 
 
Obs.: é comum que se tome a mesma armadura (a maior) para duas faces opostas, fazendo com 
que o pilar tenha armadura simétrica em relação a um dos eixos. 
 
b.2) DIMENSIONAMENTO DA FLEXAO COMPOSTA NORMAL COM PEQUENA 
EXCENTRICIDADE 
 
 Nesta situação, a seção transversal de concreto encontra-se totalmente comprimida, 
e a linha neutra é considerada com dx> : 
 
 
 
 52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pela figura anterior, tem-se: 
 
e) equação de rotação em relação ao baricentro de scR : 
 
 0)
2
'()'()
2
'( ' =−−−−−+ ddRddRddeN ccscd 
 0)
2
'(85,0..)'('' =−−−− ddfhbddAM cdwsssd σ 
 
 Daí, a armadura do lado mais comprimido é determinada como 
 
 )'(
)'(425,0
'
'
dd
ddhfbM
A
s
cdwsd
s
−
−−
=
σ
 
 
f) equação de rotação em relação ao baricentro de 'scR : 
 
 0)'()
2
'()
2
'( =−−−−−− ddRddReddN scccd 
 
 0)'(
2
)'(85,0)
2
'( ' =−−−−−−− ddAddfhbddeN sscdwd σ 
 
 0)'()'(425,0 '' =−−−−− ddAddhfbM sscdwsd σ 
 
 Daí, a armadura do lado menos comprimido é determinada como 
 
 )'(
)'(425,0
'
'
dd
ddhfbM
A
s
cdwsd
s
−
−−−
=
σ
 
 
h 
stR 
ccR 
scR 
cdf85,0 
e 
dN 
d 
'
sA 
Seção comprimida 
sA 
 53 
Como verificação, se somarmos as equações de 
sA e 
'
sA , tem-se que a força de cálculo é 
equilibrada pela contribuição da armadura e pela contribuiçãodo concreto, que está totalmente 
comprimido: 
 
 '' )(85,0 ssswcdd AAhbfN σ++= 
 
 
c) PROCESSO APROXIMADO PARA DIMENSIONAMENTO À FLEXAO COMPOSTA 
NORMAL COMO COMPRESSÃO SIMPLES 
 
 Para pilares de seções transversais retangulares ou circulares, com armadura 
simétrica em que a força normal reduzida (ν ) seja maior ou igual a 0,7, pode-se transformar 
uma situação de cálculo de flexão composta normal para um caso de dimensionamento de 
compressão centrada equivalente, levando-se em conta: 
 
 )1.(
, h
eNN deqd β+= 
 
 h = dimensão na direção considerada 
 
 0
,
=eqdM (a solução é compressão simples!) 
 
 7,0
.
≥=
cdc
d
fA
N
ν 
 
hN
M
h
e
d
totd
.
,
= 
 
 
h
d '
.8,0).01,039,0(
1
−+
=
α
β 
 
Valores de α : 
 
- para seções circulares: 4−=α 
 
- para seções retangulares: 
 
 sαα /1−= se 1<sα 
 
 sαα = se 1≥sα 
 
 6=α se 6>sα 
 54 
 Supondo que todas as barras sejam iguais, sα é dado por: 
 
 )1(
)1(
−
−
=
v
h
s
n
n
α 
 
 O arranjo de armadura adotado para detalhamento deve ser fiel aos valores de sα e 
d’/h pressupostos. 
 
 Considerando-se, para efeitos de simplificação, que uma seção transversal sujeita a 
uma força de compressão centrada, tem o seu equilíbrio garantido em parte pelo concreto 
comprimido e em parte pela armadura, pode-se determinar a armadura longitudinal isolando-se 
o valor da armadura longitudinal sA através da expressão abaixo: 
 ssccddeqd AAfh
eNN '85,0)1.(
,
σβ +=+= 
ou seja: 
 
'
85,0)1.(
s
cdd
s
c
Af
h
eN
A
σ
β −+
= 
 
 Nas expressões acima, 'sσ representa a tensão (de compressão) correspondente a 
uma deformação na armadura de 2% o . Dos diagramas tensão x deformação já estudados 
anteriormente, tem-se: 
 
 
 
 
 
 55 
TIPO DE AÇO '
Sσ (KN/cm
2 ) 
CA 25 21,74 
CA 50 42,0 
CA 60 42,0 
 
 
Obs.: muitos calculistas adotam a favor da segurança e simplificadamente um valor de 4=β , 
originando muitas vezes, uma armadura bem maior do que aquela obtida com a disposição em 
função de 5α . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 56 
ANEXOS (vide Xerox bloco F) 
 
ANEXO 1: 
 
ÁBACOS PARA FLEXÃO COMPOSTA NORMAL EM SEÇÃO RETANGULAR 
 
COM ARMADURA BILATERAL SIMÉTRICA 
 
Fonte: apostila “Concreto Armado: Tabelas e Ábacos”, de Libânio Miranda Pinheiro, USP-EESC 
 
ANEXO 2: 
 
ÁBACOS PARA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA EM SEÇÃO RETANGULAR PARA ALGUNS 
ARRANJOS DE ARMADURA 
 
Fonte: apostila “Concreto Armado: Tabelas e Ábacos”, de Libânio Miranda Pinheiro, USP-EESC