aula 15

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3.2 - Mudança de variáveis em integrais duplas – coordenadas polares. 
 
 Algumas integrais duplas são mais fáceis de calcular se a região de integração 
for expressa em coordenadas polares. Por exemplo, o quarto de disco da figura da 
seguir: 
 
 0 ≤ y ≤ √4 − 𝑥2, 0 ≤ x ≤ 2 
 ou 
 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 𝜋/2 
 
 Alem disso, as integrais duplas cujos integrandos envolvem x2 + y2 também 
tendem a ser mais fáceis de calcular em coordenadas polares, pois essa soma é igual a r2 
quando são aplicadas as formulas de conversão x = r cos θ e y = r sen θ. 
Definição: Uma região polar simples em um sistema de coordenadas polares é uma 
região delimitada por dois raios, θ = α e θ = β, e duas curvas polares continuas, r = r1(θ) 
e r = r2(θ), onde as equações dos raios e das curvas polares satisfazem as seguintes 
condições: 
a) α ≤ β b) β – α = 2𝜋 c) 0 ≤ r1(θ) ≤ r2(θ) 
 
 
Integrais duplas em coordenadas polares. 
 
O problema do volume em coordenadas polares. Dada uma função f(r, θ), contínua e 
não negativa em uma região polar simples R, calcule o volume do sólido delimitado 
pela região R e a superfície suja equação, em coordenadas cilíndricas, é z = f(r, θ). 
 
 Se f(r, θ) for contínua em R e tiver tanto valores positivos como negativos, então 
o limite 
lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑟𝑘
∗,
𝑛
𝑘=1
θ𝑘
∗ )∆𝐴𝑘 
Representa o volume com sinal entre a região R e a superfície z = f(r, θ). Essas somas 
são chamadas de somas de Riemann polares, e o limite das somas de Riemann polares é 
denotado por: 
∬ 𝑓(𝑟, θ)dA = 
𝑅
lim
𝑛→∞
∑ 𝑓(𝑟𝑘
∗,
𝑛
𝑘=1
θ𝑘
∗ )∆𝐴𝑘 
Que é denominada integral dupla polar de f(r, θ) em R. se f(r, θ) for continua e não 
negativa em R, então o volume pode ser expresso como, 
 
𝑉 = ∬ 𝑓(𝑟, θ)dA 
𝑅
 
 
Cálculo de integrais duplas polares 
 
Teorema. Se R for uma região polar simples cujos limites são os raios θ = α e θ = β e 
as curvas r = r1(θ) e r = r2(θ) e se f(r, θ) for contínua em R então 
∬ 𝑓(𝑟, θ)dA = ∫ ∫ f(r, θ)r drd
r2(θ)
r1(θ)
β
α
θ 
𝑅
 
 
 
 Para aplicar esse teorema, precisamos saber como encontrar os raios e as curvas 
que formam a fronteira da região R, uma vez que eles definem os limites de integração 
da integral iterada. Isso é feito da seguinte maneira: 
 
 
 
 
Exemplo 01. Calcule 
∬ 𝑠𝑒𝑛θ
𝑅
𝑑𝐴 
 
Onde R é a região no primeiro quadrante fora do circulo r = 2 e dentro da cardióide r 
2(1 + cosθ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 02. A esfera de raio a com centro na origem é expressão em coordenadas 
retangulares como x2 + y2 + z2 = a2 e, portanto, sua equação em coordenadas cilíndricas 
é r2 + z2 = a2. Use essa equação e uma integral polar para calcular o volume da esfera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de área usando integrais duplas polares 
 
Área de R = ∬ 1
𝑅
𝑑𝐴 
 
Exemplo 03. Use uma integral dupla polar para calcular a área compreendida pelas 
rosáceas de três pétalas r = sen 3θ. Use os limites de integração 0 ≤ θ ≤ 𝜋/3, 0 ≤ r ≤ 
sen3θ, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conversão de integrais duplas de coordenadas retangulares para polares. 
 
 
 Ás vezes, uma integral dupla difícil de calcular em coordenadas retangulares 
pode ser calculada mais facilmente em coordenadas polares, fazendo a substituição x = 
rcosθ, y = rsenθ e expressando a região de integração em forma polar, isto é, 
reescrevendo a integral dupla em coordenadas retangulares como 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, rsenθ)dA = ∬ 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠θ, rsenθ)rdrd
limites 
apropriados𝑅𝑅
θ 
 
 
 
Exemplo 04. Use coordenadas polares para calcular 
 
∫ ∫
(𝑥2 + 𝑦2)3
2
𝑑𝑦𝑑𝑥
√1− 𝑥2
0
1
−1