Resumo de Limite

Prévia do material em texto

RESUMO SOBRE LIMITES
I. LIMITES FINITOS
I.1. Limites Laterais
• A. O lim
x→x+o
f (x) = `1 ∈ IR (limite lateral a` direita de f em xo) significa :
• Se x conven≈ xo, mas com x > xo, enta˜o f (x) arbitr≈ `1
• B. O lim
x→x−o
f (x) = `2 ∈ IR (limite lateral a` esquerda de f em xo) significa:
• Se x conven≈ xo, mas com x < xo, enta˜o f (x) arbitr≈ `2
• C. Proposic¸a˜o 1
Existe lim
x→xo
f (x) = ` ∈ IR se e somente se

lim
x→x+o
f (x) = `
e
lim
x→x−o
f (x) = `
• I.2.Propriedades Operacionais:
• Proposic¸a˜o 2: Sejam f e g definidas em um mesmo conjunto D e um nu´mero α ∈ IR.
Suponhamos que ∃ lim
x→xo
f (x) = `1 e ∃ limx→xo g(x) = `2. Enta˜o:
i. ∃ lim
x→xo
( f (x) + g(x)) = `1 + `2 = limx→xo
f (x) + lim
x→xo
g(x).
ii. ∃ lim
x→xo
(α f (x)) = α `1 = α limx→xo
f (x).
iii. ∃ lim
x→xo
( f (x) g(x)) = `1 `2 = limx→xo
f (x) lim
x→xo
g(x).
iv. lim
x→xo
f (x)
g(x)
=
`1
`2
, desde que `2 6= 0.
v. ∃ lim
x→xo
| f (x) | = | `1 | = | limx→xo f (x) |.
vi. ∃ lim
x→xo
( f (x))n = `1 n =
(
lim
x→xo
f (x)
)n
, para n ∈N, com n ≥ 2.
vii. ∃ lim
x→xo
n
√
f (x) = n
√
l1 = n
√
lim
x→xo
f (x), com n ∈N, n ≥ 2 (desde que n√l1 ∈ IR).
• Observac¸a˜o: A Proposic¸a˜o 2 continua va´lida para limites laterais, isto e´, se o sı´mbolo lim
x→xo
for
substituı´do por um dos sı´mbolos: lim
x→x+o
ou lim
x→x−o
.
1
II. CONTINUIDADE
II.1 Definic¸a˜o- Sejam f uma func¸a˜o e xo ∈ Dom f .
a. Dizemos que f e´ contı´nua em xo se e somente se limx→xo
f (x) = f (xo).
b. Dizemos que f e´ contı´nua, se ela e´ contı´nua em cada ponto xo do seu domı´nio.
II.2. Proposic¸a˜o 2∗: Sejam f e g func¸o˜es contı´nuas em xo e α ∈ IR. Enta˜o:
i. As func¸o˜es f + g, α f , f g, | f | e f n (n ∈N, n ≥ 2) sa˜o contı´nuas em xo.
ii. A func¸a˜o
f
g
e´ contı´nua em xo, desde que g(xo) 6= 0.
iii. A func¸a˜o n
√
f , n ≥ 2, e´ contı´nua em xo, desde que n
√
f (xo) ∈ IR.
II.3. Continuidade x Limite de composic¸a˜o de func¸o˜es
• Proposic¸a˜o 3: Sejam f e g func¸o˜es tais Im f⊂ Dom g e xo ∈ IR. Consideremos a func¸a˜o composta
(g ◦ f )(x) := g( f (x)).
a. Se existir lim
x→xo
f (x) = ` e g for contı´nua em `, enta˜o existe
lim
x→xo
(g( f (x)) = g(`) = g( lim
x→xo
f (x)).
b. Se f for contı´nua em xo ∈ Dom f e g for contı´nua em f (xo), enta˜o g◦ f e´ contı´nua em xo.
III. LIMITE INFINITO
III.1. “Noc¸a˜o”: Sejam f uma func¸a˜o e xo ∈ IR.
• lim
x→xo
f (x) = +∞ ⇐⇒ f (x) > K, para qualquer nu´mero positivo K, quando x conven≈ xo, x 6= xo.
“Traduc¸a˜o”: f (x) “aumenta positiva e ilimitadamente”, quando x se aproximar convenientemente
de xo, x 6= xo.
• lim
x→xo
f (x) = −∞⇐⇒ f (x) < N, para qualquer nu´mero negativo N, se x conven≈ xo, x 6= xo.
“Traduc¸a˜o”: f (x) “diminui negativa e ilimitadamente”, quando x se aproximar convenientemente
de xo, x 6= xo.
III.2. Limites Laterais Infinitos
• “Noc¸a˜o”: Sejam f uma func¸a˜o e xo ∈ IR.
lim
x→x+o
f (x) = +∞⇐⇒ f (x) > K, para qualquer nu´mero positivo K, quando x conven≈ xo, x > xo.
2
De forma ana´loga tem-se as noc¸o˜es dos sı´mbolos:
lim
x→x+o
f (x) = −∞, lim
x→x−o
f (x) = +∞, lim
x→x+o
f (x) = −∞. (Tente escrever tais noc¸o˜es.)
• Observac¸a˜o: A interpretac¸a˜o geome´trica da noc¸a˜o de limites infinitos e limites laterais infinitos,
dada acima, motiva a definic¸a˜o de assı´ntota vertical.
III.2. Limites Infinitos e Assı´ntota Vertical - Definic¸a˜o: Seja f uma func¸a˜o e xo ∈ IR.
Dizemos que a reta vertical x = xo e´ uma assı´ntota vertical ao gra´fico da f se pelo menos um dos
limites abaixo estiver verificado:
lim
x→xo
f (x) = +∞; lim
x→xo
f (x) = −∞; lim
x→x+o
f )x) = +∞;
lim
x→x+o
f (x) = −∞; lim
x→x−o
f (x) = +∞; lim
x→x−o
f (x) = −∞.
IV. LIMITES INFINITOS X LIMITES FINITOS - PROPRIEDADES
IV.1. Proposic¸a˜o 4 (limite zero SOMENTE no denominador): Sejam xo ∈ IR e g uma func¸a˜o tal que
lim
x→xo
g(x) = 0.
a. Se g(x) > 0, numa vizinhanc¸a de xo, para x 6= xo, enta˜o limx→xo
1
g(x)
= +∞.
b. Se g(x) < 0, numa vizinhanc¸a de xo, para x 6= xo, enta˜o limx→xo
1
g(x)
= −∞.
• Observac¸a˜o: A Proposic¸a˜o 4 e´ valida para limites laterais a` direita ou a` esquerda de xo, com as
devidas adaptac¸o˜es dos sinais da func¸a˜o g(x) nas vizinhanc¸as a` direita ou a` esquerda.
IV.2. Proposic¸a˜o 5: Sejam f uma func¸a˜o e xo /∈ Dom f . Se limx→xo f (x) = +∞ (ou −∞), enta˜o
lim
x→xo
1
f (x)
= 0.
• Observac¸a˜o: A Proposic¸a˜o 5 continua va´lida para limites laterais, ou seja, se o sı´mbolo lim
x→xo
por
substituı´do por um dos sı´mbolos:
ou “ lim
x→x+o
” ou “ lim
x→x−o
”.
3
V. LIMITES NO INFINITO
V.1. “Noc¸a˜o” de Limite Finito no Infinito
Sejam ` ∈ IR e uma func¸a˜o f cujo domı´nio conte´m um intervalo [a,+∞[ ou ]−∞, b].
• lim
x→+∞ f (x) = ` :⇐⇒ f (x)
arbitr≈ `, quando x se “torna cada vez maior positivamente”.
• lim
x→−∞ f (x) = ` ⇐⇒ f (x)
arbitr≈ `, quando x se “torna cada vez menor negativamente”.
• Observac¸a˜o: A interpretac¸a˜o geome´trica da noc¸a˜o de limite finito no infinito motiva a definic¸a˜o
de assı´ntota horizontal.
V.2. Limite no Infinito e Assı´ntota Horizontal - Definic¸a˜o:
Seja f uma func¸a˜o tal que um dos intervalos [a,+∞[ ou ]−∞, b] estejam contidos em D f .
Dizemos que a reta horizontal y = ` e´ uma assı´ntota horizontal ao gra´fico de f se pelo menos um
dos limites abaixo estiver verificado:
lim
x→+∞ f (x) = ` ou limx→−∞ f (x) = `.
V.3. “Noc¸a˜o” de Limite Infinito no Infinito
• A “ Noc¸a˜o”: Seja f uma func¸a˜o cujo domı´nio conte´m um intervalo [a,+∞[ ou ]−∞, b].
1. lim
x→+∞ f (x) = +∞ :⇐⇒ f (x) > K, para qualquer nu´mero positivo K, quando x se “torna
cada vez maior positivamente”.
2. lim
x→+∞ f (x) = −∞ :⇐⇒ f (x) < N, para qualquer nu´meronegativo N, quando x se “torna
cada vez maior positivamente”.
• Analogamente, tem-se a noc¸a˜o de lim
x→−∞ f (x) = +∞ ou de limx→−∞ f (x) = −∞.
• Observac¸a˜o: As proposic¸o˜es: 3.a, 5 e 6 continuam va´lidas para limites quando “x → +∞”
ou “x → −∞” (com adaptac¸a˜o conveniente da func¸a˜o envolvida).
4
VI. LIMITES FINITOS X LIMITES INFINITOS- Propriedades
• “Operando” com limites infinitos e finitos
VI.1. Proposic¸a˜o 6: Sa˜o va´lidas as propriedades:
a. Se

lim
x→xo
f (x) = +∞
e
lim
x→xo
g(x) = +∞
enta˜o

i. lim
x→xo
( f (x) + g(x)) = +∞
e
ii. lim
x→xo
( f (x) · g(x)) = +∞
b. Se

lim
x→xo
f (x) = −∞
e
lim
x→xo
g(x) = −∞
enta˜o

i. lim
x→xo
( f (x) + g(x)) = −∞
e
ii. lim
x→xo
( f (x) · g(x)) = +∞
c. Se

lim
x→xo
f (x) = +∞
e
lim
x→xo
g(x) = −∞
enta˜o

i. lim
x→xo
( f (x)− g(x)) = +∞
e
ii. lim
x→xo
( f (x) · g(x)) = −∞
d. Se

lim
x→xo
f (x) = `
e
lim
x→xo
g(x) = +∞
enta˜o

i. lim
x→xo
( f (x) + g(x)) = +∞
e
ii. lim
x→xo
( f (x) · g(x)) =
{
+∞ se ` > 0
−∞ se ` < 0
e. Se

lim
x→xo
f (x) = `
e
lim
x→xo
g(x) = −∞
enta˜o

i. lim
x→xo
( f (x) + g(x)) = −∞
e
ii. lim
x→xo
( f (x) · g(x)) =
{ −∞ se ` > 0
+∞ se ` < 0
• Observac¸o˜es:
Obs 1. As afirmac¸o˜es da Proposic¸a˜o 6 continuam va´lidas para limites quando:
“x → x−o ”, “x → x+o ”, , “x → +∞” ou “x → −∞” .
Obs 2. A Proposic¸a˜o 2 (sobre limites finitos) e a Proposic¸a˜o 6 (com limites infinitos x finitos)
mostram que os seguintes “sı´mbolos” sa˜o indeterminac¸o˜es:
“
0
0
” , “
±∞
±∞ ”, “ 0 · (±∞) ”, “ +∞+ (−∞) ” e “ −∞+ (+∞) ”.
Obs 3. Mais adiante, sera´ visto que tambe´m “ 00 ”, “∞0 ”, “ 1∞ ” representam indeterminac¸o˜es.
VII. UM LIMITE FUNDAMENTAL
VII.1. Proposic¸a˜o 7: lim
x→+∞
(
1+
1
x
)x
= e
5