Gabarito Lista 5 Casa

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MAE 116 - Noções de Estatística
Grupo D - 2o semestre de 2014
Gabarito da Quinta Lista de Exercícios
Exercício 1
O departamento de ciências econômicas de uma certa universidade possui 5 docentes do sexo
feminino e 15 do sexo masculino. Três docentes são sorteados ao acaso, com reposição dos nomes
dos docentes já sorteados na urna antes do próximo sorteio. Calcule a probabilidade de
(a) Todos serem do sexo masculino.
(b) Pelo menos 2 serem do sexo masculino.
(c) Todos serem do sexo feminino.
Como os sorteios são feitos com reposição, então cada sorteio tem uma probabilidade p “ 15{20 “ 3{4 de um
homem ser sorteado. Como os sorteios são independentes então a distribuição do número de homens sorteados
é uma binomial de parâmetros n “ 3 e p “ 3{4.
Denotemos por X a variável aleatória que conta o número de homens sorteados.
(a) Queremos calcular a probabilidade de todos os 3 sorteados serem homens:
PpX “ 3q “
ˆ
n
3
˙
p3p1´ pqn´3 “ p3 “ 27
64
“ 0,421 875
(b) Queremos calcular:
PpX ě 2q “ PpX “ 2q ` PpX “ 3q “
ˆ
n
2
˙
p2p1´ pqn´2 `
ˆ
n
3
˙
p3p1´ pqn´3
“ 3
ˆ
3
4
˙2
1
4
`
ˆ
3
4
˙3
“ 27
32
“ 0,843 75
(c) Todos os sorteados são mulheres é equivalente à nenhum dos sorteados ser homens. Dessa forma a proba-
bilidade pedida vale:
PpX “ 0q “
ˆ
n
0
˙
p0p1´ pqn´0 “ p1´ pqn “
ˆ
1
4
˙3
“ 1
64
Exercício 2
Sabe-se que 1 pessoa a cada 200.000 são portadoras de certo moléstia, provocada por defeitos
genéticos inteiramente casuais. Numa cidade de 1 milhão de habitantes, qual é a probabilidade
(aproximada) de encontrarmos
(a) nenhum caso da moléstia;
(b) pelo menos 5 portadores da moléstia; e
(c) menos do que dois casos da moléstia.
1
Denotemos por X número de portadores da moléstia na cidade. Como a moléstia é provocada por “defeitos
genéticos inteiramente casuais”, então é razoável supor que cada habitante da cidade têm ou não a moléstia
com probabilidade p “ 1{200 000, a ocorrência da moléstia em um habitante é independente da ocorrência nos
demais.
Dessa maneira X tem distribuição binomial de parâmetros n “ 106 e p “ 1{200 000. Como n é “grande” e p
“pequeno”, é razoável aproximar a distribuição de X por uma distribuição de Poisson de taxa µ “ nˆ p “ 5.
Vamos denotar por Y uma variável aleatória que tenha distribuição de Poisson de taxa µ “ 5.
(a) Queremos calcular:
PpX “ 0q « PpY “ 0q “ e
´µµ0
0!
“ e´µ “ 0,006 738
(b) Queremos calcular:
PpX ě 5q « PpY ě 5q “ 1´ PpY ă 5q
“ 1´ PpY “ 0q ´ PpY “ 1q ´ PpY “ 2q ´ PpY “ 3q ´ PpY “ 4q
“ 0,559 507
(c) Queremos calcular:
PpX ă 2q « PpY ă 2q “ PpY “ 0q ` PpY “ 1q
“ e
´µµ0
0!
` e
´µµ1
1!
“ e´µ ` e´µµ “ 0,040 428
Exercício 3
Um candidato a governador de um estado tem 35% das intenções de voto. Numa pesquisa
eleitoral em que eleitores do estado são consultados ao acaso (com reposição) sucessivamente.
(a) Qual o valor esperado do número de consultas até que se encontre um primeiro eleitor favo-
rável ao candidato em questão?
(b) Qual é a probabilidade de que precisemos mais do que 3 consultas até encontrar um eleitor
favorável ao candidato em questão?
(a) Seja X o número de eleitores consultados até encontrarmos o primeiro eleitor favorável ao candidato. Com
as consultas são feitas com reposição, então cada consulta tem uma probabilidade p “ 0,35 de resultar em
um eleitor favorável ao candidato e as consultas são independentes. Dessa forma X têm uma distribuição
geométrica de parâmetro p “ 0,35.
Portanto a sua esperança vale:
EpXq “ 1
p
“ 20
7
“ 2,857 143
(b) Queremos calcular:
PpX ą 3q “ 1´ PpX ď 3q “ 1´ PpX “ 1q ´ PpX “ 2q ´ PpX “ 3q
“ 1´ p1´ pq0p´ p1´ pq1p´ p1´ pq2p
“ 1´ p´ pp1´ pq ´ pp1´ pq2 “ 0,274 625
De maneira equivalente, poderíamos ter observado que para que tenhamos que consultar mais que 3 eleitores
até encontrar o primeiro favorável a nosso candidato, então teremos que ter encontrado um eleitor contrário
ao candidato nas 3 primeira consultas. Portanto:
PpX ą 3q “ p1´ pq3 “ 0,274 625
2
Exercício 4
O número de erros num relatório contábil segue uma distribuição de Poisson de taxa 0,01 por
página. Num relatório de 200 páginas
(a) Qual o valor esperado do número de erros?
(b) Qual é a probabilidade de não haver nenhum erro?
(a) Denotemos por X o número esperado de erros no relatório. Como o número esperado de erros por página
é de 0,01 e temos 200 páginas, então o número esperado de erros no relatório é µ “ 200ˆ 0,01 “ 2.
(b) X têm distribuição de Poisson de taxa µ “ 2, dessa forma:
PpX “ 0q “ e
´µµ0
0!
“ e´µ “ e´2 “ 0,135 335
3