17 Cap V CINEMÁTICA PLANA DOS CORPOS RÍGIDOS

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CINEMÁTICA PLANA DOS 
CORPOS RÍGIDOS 
Capítulo 5 – Aula 18 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/1 INTRODUÇÃO 
Se os movimentos associados às mudanças na forma forem muito 
pequenos, quando comparados com os movimentos do corpo 
como um todo, a hipótese de corpo rígido pode ser aceita. 
 
Movimento plano – quando todas as partes do corpo rígido 
movimentam segundo planos paralelos. 
 
Plano de movimento – plano que contém o centro de massa, 
podendo ser dividido em categorias: 
o Translação (pontos se movem segundo linhas retas e 
paralelas) 
o Rotação (pontos se movem segundo trajetórias 
circulares em torno do eixo de rotação) 
o Movimento plano geral (combinação da translação e 
rotação) 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/1 INTRODUÇÃO 
Translação 
retilínea 
Translação 
curvilínea 
Rotação em 
torno de eixo 
fixo 
Movimento 
plano geral 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
A rotação é descrita por seu movimento angular. 
 
As posições angulares são definidas por θ1 e θ2. Se β for 
invariante, derivando a relação θ2= θ1+β no tempo, temos: 
 
 
 
 
 
Dessa forma, todas as linhas traçadas sobre um corpo rígido em 
seu plano de movimento possuem o mesmo deslocamento 
angular, a mesma velocidade angular e a mesma aceleração 
angular. 
𝜃2 = 𝜃1 
𝜃2 = 𝜃1 
∆𝜃2 = ∆𝜃1 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
A velocidade angular e aceleração angular são determinadas 
derivando a coordenada de posição angular θ de qualquer linha 
do plano de movimento: 
 
 
 
 
 
 
 
Todas as relações utilizadas para movimento retilíneo podem ser 
usadas no caso de rotação em um plano, substituindo s, v e a 
por θ, ω e α. 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
Movimento de rotação com aceleração angular constante: 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
Rotação em torno de um eixo: 
 
Todos os pontos (exceto os sobre o 
eixo) se movem segundo círculos 
concêntricos – o ponto A, por 
exemplo, se move sobre trajetória 
circular de raio r. 
 
O movimento angular de corpo rígido 
é descrito pelas relações entre o 
movimento linear de A e o 
movimento angular da linha normal 
à sua trajetória. 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
Considerando e : 
 
 
 
 
 
𝜔 = 𝜃 𝛼 = 𝜔 = 𝜃 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
Essas relações podem ser expressas através do conceito de 
produto vetorial: 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
Exemplo 5/3: 
A barra em ângulo reto gira no sentido horário com uma 
velocidade angular que diminui a uma taxa de 4 rad/s². 
Escreva as expressões vetoriais para uma velocidade e para a 
aceleração do ponto A quando ω = 2 rad/s 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/2 ROTAÇÃO 
Exemplo 5/3 (solução): 
 Usando a regra da mão direita: 
 
 
 
 
 
 
 
Os módulos de v e a são: 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/3 MOVIMENTO 
ABSOLUTO 
Primeiro procedimento de análise: 
 
São utilizadas relações geométricas que definem a configuração 
do corpo envolvido e depois calculam-se as derivadas temporais 
dessas relações para se obter as velocidades e as acelerações. 
 
Inclui variáveis lineares e angulares (velocidades lineares e 
angulares e acelerações lineares e angulares). 
 
Atenção com os sinais: por exemplo, se a posição angular for 
definida no sentido horário, o sentido positivo para a velocidade 
angular e para a aceleração angular será o sentido horário. 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/3 MOVIMENTO 
ABSOLUTO 
Exemplo 5/4: 
Uma roda de raio r rola sobre uma superfície plana sem deslizar. 
Determine o movimento angular da roda em função do 
movimento angular de seu centro O. Obtenha também a 
aceleração de um ponto da borda da roda quando este entra em 
contato com a superfície sobre a qual a roda está rolando. 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/3 MOVIMENTO 
ABSOLUTO 
Exemplo 5/4 (solução): 
O deslocamento do centro O é s, que é igual ao comprimento do 
arco C´A ao longo da borda. 
A linha CO gira para sua nova posição C´O´, percorrendo um 
ângulo θ. 
 
 
 
A origem do sistema fixo foi escolhida como sendo o ponto C. 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/3 MOVIMENTO 
ABSOLUTO 
Exemplo 5/4 (solução): 
Para o instante de contato desejado, θ=0, e: 
 
 
 
A aceleração do ponto C da borda no instante de contato com a 
superfície depende apenas de r e ω e é direcionada para o 
centro da roda. 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
Segundo procedimento de análise: 
 
Velocidade relativa proveniente da rotação de um corpo rígido: 
o escolher dois pontos no mesmo corpo rígido (ponto 
observado e ponto de referência); 
o a distância radial do ponto observado ao ponto de 
referência não se altera; 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
O movimento mostrado pode ser dividido em duas etapas: 
o Movimento de translação para uma posição paralela A´´B´ 
(deslocamento Δrs) 
o Movimento de rotação em torno de B´ através do ângulo Δθ 
(deslocamento ΔrA/B) 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
O deslocamento total de A é: 
 
 
Dividindo ΔrA por Δt e levando o resultado ao limite, temos a 
equação da velocidade relativa: 
 
 
O módulo da velocidade relativa é dado por: 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
Utilizando r para representar o vetor rA/B, pode-se escrever a 
velocidade relativa como vetor: 
 
 
 
Onde ω é o vetor angular da velocidade normal ao plano do 
movimento e com sentido determinado pela regra da mão 
direita. 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
A velocidade de A é igual ao vetor soma da parcela relativa à 
translação VB, com a parcela relativa à rotação VA/B = ω x r, que 
possui módulo rω. 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade linear relativa é sempre perpendicular à linha que une 
os dois pontos em questão. 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
Exemplo 5/7: 
Uma roda de raio r=300mm rola para a direita sem deslizar e seu 
centro O possui uma velocidade V0 = 3m/s. Calcule a velocidade 
do ponto A sobre a roda para o instante apresentado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
Exemplo 5/7 (solução): 
O ponto O foi escolhido como ponto de referência. Assim: 
 
 
 A velocidade angular do segmento AO é a 
mesma da roda: 
 
 
 
 
 
O vetor vA pode ser calculado pela lei dos 
cossenos: 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/4 VELOCIDADE 
RELATIVA 
Exemplo 5/7 (solução): 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/5 CENTRO 
INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
O ponto de referência escolhido será agora o ponto cuja 
velocidade é instantaneamente nula 
 
O ponto C da figura é o centro instantâneo de velocidade nula: 
ponto em relação ao qual os pontos A e B possuem movimento 
circular absoluto no instante considerado. 
 
O eixo normal ao plano de movimento passando por esse ponto é 
chamado de eixo instantâneo de velocidade nula. 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/5 CENTRO 
INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
O ponto C é determinado pela interseção das perpendiculares aos 
vetores velocidade VA e VB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo o módulo da velocidade de um dos pontos conhecido, por 
exemplo, VA, pode-sedeterminar a velocidade angular ω do 
corpo e a velocidade linear de cada ponto do corpo. 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/5 CENTRO 
INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Quando o corpo muda de posição, o centro instantâneo C também 
muda de posição. 
 
O local geométrico das posições dos centros no espaço é 
conhecido como centrodo do espaço. 
 
O local geométrico das posições dos centros no corpo é conhecido 
como centrodo do corpo. 
 
 
 
 
 
 
No instante considerado as duas curvas 
são tangentes no ponto C. 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/5 CENTRO 
INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Apesar do centro instantâneo de velocidade nula esteja 
instantaneamente em repouso, sua aceleração não é nula. 
 
Assim esse ponto não pode ser utilizado como um centro 
instantâneo de aceleração nula de modo análogo a seu uso 
para obtenção de velocidades. 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/5 CENTRO 
INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Exemplo 5/11: 
A roda mostrada no exemplo anterior rola para a direita sem 
deslizar. Considerando que seu centro O tenha uma velocidade 
vO=3m/s, localize o centro instantâneo de velocidade nula e 
utiliza-o para obter a velocidade do ponto A para a posição 
indicada. 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/5 CENTRO 
INSTANTÂNEO DE VELOCIDADE NULA 
Exemplo 5/11 (solução): 
 
Como não há deslizamento, o ponto da 
borda da roda sobre a superfície tem 
velocidade nula. Portanto, ele é o ponto 
C de velocidade nula. Dessa forma: 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/6 
ACELERAÇÃO RELATIVA 
Considerado agora a equação da velocidade relativa. 
 
 
Derivando essa equação, obtemos: 
 
 
 
 
A aceleração do ponto A é igual à soma vetorial da aceleração do 
ponto B com a aceleração que aparenta ter quando visto de um 
observador movendo-se com B. 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/6 
ACELERAÇÃO RELATIVA 
Aceleração Relativa Devida à Rotação: 
 
Se os pontos A e B estão localizados sobre o mesmo corpo rígido e 
em movimento plano, a distância r entre eles permanece 
constante, de forma que o observador movendo-se com B tem a 
percepção de que A apresenta um movimento circular em torno 
de B com relação a velocidade relativa. 
 
Sendo o movimento circular, o termo da aceleração relativa terá 
tanto uma componente normal orientada de A para B, devido à 
variação da direção de 𝒗𝐴/𝐵 , quanto uma componente 
tangencial perpendicular ao segmento AB, devido à variação do 
módulo de 𝒗𝐴/𝐵. 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/6 
ACELERAÇÃO RELATIVA 
Aceleração Relativa Devida à Rotação: 
 
Desta forma podemos escrever: 
 
 
Onde os módulos das componentes são: 
 
 
 
Em notação vetorial: 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/6 
ACELERAÇÃO RELATIVA 
Aceleração Relativa Devida à Rotação: 
 
Onde: 
 
𝜔 é a velocidade angular; 
∝ é a aceleração angular do corpo; 
𝑟 é o vetor que posiciona A em relação a B. 
 
É importante observar que os termos da aceleração relativa 
dependem das respectivas velocidade angular absoluta e 
aceleração angula absoluta. 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: 5/6 
ACELERAÇÃO RELATIVA 
Interpretação da Equação da Aceleração Relativa: 
 
Um corpo rígido em movimento plano com os 
Pontos A e B movendo-se ao longo de 
Trajetórias curvas separadas com acelerações 
absolutas. 
 
A figura mostra a aceleração de A como 
composta de duas partes: a aceleração de 
B e ainda a aceleração de A em relação a 
B, ou seja: 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: EXEMPLO 5/13 
Uma roda de raio r rola para a esquerda sem deslizar e, no 
instante considerado, o centro O possui uma velocidade 𝑣0 e 
uma aceleração 𝑎0 para a esquerda. Determine a aceleração 
dos pontos A e C sobre a roda para o instante considerado. 
 
 
 
 
 
 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO: EXEMPLO 5/13