Calculo Diferencial e Integral II prova 3 3

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Cieˆncias Exatas – ICEx
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo Diferencial e Integral II
Resoluc¸a˜o da 3a prova - 30/06/2004 - 15h
1. Mostre que na˜o existe o limite
lim
(x,y)→(0,0)
xy
3x2 + 2y2
Soluc¸a˜o. Consideramos os limites direcionais ao longo de dois caminhos que se apro-
ximam da origem (0, 0).
Primeiro, se x = y, o limite acima e´
lim
x→0
x2
3x2 + 2x2
= lim
x→0
x2
x2(3 + 2)
=
1
5
e, em segundo lugar, se y = 2x, o mesmo limite e´
lim
x→0
x2
3x2 + 8x2
= lim
x→0
x2
x2(3 + 8)
=
1
11
e, portanto, como estes limites direcionais sa˜o diferentes, o limite no enunciado da
questa˜o na˜o existe.
2. Encontre os valores dos coeficientes positivos a e b tais que o plano tangente ao elipsoide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
4
= 3,
no ponto P = (a, b, 2) seja paralelo ao plano 6x+ y + z = 9.
Soluc¸a˜o. ∇f(x, y, z) = (2x
a2
, 2y
b2
, 2z
4
)
⇒ ∇f(a, b, 2) = (2
a
,
2
b
, 1) , e´ normal ao plano tangente ao elipsoide
f = x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
4
= 3 no ponto P = (a, b, 2).
Tambe´m sabemos que o vetor ~n = (6, 1, 1) e´ normal ao plano 6x+ y + z = 9.
Os planos sa˜o paralelos, se e somente se as normais sa˜o paralelas,
⇔

2
a
= 6λ
2
b
= λ
1 = λ
⇒ λ = 1 ⇒ a = 1
3
, b = 2
3. Considere a func¸a˜o f(x, y) = y2 + 4x2y.
(a) Encontre um vetor unita´rio ~u tal que D~uf(5, 2) = 0.
(b) Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no disco fechado
x2 − 2y + y2 ≤ 3.
Soluc¸a˜o. (a) ∇f(x, y) = (8xy, 2y+4x2), onde f(x, y) = y2+4x2y⇒ ∇f(1, 1) = (8, 6)
e se (1) ~u = (a, b) , queremos
D~uf(1, 1) = ∇f(1, 1) · ~u = (8, 6) · (a, b) = 8a+ 6b = 0 ⇒ (2) b = −4
3
a
E como ~u e´ unita´rio,
1 = |~u|2 = a2 + b2 = a2 + 16
9
a2 = 25
9
a2 ⇒ a2 = 9
25
⇒ (3) a = ±3
5
De (1), (2) e (3), escolhemos a = 3
5
⇒ b = −4
5
e ~u = (
3
5
,−4
5
)
(b) Procuraremos os valores ma´ximo e mı´nimo absoluto de f no disco fechado
x2 − 2y + y2 ≤ 3.
No interior do disco fechado, x2 − 2y + y2 < 3 :
Pontos cr´ıticos: fx = 8xy = 0, fy = 2y + 4x
2 = 0{
y = −2x2
y3 = 0
⇒ x = 0, y = 0, f(0, 0) = 0
Na fronteira do disco fechado, x2 − 2y + y2 = 3 :{
f(x, y) = y2 + 4x2y (maximizar)
g(x, y) = x2 − 2y + y2 − 3 = 0 ⇒ ∇f(x, y) = λ∇g(x, y), g(x, y) = 0,
usando multiplicadores de Lagrange.
8xy = λ(2x)
2y + 4x2 = λ(2y − 2)
x2 − 2y + y2 − 3 = 0
Duas possibilidades:
1a) x = 0 → y2 − 2y − 3 = 0 ⇒ y = −1 ou y = 3 ⇒ f(0,−1) = 1, f(0, 3) = 9
ou
2a) λ = 4y =
y + 2x2
y − 1 ⇒ 4y
2 − 4y = y + 2x2 ⇒ x2 = 2y2 − 5
2
y.
Substituindo em g(x, y) = 0,
y2−2y+2y2− 5
2
y−3 = 0 ⇒ y2−y−1 = 0⇒ y = −1
2
, x = ±
√
7
2
ou y = 2, x = ±√3.
Enta˜o f(±
√
7
2
,−1
2
) = −13
4
e f(±
√
3, 2) = 28
e estes sa˜o, respectivamente, os valores mı´nimo e ma´ximo de f (apo´s a comparac¸a˜o
entre os cinco valores achados).
4. Encontre os pontos cr´ıticos da f(x, y) = y2 − 2yx2 − 2x4 + x2 e classifique-os.
Soluc¸a˜o. Pontos cr´ıticos de f :
fx = −4xy − 8x3 + 2x = 0, fy = 2y − 2x2 = 0, onde f(x, y) = y2 − 2yx2 − 2x4 + x2
⇒

y = x2
e
−4x3 − 8x3 + 2x = 2x(−6x2 + 1) = 0
⇒

x = 0⇒ y = 0 ⇒ P1 = (0, 0) , ou
x2 = 1
6
, x = ± 1√
6
, y = 1
6
, ⇒ P2 = ( 1√
6
,
1
6
) ou P3 = (− 1√
6
,
1
6
)
Teste da derivada segunda
fxx = −4y − 16x2 + 2, fxy = −4x, , fyy = 2 D = fxxfyy − f2xy
⇒ D = −8y − 48x2 + 4 = −56y + 4
pois y = x2 num ponto cr´ıtico.
D(0, 0) = 4 > 0, fxx(0, 0) = 2 > 0⇒ P1 = (0, 0) e´ mı´nimo relativo.
D( 1√
6
, 1
6
) = D(− 1√
6
, 1
6
) = −32
6
< 0
⇒ P2 = ( 1√
6
,
1
6
) e P3 = (− 1√
6
,
1
6
) sa˜o pontos de sela.