Mecanica1 UVA Aula 8 2015 1

Prévia do material em texto

Profº Orlando Sodré Gomes 
M
e
c
â
n
ic
a
 
1
 
Aula 8 
2015.1 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.1 MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM 
Consideremos as forças distribuídas ΔF cujas 
intensidades ΔF são proporcionais aos elementos 
de área ΔA sobre as quais essas forças atuam e, 
ao mesmo tempo, variam linearmente com a 
distância entre ΔA e um dado eixo. 
Por exemplo, uma viga de seção transversal uniforme sujeita 
a dois binários iguais e opostos aplicados em cada extremidade 
da viga. Dizemos que tal viga está sob flexão pura e pela 
Mecânica dos Materiais, as forças internas em qualquer seção 
da viga são forças distribuídas cujas intensidades ΔF = ky ΔA 
variam linearmente com a distância y entre o elemento de área 
ΔA e um eixo que passa pelo centróide da seção. Esse eixo x é 
conhecido como eixo neutro da seção. 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.1 MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM 
As forças sobre um dos lados da 
seção dividida pelo eixo neutro são 
forças de compressão, ao passo que 
sobre o outro lado são forças de tração e 
sobre o próprio eixo neutro as forças são 
nulas. 
A resultante R das forças 
elementares ΔF sobre a seção é: 
Onde, esta última integral é o MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM. 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.1 MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM 
A intensidade M desse binário, ou seja, o Momento 
Fletor deve ser igual à soma dos momentos ΔMx = yΔF = 
ky²ΔA das forças elementares. 
Onde, esta última integral é o 
MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM. 
Portanto, os MOMENTOS DE SEGUNDA ORDEM ou MOMENTOS DE 
INÉRCIA de uma superfície A em relação ao eixo x e y são os seguintes: 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 MOMENTO DE INÉRCIA POR INTEGRAÇÃO 
Para calcular Ix, escolhe-se a faixa paralela 
ao eixo x, de modo que todos os pontos da faixa 
estão à mesma distância y do eixo x. 
O momento de inércia dIx da faixa é, então, 
obtido multiplicando-se a área dA da faixa por y². 
Para calcular Iy, escolhe-se a faixa paralela 
ao eixo y, de modo que todos os pontos da faixa 
estão à mesma distância x do eixo y. 
MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA SUPERFÍCIE RETANGULAR 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 MOMENTO DE INÉRCIA POR INTEGRAÇÃO 
Para se determinar o momento de inércia dIx em relação ao 
eixo x de uma faixa retangular paralela ao eixo y. Estabelecendo 
que b = dx e h = y em: 
MOMENTOS DE INÉRCIA IX E IY DE UMA FAIXA ELEMENTAR 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
EXEMPLO 1: Determine o momento de inércia de um triângulo 
em relação à sua base. 
Como todas as 
porções da faixa estão 
à mesma distância do 
eixo y, temos: 
Usando triângulos 
semelhantes, temos: 
Integrando dIx de y = 0 
até y = h, obtemos: 
Uma faixa diferencial paralela ao eixo x é 
escolhida com área dA. 
4.2 MOMENTO DE INÉRCIA POR INTEGRAÇÃO 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 MOMENTO DE INÉRCIA POR INTEGRAÇÃO 
EXEMPLO 2: Determine os momentos de inércia da área 
retangular em relação aos eixos do centróide x0 e y0. 
Invertendo os símbolos, o momento de inércia Iy em relação ao eixo y0 
é: 
Para o cálculo do momento de inércia Ix em 
relação ao eixo x0, uma faixa horizontal de área b.dy 
é escolhida. 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 MOMENTO DE INÉRCIA POLAR 
É uma integral de grande importância em problemas referentes 
à torção de eixos cilíndricos e em problemas que tratam da rotação 
de placas: 
Sendo r a distância entre 0 e o elemento 
de área dA. 
Essa integral é o Momento de Inércia Polar 
J0 da superfície A em relação ao “polo” 0. 
O momento de inércia polar pode ser calculado a partir dos 
momentos de inércia retangulares Ix e Iy . Se, r² = x² + y², temos: 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 MOMENTO DE INÉRCIA POLAR 
EXEMPLO 1: Determine o momento de inércia polar centroidal 
de uma superfície circular por integração direta. 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 RAIO DE GIRAÇÃO 
As distâncias kx e ky são denominadas Raios de Giração da 
superfície em relação aos eixos x e y: 
Se, 
Então, 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 RAIO DE GIRAÇÃO 
EXEMPLO 1: Calcule o raio de giração kx em relação à sua 
base. 
Não se deve confundir kx com a ordenada do centróide: 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 RAIO DE GIRAÇÃO 
EXEMPLO 2: Determine os raios de giração kx e ky da área 
sombreada: 
O valor de k é determinado por 
substituição de x = a e y = b na equação y = 
kx². Temos b = ka² e k = b/a². Logo, a equação 
da curva fica: 
Momento de Inércia Ix : 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 RAIO DE GIRAÇÃO 
EXEMPLO 2: Continuação. 
Momento de Inércia Iy : 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.2 RAIO DE GIRAÇÃO 
EXEMPLO 2: Continuação. 
Raios de Giração Kx e Ky : 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
Considere o momento de inércia I de uma superfície A em 
relação a um eixo AA’. Onde y é a distância entre um 
elemento de superfície de área dA e AA’, temos: 
Traça-se um eixo BB’ paralelo a AA’ passando pelo 
centróide C e eixo é denominado de eixo centroidal. 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
Onde, y’ é a distância entre o elemento dA e BB’, temos y = y’ + 
d, sendo d a distância entre os eixos AA’ e BB’. 
Momento de Inércia: 
Raio de Giração: 
Momento de Inércia Polar: 
Raio de Giração Polar: 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
EXEMPLO 1: Utilizando o teorema dos eixos paralelos 
determine o momento de inércia IT de uma superfície circular 
em relação a uma linha tangente ao círculo da figura abaixo. 
O momento de inércia de uma 
superfície circular em relação a um 
eixo centroidal é: 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
EXEMPLO 2: Utilizando o teorema dos eixos paralelos 
determine o momento de inércia centroidal de uma superfície 
quando se conhece o momento de inércia da superfície em 
relação a um eixo paralelo. 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
O momento de inércia de uma superfície que consiste em 
vários dos formatos mostrados na TABELA abaixo, pode ser 
obtido pelo uso das fórmulas dadas: 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
As propriedades das SEÇÕES TRANSVERSAIS de diversos 
formatos estruturais são dadas na TABELA abaixo: 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
C 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
EXEMPLO 1: A resistência de uma viga em perfil I 360 x 57,8 é 
aumentada ao se anexar uma placa de 225 x 18,75 mm à sua aba 
superior, como mostrado na figura. 
a) Determine o Momento de Inércia e o Raio de Giração da seção 
composta em relação a um eixo paralelo à placa passando pelo 
centróide C da seção. 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
225 mm 
18,75 mm 
358 mm 
172 mm 
A = (225 mm)(18,75 mm) = 4.218.75 mm² 
y = ½(358 mm) + 1/2(18,75 mm) = 188,38 mm 
188,38 mm 
Seção Área, mm² y, mm yA, mm² 
Placa 
 
Perfil I 
4.218,75 188,38 794.728,13 
7.230 0 0 
ΣA = 11.448,75 ΣyA = 
794.728,13 
YΣ A = Σy A Y(11.448,75) = 794.728,13 
Y = 69,42 mmC 
UNIDADE 4 – MOMENTO DE INÉRCIA 
EXEMPLO 1: Continuação 
Momento de Inércia – O teorema dos eixos paralelos é aplicado na 
determinação dos momentos de inércia do Perfil I e da Placa em 
relação ao eixo x’. 
4.3 MOMENTO DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS 
Para Perfil I 
Para Placa 
Para Seção Composta 
Raio de Giração – Temos: 
Ix’ = Ix + AY² = 160 x 10 + (7.230) (69,42)² = 194.842.356,20 mm 
6 4 
Ix’ = Ix + Ad² = 1/12 (225)(18,75)³ + (4.218,75)(188,38 - 69,42)² = 59.825.159,19 mm 
4 
Ix’ = 194.842.356,20 + 59.825.159,19 = 254.667.515,40 mm 
4 
Kx’ = 149,14 mm 
K²x’ = Ix’ / A = 254.667.515,40 mm / 11.448,75 mm² = 22244,13 mm 
2 4 
 Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. 
Referências Bibliográficas 
• MERIAM, J. L. e KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia: Estática. 
6ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. 
• BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 9ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012.