UA2_3_-_MecTec_-_Clculo_dos_momentos_de_inrcia_de_superfcies_-_Parte_1

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Mecânica Técnica – Aula 08 Prof. Gilberto Gomes 
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Cálculo dos momentos de inércia de superfícies 
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1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
 Nas aulas anteriores determinamos o centróide de uma área 
considerando o primeiro momento de área em relação a um 
eixo; Isto é, para o cálculo tínhamos que avaliar uma integral 
do tipo: . Em uma integral do segundo momento de uma 
área em torno de um eixo, tal como 
 , se chama momento de inércia de uma área. 
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1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
O momento de inércia tem origem sempre que é feita a relação entre tensão 
normal ( σ ), que atua na seção transversal de uma viga elástica, e o momento 
externo aplicado M, que causa a curvatura da viga. 
Da Teoria da Mecânica dos materiais , pode-se mostrar que a tensão na viga varia 
linearmente com sua distância de um eixo que passa pelo centróide C da área da 
seção transversal da viga, isto é, σ = k.z. A intensidade da força atuante no 
elemento de área dA, é, portanto, dF = σ.dA = k.z.dA. Como esta força está 
localizada a uma distância z do eixo y, o momento de dF em relação ao eixo y é dM 
= dF.z = k.x2.dA. O momento resultante de toda a distribuição da tensão é igual 
ao momento M aplicado. Como consequência, M = k ∫ z2. dA. 
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1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
O momento de inércia é uma média ponderada dos quadrados das distâncias de cada elemento 
de massa em relação ao eixo de referência. Significa que, para um momento de inércia grande, 
a massa está afastada do eixo, e portanto o torque necessário pra fazê-la girar será maior. 
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1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
Por definição, os momentos de inércia de uma área diferencial dA em relação aos 
eixos x e y são , respectivamente. Para a área inteira A, 
os momentos de inércia são determinados por integração; ou seja, 
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1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
Também podemos formular essa quantidade para dA em relação ao ‘polo’ O ou 
eixo z. Isso é conhecido como momento de inércia polar. Ele é definido como 
 , onde r é a distância perpendicular do polo (eixo z) até o 
elemento dA. Para a área inteira, o momento de inércia polar é: 
 
 
 
 
A relação entre é possível por que 
Por essas equações podemos observar que sempre serão positivos, 
pois envolvem o produto da distância ao quadrado e área . 
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 Considerando um caso em que é proporcional à area e que varia 
 linearmente com a distância y AkyF ∆=∆
y: distância do elemento de área ao eixo x 
eixo x: eixo neutro, passa pelo centróide da seção 
A∆
A∆
F∆
y
x
y
F∆ A∆
Sejam: 
Força distribuída em um elemento de área 
F∆ A∆
Seção transversal qualquer de 
uma viga 
C 
F∆
1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
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1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
caso de uma viga de seção reta 
uniforme submetida, nas 
extremidades, a 2 binários iguais e 
opostos (flexão pura): 
dAkydF ⋅=
 M M 
 
No eixo neutro (eixo x): forças nulas 
Acima do eixo neutro: forças de 
compressão 
Abaixo do eixo neutro: forças de 
tração 
A∆
F∆
F∆
y
x
y
Seção transversal 
qualquer da viga 
C 
∫∫ ==∫= ydAkkydAdFRR resultante de forças na seção 
Centróide C: 
0== yx
x
∫∫∫ === dAykdAkyydFM x 22Mx momento fletor na seção em torno de x 
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1- Momento de 2ª ordem (momento de inércia) de superfícies planas 
∫= ydAkR AyQydA x ==∫Mas: 
Qx: momento estático da seção em relação ao eixo x 
0=R0=y 0=xQ Resultante das forças é nula, há apenas o momento fletor M, em torno do eixo x 
∫= dAykM x 2
∫= dAyIx
2
Momento de 2ª ordem ou momento axial de inércia da seção em 
relação ao eixo y ( ) 
0≥xI
∫= dAxI y
2
Momento de 2ª ordem ou momento axial de inércia da seção 
em relação ao eixo x ( ) 
0≥yI
xkQR =
Analogamente: 
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2- Cálculo dos momentos de inércia por integração 
∫= dAyIx
2 ∫= dAxI y
2 Momentos Axiais de inércia de uma superfície de área A 
dAydI x
2=
dxdydA =
Cálculo com integral dupla: Cálculo com integral simples: 
dAxdI y
2=
dAydIx
2=( )dyxadA −=
ydxdA = dAxdI y
2=
Obs: todos os pontos do elemento 
estão a uma mesma distância y do 
eixo x 
Obs: todos os pontos do 
elemento estão a uma 
mesma distância x do 
eixo y 
xx IdI ∫=
∫= yy dII
∫∫= dxdyyI x 2 ∫∫= dxdyxI y 2
( ) ydxayI x ∫ −= 2
xdyxI y ∫= 2
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2- Cálculo dos momentos de inércia por integração 
Exemplo de Aplicação: Determine o momento de 
inércia para a área retangular mostrada na Figura abaixo, 
em relação ao eixo centroidal x’. 
O elemento diferencial mostrado na figura ao lado é 
escolhido para integração. Por causa do seu local e de 
sua orientação, o elemento inteiro está a uma distância y’ 
do eixo x’. Aqui, é necessário integrar a partir de y’ = -h/2 
para y’ = h/2. Como dA = b.dy’, então, 
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3- Teorema dos Eixos Paralelos 
O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para determinar o momento de inércia de uma 
área em relação a qualquer eixo que seja paralelo a um eixo passando pelo centroide e em 
relação ao momento de inércia conhecido. 
A Primeira integral representa o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal, Īx . 
A segunda integral é zero, pois o eixo x’ passa pelo centroide C da área; Como a terceira 
integral representa a área total A, o resultado final é, portanto: 
Uma expressão semelhante pode ser escrita para Iy , ou seja : 
E Finalmente, para o momento de inércia polar: 
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'AAI
3- Teorema dos Eixos Paralelos 
∫= dAyI AA
2
'
Seja uma superfície de área A 
C: centróide da superfície 
BB’: eixo baricêntrico (onde passa C) 
AA’: eixo qualquer paralelo ao eixo BB’ 
y: distância do elemento de área dA ao eixo AA’ 
y’: distância do elemento de área dA ao eixo BB’ 
d: distância entre os eixos paralelos AA’ e BB’ 
 : momento de inércia da superfície em relação ao eixo AA’ 
Mas: dyy += ' ( ) ∫ ∫++∫=∫ +=∫= dAddAyddAydAdydAyI AA 22
22' '2''
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3- Teorema dos Eixos Paralelos 
∫ ∫++∫= dAddAyddAyI AA
22
' '2'
Momento de inércia da superfície em relação ao eixo AA’: 
'
2' BBIdAy =∫
∫ dAy'
AdA =∫
Momento de inércia da superfície 
em relação ao eixo BB’ 
Momento estático em relação ao eixo BB’ 
0' =∫ dAyEixo BB’ passa pelo centróide 
Portanto: 2
'' AdII BBAA +=
Teorema de Steiner o momento de inércia em relação a um eixo qualquer AA’ 
é igual ao momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico BB’(paralelo a AA’) 
mais o produto Ad2 da área A pelo quadrado da distância d entre os dois eixos. 
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3- Teorema dos Eixos Paralelos 
2
0 AdJJ C +=
Momento polar de inércia da superfície em relação a O (Jo) é igual ao momento 
polar de inércia dessa superfícies em relação ao seu centróide C ( ) mais o 
produto Ad2 da área A pelo quadrado da distância d entre O e C. 
Seja uma superfície de área A 
CJ
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3- Teorema dos Eixos Paralelos 
Exemplo de Aplicação: Determine o momento de inércia para a área retangular 
mostrada na Figura abaixo, em relação ao eixo xb que passa pela base do 
ratângulo. 
Aplicando o Teorema dos eixos paralelos, 
temos: 
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3- Teorema dos Eixos Paralelos 
Exemplo de Aplicação: Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na 
Figura abaixo, em relação ao pólo sobre o eixo z’ perpendicular ao plano x’ - y’ que passa 
através do centroide C. Para obter o momento de inércia polar em relação ao 
ponto C, devemos obter primeiro Īy’ , da mesma 
maneira que foi obtido Īx’. 
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4 - Raio de Giração de uma Área 
Uma grandeza geométrica relacionada com o momento de inércia é o raio de giração. 
 
Definições: 
1 - Considere um retângulo de comprimento infinito, com a mesma área da figura original e 
a mesma inércia. O raio de giração mede a que distância do eixo terá de estar esse 
retângulo para que tenha a mesma inércia da figura original. 
 
2 - O significado físico do raio de giração pode ser melhor entendido da seguinte maneira: 
Se um corpo rígido com massa m tem um momento de inércia I em torno de um eixo, ele 
se comporta com se toda a sua massa estivesse rotacionando a uma distância k deste eixo. 
Notar que este eixo não é necessariamente aquele que passa pelo centro de massa. 
 
3 - O raio de giração é uma distância ao eixo que, para a mesma quantidade de massa, 
produz um momento de inércia igual ao do corpo analisado. Em outras palavras, se toda a 
massa do corpo estivesse concentrada no raio de giração, o momento de inércia produzido 
por esse corpo fictício teria o mesmo valor do momento de inércia real do corpo. Ele serve 
basicamente para se descartar as informações relativas à distância variável de cada ponto 
com relação ao eixo, tomando-se uma "média" do corpo como um todo. 
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4 - Raio de Giração de uma Área 
Superfície de área A que tem momento 
de inércia 
Superfície concentrada numa faixa estreita (de área A) 
paralela ao eixo x, cujo momento de inércia Ix, deve 
ser igual à da superfície original. 
Superfície concentrada numa faixa estreita (de 
área A) paralela ao eixo y, cujo momento de 
inércia Iy , é igual à da superfície original. 
Superfície concentrada numa faixa circular estreita (de 
área A) cujo momento polar de inércia Jo , é igual 
à da superfície original. 
a) 
b) c) 
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Exercícios de Aplicação 
1- Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície 
sombreada, em relação ao eixo y. 
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Exercícios de Aplicação 
Temos: 
Resposta: 
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Exercícios de Aplicação 
2- Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície 
sombreada, em relação ao eixo y e x. 
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Exercícios de Aplicação 
Resposta: 
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Exercícios de Aplicação 
3- Determine o momento de inércia em torno do eixo x da área circular apresentada na 
figura abaixo. 
Solução 1 Solução 2 
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Exercícios Complementar 
DESAFIO - Determine, por integração direta, o momento de inércia da superfície 
sombreada, em relação ao eixo y. 
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	Número do slide 20
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