AULA 04 Trigonométricas (1)

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Cálculo Integral
Prof. Luciano Andrade
Aula 04
Conteúdo da Aula 
 Integração de Potências de funções trigonométricas.
 
Para integrar funções trigonométricas que envolvem potências de expoente inteiro de
 consideremos 2 situações distintas.
As integrais 
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1ª Situação: O expoente é natural ímpar. Neste caso usamos a relação trigonométrica: 
para transformar o integrando, “quebrando” a integral em outras facilmente solúveis.
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Exemplo 01:
Preparando o integrando
Integrando:
Fazendo e teremos:
Exemplo 02:
Preparando o integrando
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Separando as integrais;
1ª integral
8
2ª integral
9
Portanto:
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2ª Situação: O expoente é natural par. Neste caso usamos uma das relações: 
ou
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Exemplo 03:
1ª Situação: Um dos expoentes é natural ímpar não negativo. Neste caso usamos a relação
As integrais 
Exemplo 04:
Observe que nesta integral um dos expoentes é ímpar.
Utilizamos então a relação para preparar o integrando como segue: 
Daí, temos que:
Agora, para calcular cada uma das integrais acima, fazemos , de onde temos 
 e então: 
2ª Situação: Os dois expoentes são naturais pares. Para este caso, usamos uma das relações:
ou
As integrais 
Exemplo 05:
Calcular
Neste caso, utilizamos as relações para preparar o integrando, como segue: 
Daí, calculando a integral, temos:
Devemos calcular, agora, separadamente, as 3 últimas integrais anteriores:
Para calcular , fazemos 
e , então:
Para calcular , preparamos o integrando usando a relação
obtendo: 
Substituição
Para calcular , utilizamos a relação (5), obtendo então:
Finalmente, substituindo estes resultados no cálculo da nossa integral temos:
Determinar:
b)
a)
c)
d)
e)
Solução:
a)
Solução:
b)
Solução:
c)
Solução:
d)
Solução:
e)
Referências
FLEMING, Diva M. & GONÇALVES, Mirian B., Cálculo A – 5ªedição. Makron Books – São Paulo, 1992
LEITHOLD, Louis., O Cálculo com Geometria Analítica, vol. 2 – Ed. Harbra – São Paulo, 1990
ANTON, Howard. Cálculo: Um novo horizonte, vol 1. 6ª edição – Bokmann – Porto Alegre, 2000.