Roteiro Estudos

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VICTOR BLUHU 2013/07 	
  
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ROTEIRO DE ESTUDOS* 
REAVAL DE CÁLC I – PIERLUIGI 
 
*Somente com os pontos mais 
importantes da disciplina 
 
LIMITES 
Fundamentais 
 Lim Senx/x = 1, qnd x tende a 0 
 Lim (e^x - 1)/x = 1, qnd x tende a 0 
Teorema do Confronto 
 Se f<=g<=h para todo x e os limites de f e de h, quando x -> p, são 
iguais, então este tbm será o limite de g quando x -> p 
Limite de função composta 
 Lim f(g(x)), quando x->p = lim f(lim g(x) quando x->p) OU 
Lim f(g(x)), x->p = Lim f(u), u ->a, a = lim g(x), x->p 
 Só serve quando f é contínua em um intervalo oportuna (a-d,a+d) ou 
então quando f não está definida em a (tem outros casos, mas pode 
desconsiderar esses) 
Função continua 
Uma função f é dita continua em um intervalo qualquer se, e somente 
se, Lim f(x) = f(a) quando x -> a para qualquer a dentro do intervalo 
 
Teorema da conservação do sinal das funções contínuas 
 Se f(a)>0, então existe um oportuno intervalo (a-d,a+d) para o qual f>0 
Teorema do anulamento 
 Se f(a)*f(b)<0, então existe um c pertencente ao intervalo (a, b) 
tal que f(c) = 0 
Teorema da monotonia/continuidade da função inversa 
 Se f for contínua e inversível em um intervalo I, então a inversa 
será monótona/contínua 
 
MÁXIMOS & MÍNIMOS 
 Teorema de Weirstrass 
 Se f é contínua em um intervalo fechado, então f tem máximo e 
mínimo 
Teorema de Fermat - para tratar de máx e mín relativos 
 Se a for um ponto interno a um intervalo I, f uma função de I em R 
e derivável em um intervalo que contenha a e a for um ponto de máximo 
ou mínimo relativo, f'(a) = 0 
Teorema da segunda derivada em pontos críticos 
 Se a segunda derivada de f em um intervalo I for contínua e 
f''(a)>0, sendo a um ponto crítico ( f'(a)=0 ), então a é um ponto de 
mínimo) - se f''(a)<0, então é de máximo 
 
Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio) 
 Se f for uma função contínua de [a,b] em R e derivável em (a,b), 
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então existe um c pertencente a (a,b) tal que f'(c)=[f(a)-f(b)]/[a-b] 
 
Teoremas de monotonia (página 36 do caderno do Pelû 
http://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT146.pdf) 
 
ROTEIRO GRÁFICOS 
Explicitar domínio 
Investigar limites "interessantes" 
 Extremos do domínio 
 Pontos de descontinuidade 
Investigar máximos e mínimos 
 3 tipos candidatos de pontos 
 Extremos de intervalo 
 Derivada inexistente 
 Derivada igual a zero (pontos críticos) 
Investigar intervalos de crescimento/decrescimento 
 Derivada positiva/negativa 
Investigar concavidade/convexidade/pontos de inflexão 
 Segunda derivada negativa/positiva/zero 
Investigar assíntotas: horizontais, verticais ou oblíquas 
 Horizontais (y = L) 
 Se lim f(x) = L qnd x tende a algum infinito 
 Verticais (x = p) 
 Se lim f(x) = ±inf qnd x tende a p 
 Oblíquas (y = mx + n) 
 Se, e somente se, lim f(x) = ±inf qnd x tende a ±inf e as 
condições a seguir forem satisfeitas: 
 Lim f(x)/x = m qnd x tende a ±inf (m é um valor real finito 
 Lim f(x) - mx = n qnd x tende a ±inf (n é um valor real finito) 
Calcular f dos pontos de máximo, mínimo, inflexão e eventuais 
raízes (raízes não são necessárias pro Pelû) 
Confeccionar o gráfico 
 
INTEGRAÇÃO 
Condição para integração de Riemann 
Se f é limitada e contínua (a par de um número finito de pontos), 
então é f é integrável 
Primitiva de f é uma função que, quando derivada, retorna a f 
Integral definida de f entre a e b (intervalo fechado [a,b] ) 
 Pode ser calculada pela diferença entre os valores de qualquer 
primitiva de f para a e b, i.e., F(b) - F(a) = G(b) - G(a) 
Teorema da média integral 
 Integral f(x) entre a a b = f(c)*(b-a), sendo c um elemento do intervalo 
(a,b) 
Teorema fundamental do Cálculo Integral 
 Se f é uma função contínua e F(x) = integral f(t)dt entre a e x, 
então F é derivável e F'(x) = f(x) 
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Integral indefinida de f 
 Retorna uma primitiva (ou família se colocar a constante C) 
Técnicas de integração 
 Integração por partes 
 Integral de f(x)G(x) = F(x)*G(x) - integral de F(x)g(x) 
 Integração por substituição 
 Integral de f(g(x))*g'(x)dx = F(g(x)) 
 Obs: ver adicional na pág 55 do caderno do Pelû 
(http://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT146.pdf) 
 Primitiva de funções racionais 
 PÁG 53 DO CADERNO DO PELÛ 
(http://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT146.pdf) 
Integral imprópria de f 
 Integração "definida" de f em um intervalo aberto [a,b), (a,b] ou 
(a,b) (e.g., integral de 1/x em [1,+inf); OU 
 Integração em intervalo fechado de função não limitada no intervalo 
(e.g., integral de 1/x em (0,1] 
 Roteiro de resolução: resolver como integral definida de f(t) entre 
a e x e, depois, achar o limite da expressão quando x -> inf 
 
TAYLOR (acho perda de tempo e não caiu na sub, mas tem quem curta) 
 PÁG 57 (http://www.ime.usp.br/~pluigi/registro-MAT146.pdf)