Notas Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem

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Notas: Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem
As equações diferenciais homogêneas lineares de segunda-ordem são equações do seguinte tipo:
a
d2y
dt
+ b
dy
dt
+ cy = 0 (1)
Estamos interessados em encontrar soluções para este problema. Para tanto, considere a função:
y (t) = ke�t (2)
Vamos mostrar que y (t) resolve a equação diferencial acima para uma escolha adequada de �:
Primeiramente, note que:
dy
dt
= �ke�t
e
d2y
dt2
= �2ke�t
Assim, temos que y (t) resolve a equação diferencial se, e somente se:
a
�
�2ke�t
�
+ b
�
�ke�t
�
+ cke�t = 0,
o que implica que:
a�2 + b�+ c = 0 (3)
Esta equação é denominada equação característica associada à (1) :
Para encontrar a solução geral do problema, vamos utilizar o seguinte teorema:
Teorema (Solução Geral da Equação Homogênea). A solução geral de uma equação diferen-
cial homogênea linear de segunda ordem é dada pela combinação linear de quaisquer duas soluções
particulares independentes.
1
A seguir, vamos considerar todos os três possíveis casos para a equação característica.
Caso 1. Se � = b2 � 4ac > 0, então:
� =
�b�p�
2a
Assim, temos que:
y1 (t) = k1e
�1t (4)
e
y2 (t) = k2e
�2t (5)
são duas soluções particulares linearmente independentes.
Do teorema acima, segue que a solução geral é dada por:
y (t) = k1e
�1t + k2e
�2t (6)
Caso 2. Se � = b2 � 4ac = 0, então:
� = � b
2a
Assim, temos que:
y1 (t) = k1e
�t (7)
é uma solução particular. Além disso, é possível mostrar que:
y2 (t) = k2te
�t (8)
também é uma solução particular da equação diferencial (1).1
1Este resultado foi demonstrado em classe.
2
Do teorema acima, segue que a solução geral é dada por:
y (t) = k1e
�t + k2te
�t (9)
Caso 3. Se � = b2 � 4ac < 0, então:
� =
�b� ip�
2a
Vamos expressar essas raízes como:
� = �� �i;
onde � = � b2a é a parte real e � =
p
�
2a é a parte imaginária. Assim, temos que:
y1 (t) = k1e
(�+�i)t
e
y2 (t) = k2e
(���i)t
são duas soluções particulares linearmente independentes. Utilizando a fórmula de Euller2 , podemos
re-escrever as expressões acima como:3
y1 (t) = k1e
�te�ti ) y1 (t) = k1e�t[cos (�t) + i:sen (�t)] (10)
e
y2 (t) = k2e
�te��ti ) y2 (t) = k2e�t[cos (�t)� i:sen (�t)] (11)
2A fórmula de Euller nos diz que: ei' =cos'+ i:sen' (vide apêndice).
3Note que cos(��t) =cos(�t) e sen(��t) = �sen(�t) :
3
Do teorema acima, segue que a solução geral é dada por:
y (t) = k1e
�t[cos (�t) + i:sen (�t)] + k2e�t[cos (�t)� i:sen (�t)]
Re-arranjando, obtemos:
y (t) = e�t[(k1 + k2)cos (�t) + (k1 � k2) i:sen (�t)]
Esta expressão consiste na solução formal da equação diferencial (1) para quaisquer constantes k1
e k2, reais ou complexas. Note, porém, que esta fórmula ainda depende de uma parte imaginária.
Como estamos interessados em uma solução real, vamos escolher k1 = c1 + ic2 e k2 = c1 � ic2,
de forma que:
y (t) = e�t[2c1cos (�t) + 2c2i2sen (�t)];
ou seja:
y (t) = e�t[2c1cos (�t)� 2c2sen (�t)];
Portanto, neste caso, a solução geral (real) é dada por:
y (t) = e�t[K1cos (�t) +K2sen (�t)]; (12)
onde K1 = 2c1 e K2 = �2c2 são duas constantes reais arbitrárias.
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Apêndice: Números Complexos
Um número complexo a + bi pode ser representado no plano cartesiano (plano complexo) da
seguinte maneira:
Uma forma alternativa de expressar o número complexo a + bi é representá–lo em termos de suas
coordenadas polares (r; �):
Neste caso, o número complexo é caracterizado como função da sua norma ou módulo:
r =
p
a2 + b2
e do ângulo �:
cos � = ar e sen� =
b
r
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Em particular, observe que, como a = r cos � e b = rsen�, temos que:
a+ bi = r(cos � + i:sen�)
Esta expressão é denominada representação em coordenadas polares de a+ bi:
Em nosso estudo sobre equações diferenciais, encontramos a expressão ea+ib. Como podemos
interpretar um número complexo quando ele aparece como expoente? A fórmula de Euller nos
diz que:
e'i = cos'+ isen'
ou geometricamente:
A demonstração deste resultado baseia-se em expansões de Taylor (ver p.871-872 do livro texto).
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