Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (21)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 22: Sistemas de Equações Diferenciais
Marcos Y. Nakaguma
25/10/2017
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Revisão
Na aula passada, vimos como resolver equações não-homogêneas do
seguinte tipo:
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = g(t) (��)
Dizemos que:
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = 0
é a equação homogênea associada a (��).
Teorema: A solução geral da equação:
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = g (t)
é dada por:
y (t) = yh (t) + yp (t) ,
onde yh (t) é a solução geral da equação homogênea associada e
yp (t) é uma solução particular qualquer da equação não-homogênea.
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Equações Não-Homogêneas de Segunda-Ordem
Exemplo: Considere a seguinte equação não-homogênea:
d2y
dt2
+
dy
dt
� 6y = 6
I Neste caso, podemos mostrar que a solução geral da equação
homogênea associada é:
yh (t) = k1e
2t + k2e
�3t
I Além disso, uma possível solução particular da equação não-homogênea
é:
yp (t) = �1
I Portanto, a solução geral da equação não-homogênea é dada por:
y (t) = k1e
2t + k2e
�3t| {z }
yh(t)
+ (�1)| {z }
yp (t)
3
Método dos Coe…cientes Indeterminados
No caso em que g(t) = d , procure soluções do seguinte tipo:
i . Para uma equação na forma (c 6= 0):
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = d ,
teste uma solução particular do tipo yp = k.
ii . Para uma equação na forma (c = 0):
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
= d ,
teste uma solução particular do tipo yp = kt.
iii . Para uma equação na forma (b = c = 0):
a
d2y
dt2
= d ,
teste uma solução particular do tipo yp = kt2.
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Sistemas de Equações Diferenciais
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Sistemas de Equações Diferenciais
Até aqui, estudamos a evolução de uma única variável ao longo do
tempo.
No entanto, em muitos casos, estamos interessados na evolução
conjunta de uma série de variáveis no tempo
Por exemplo, em modelos macro-dinâmicos, a evolução das taxas
in‡ação, desemprego e juros é interdependente.
Nesta seção, estudaremos uma forma de resolver sistemas de
equações diferenciais lineares.
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Sistemas de Equações Diferenciais
De forma geral, um sistema de duas equações diferenciais pode ser
expresso como:
dx
dt
= F (x , y , t)
dy
dt
= G (x , y , t)
Uma solução para este sistema é uma par de funções x� (t) e y � (t)
tais que:
dx� (t)
dt
= F (x� (t) , y � (t) , t)
dy � (t)
dt
= G (x� (t) , y � (t) , t)
para todo t.
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Neste curso, vamos nos concentrar no estudo de sistemas
homogêneos de equações lineares do seguinte tipo:
dy1
dt
= a11y1 + a12y2
dy2
dt
= a21y1 + a22y2
ou, em termos matriciais:"
dy1
dt
dy2
dt
#
=
�
a11 a12
a21 a22
�
| {z }
A
�
y1
y2
�
8
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Observe que se a matriz de coe…cientes é diagonal, i.e. aij = 0 para
i 6= j , então o sistema acima se reduz a:"
dy1
dt
dy2
dt
#
=
�
a11 0
0 a22
� �
y1
y2
�
,
ou seja:
dy1
dt
= a11y1
dy2
dt
= a22y2
Neste caso, não há dependência entre as variáveis do sistema.
Portanto, a solução é dada por:
y1 (t) = k1e
a11t
y2 (t) = k2e
a22t
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
De modo geral, quando a matriz de coe…cientes é não-diagonal,
precisaremos manipular o sistema de forma a representar o problema
de uma maneira que já conhecemos como resolver.
O método de resolução por substituição consiste em transformar um
sistema de primeira-ordem de duas variáveis em uma equação de
segunda ordem de uma variável.
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Exemplo 1: Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações
lineares:
�
y1 = y1 + 4y2 (1)
�
y2 = y1 + y2 (2)
I Primeiro, re-escreva a equação (1) como:
y2 =
1
4
�
�
y1 � y1
�
(3)
Da expressão acima, segue que:
�
y2 =
1
4
�
��
y 1 �
�
y1
�
11
Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Substituindo y2 e
�
y2 na equação (2), segue que:
1
4
�
��
y 1 �
�
y1
�
= y1 +
1
4
�
�
y1 � y1
�
Re-arranjando, obtemos a seguinte equação de segunda ordem em y1:
��
y 1 � 2
�
y1 � 3y1 = 0 (4)
I A solução geral da equação acima é dada por:
y1 (t) = k1e
3t + k2e
�t , (5)
com
�
y1 = 3k1e
3t � k2e
�t
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Dada a solução geral y1 (t), nosso objetivo agora é resolver o sistema
para y2 (t). Substituindo as duas expressões acima na equação (3),
obtemos:
y2 =
1
4
n�
3k1e
3t � k2e
�t
�
�
�
k1e
3t + k2e
�t
�o
) y2 (t) =
1
2k1e
3t � 12k2e
�t
I Portanto, a solução geral do sistema é dada por:
y1 (t) = k1e
3t + k2e
�t
y2 (t) =
1
2
k1e
3t �
1
2
k2e
�t
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Note que, na prática, dado o sistema de equações diferenciais:"
�
y1
�
y2
#
=
�
a11 a12
a21 a22
� �
y1
y2
�
podemos aplicar o seguinte procedimento:
i . Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
��
y 1 � tr (A)
�
y1 + det (A) y1 = 0
para y1 (t) .
ii . Substitua y1 (t) e
�
y1 (t) na primeira equação e resolva para y2 (t) .
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Observe que, alternativamente, poderíamos começar resolvendo para
y2 (t), mas neste caso devemos re-expressar o sistema como:"
�
y2
�
y1
#
=
�
a22 a21
a12 a11
� �
y2
y1
�
Note que tanto o traço quanto o determinante da matriz de
coe…cientes permanecem inalterados.
Neste caso, aplicamos o seguinte procedimento:
i . Resolva a equação diferencial de segunda ordem:
��
y 2 � tr(eA)�y2 + det(eA)y2 = 0
para y2 (t) .
ii . Substitua y2 (t) e
�
y2 (t) na primeira equação e resolva para y1 (t) .
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Note que existe uma relação bastante próxima entre os autovetores e
autovalores da matriz de coe…cientes A e a solução do sistema de
equações diferenciais...
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Em particular, considere o sistema:"
�
y1
�
y2
#
=
�
a11 a12
a21 a22
� �
y1
y2
�
Sejam λ1 e λ2 dois autovalores reais distintos e v1 =
�
v11
v12
�
e
v2 =
�
v21
v22
�
os seus respectivos autovetores.
Neste caso, a solução geral do sistema é dada por:�
y1 (t)
y2 (t)
�
= k1
�
v11
v12
�
eλ1t + k2
�
v21
v22
�
eλ2t
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Considere novamente o seguinte sistema de equações lineares:
�
y1 = y1 + 4y2
�
y2 = y1 + y2
Mostramos que a solução geral do sistema é dada por:
y1 (t) = k1e
3t + k2e
�t
y2 (t) =
1
2
k1e
3t �
1
2
k2e
�t
ou, em forma matricial:�
y1 (t)
y2 (t)
�
= k1
�
1
1
2
�
e3t + k2
�
1
� 12
�
e�1t
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
As possíveis trajetórias das variáveis y1 (t) e y2 (t) podem ser
reprepresentadas conjuntamente através do seguinte grá…co:
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
Exemplo 2: Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações
lineares:
�
y1 = y1 � 5y2 (6)
�
y2 = 2y1 � 5y2 (7)
Além disso, obtenha a solução particular que satisfaz y1 (0) = 1 e
y2 (0) = 0.
I Re-escreva a equação (6) como:
y2 = �
1
5
�
�
y1 � y1
�
(8)
Da expressão acima, segue que:
�
y2 = �
1
5
�
��
y 1 �
�
y1
�
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Substituindo y2 e
�
y2 na equação (2), obtemos:
�
1
5
�
��
y 1 �
�
y1
�
= 2y1 +
�
�
y1 � y1
�
Re-arranjando, obtemos a seguinte equação de segunda ordem em y1:
��
y 1 + 4
�
y1 + 5y1 = 0 (9)
I As raízes da equação característica associadas a esta equação
diferencia são:
λ = �2� i
Logo, a solução geral da equação acimaé dada por:
y1 (t) = e
�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)], (10)
com
�
y1 = �2e
�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)] + e
�2t [�k1sen (t) + k2 cos (t)]
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Substituindo as duas expressões acima na equação (3), obtemos:
y2 =
1
5
�
3e�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)]� e
�2t [�k1sen (t) + k2 cos (t)]
�
) y2 (t) = e
�2t
h�
3
5k1 �
1
5k2
�
cos (t) +
�
1
5k1 +
3
5k2
�
sen (t)
i
I Portanto, a solução geral do sistema é:
y1 (t) = e
�2t [k1 cos (t) + k2sen (t)]
y2 (t) = e
�2t
��
3
5
k1 �
1
5
k2
�
cos (t) +
�
1
5
k1 +
3
5
k2
�
sen (t)
�
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Sistemas de Equações Diferenciais Lineares
(Cont.)
I Dada as condições iniciais y1 (0) = 1 e y2 (0) = 0, temos que:
y1 (0) = k1 = 1
y2 (0) =
3
5
k1 �
1
5
k2 = 0
Logo, k1 = 1 e k2 = 3.
I Portanto, a solução particular do sistema é:
y1 (t) = e
�2t (cos (t) + 3sen (t))
y2 (t) = e
�2t (2sen (t))
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