Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (4)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 4: Posto e Álgebra Matricial
Marcos Y. Nakaguma
11/08/2017
1
Revisão
Na aula passada, de…nimos o posto de uma matriz como o número de
linhas não-nulas em sua forma escalonada por linhas.
Dado um sistema de m equações lineares e n variáveis, mostramos
que:
1. Se posto A = posto bA, então o sistema admite solução.
1.1 Se posto A = posto bA = n, então existe uma única solução (i.e. o
sistema é possível e determinado).
1.2 Se posto A = posto bA < n, então existem in…nitas soluções (i.e. o
sistema é possível e indeterminado).
2. Se posto A < posto bA, então o sistema não admite solução (i.e. o
sistema é impossível).
2
Sistemas de Equações Homogêneos
Considere agora um sistema em que todos os coe…cientes do lado
direito são zero:
a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = 0
Um sistema como este é denominado sistema homogêneo.
Observe que qualquer sistema homogêneo tem pelo menos uma
solução, denominada solução nula ou trivial:
x1 = x2 = ... = xn = 0
A questão é saber se esta solução é única ou se existem outras
soluções.
3
Sistemas de Equações Homogêneos
Note que, no caso de uma sistema homogêneo, o posto da matriz de
coe…cientes é sempre igual ao posto da matriz aumentada:
posto Ah = posto bAh
Intuitivamente, a adição de uma coluna de zeros a uma matriz em
forma escalonada não altera o seu posto:
posto
0
@ � � �0 � �
0 0 0
1
A = posto
0
@ � � � 00 � � 0
0 0 0 0
1
A
4
Sistemas de Equações Homogêneos
Segue do teorema de Rouché-Capelli que, como posto Ah = postobAh, um sistema homogêneo sempre admite solução.
Além disso, temos que:
i . Se posto Ah = posto bAh = n, então existe uma única solução.
ii . Se posto Ah = posto bAh < n, então existem in…nitas soluções.
onde n é o número de incógnitas do sistema.
5
Matriz de Coe…cientes Não-Singular
Dados b1, ..., bm quaisquer, quantas soluções possuem os sistemas
correspondente às matrizes aumentadas (na forma escalonada)
abaixo?
i . bA =
0
@ � � � b10 � � b2
0 0 � b3
1
A possui uma única solução;
ii . bA =
0
@ � � � b10 � � b2
0 0 0 b3
1
A possui nenhuma ou in…nitas soluções;
iii . bA =
0
@ � � � � b10 � � � b2
0 0 � � b3
1
A possui in…nitas soluções;
6
Matriz de Coe…cientes Não-Singular
(Cont.)
iv . bA =
0
BB@
� � � b1
0 � � b2
0 0 � b3
0 0 0 b4
1
CCA possui uma única solução ou nenhuma.
7
Matriz de Coe…cientes Não-Singular
De…nição: Uma matriz de coe…cientes A é não-singular se para
qualquer b1, ..., bm , o sistema correspondente de equações lineares
tem exatamente uma solução.
Propriedade: Uma matriz de coe…cientes é não-singular se, e somente
se:
posto A = no linhas de A = no colunas de A
Note que uma matriz de coe…cientes não-singular deve ser
necessariamente quadrada e ter posto máximo.
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Exercícios Sugeridos: Capítulo 7
) 7.8, 7.131, 7.14, 7.15, 7.16, 7.18, 7.20, 7.21, 7.22 e 7.23.
1Neste exercício, reduza as matrizes dadas apenas à forma "escalonada por linhas".
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Álgebra Matricial
10
Álgebra Matricial
Como vimos anteriormente, sistemas de equações lineares podem ser
representados por meio de notação matricial da seguinte maneira:2
6664
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 ... amn
3
7775
2
6664
x1
x2
...
xn
3
7775 =
2
6664
b1
b2
...
bn
3
7775 $ Ax = b
A álgebra matricial será bastante útil no processo de resolução de
sistemas lineares.
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Matrizes
Uma matriz é simplesmente um agrupamento retangular de números.
Assim, qualquer tabela de dados é uma matriz.
A =
2
6664
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
ak1 . . . akn
3
7775
O tamanho de uma matriz é indicado pelo número de suas linhas e
colunas. Uma matriz com k linhas e n colunas é chamada matriz k
por n.
O elemento na linha i e coluna j é genericamente representado por aij .
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Operações Básicas: Adição e Subtração
Podemos somar duas matrizes de mesmo tamanho, i.e. com o mesmo
número de linhas e colunas. A matriz resultante possui o mesmo
tamanho das matrizes somadas:
A+ B =
2
64
a11 � � � a1n
...
. . .
...
ak1 � � � akn
3
75+
2
64
b11 � � � b1n
...
. . .
...
bk1 � � � bkn
3
75
=
2
64
a11 + b11 � � � a1n + b1n
...
. . .
...
ak1 + bk1 � � � akn + bkn
3
75
Note que não é possível somar matrizes de tamanho diferente:
A soma
�
1 2 3
0 2 �2
�
+
�
3 6
1 4
�
não está de…nida!
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Operações Básicas: Multiplicação por Escalar
As matrizes podem ser multiplicadas por números, i.e. escalares:
r .A = r .
2
64
a11 � � � a1n
...
. . .
...
ak1 � � � akn
3
75 =
2
64
r .a11 � � � r .a1n
...
. . .
...
r .ak1 � � � r .akn
3
75
Exemplo:
1
2
.
�
2 1
1 0
�
=
�
1 12
1
2 0
�
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Operações Básicas: Multiplicação Matricial
Dadas duas matrizes A e B, podemos de…nir a matriz produto AB se,
e somente se:
no colunas de A = no linhas de B
Assim, para que o produto exista, A deve ser k�m e B deve ser m�n.
A matriz AB possui tamanho k�n, i.e. ela herda o número de linhas
de A e o número de colunas de B.
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Operações Básicas: Multiplicação Matricial
Para obter a entrada (i , j) de AB, multiplique a i-ésima linha de A
pela j-ésima coluna de B da seguinte maneira:
�
ai1 ai2 � � � aim
�
2
6664
b1j
b2j
...
bmj
3
7775 = ai1b1j + ai2b2j + ...+ aimbmj
=
m
∑
h=1
aihbhj
Exemplo:
�
2 5 3
1 6 7
� 24 1 04 2
3 7
3
5 = � 2.1+ 5.4+ 3.3 2.0+ 5.2+ 3.7
1.1+ 6.4+ 7.3 1.0+ 6.2+ 7.7
�
16
Operações Básicas: Multiplicação Matricial
Note que:
O produto
�
2 5 3
1 6 7
� �
1 0
4 2
�
não está de…nido!
De forma geral, AB 6=BA. Observe que, mesmo que AB e BA tenham
o mesmo tamanho, AB não precisa ser igual a BA. Por exemplo,�
2 1
1 1
� �
1 �1
0 2
�
=
�
2+ 0 �2+ 2
1+ 0 �1+ 2
�
=
�
2 0
1 1
�
enquanto�
1 �1
0 2
� �
2 1
1 1
�
=
�
2� 1 1� 1
0+ 2 0+ 2
�
=
�
1 0
2 2
�
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Operações Básicas: Multiplicação Matricial
A matriz n�n
I =
2
6664
1 0 � � � 0
0 1 � � � 0
...
...
. . .
...
0 0 � � � 1
3
7775
é denominada matriz identidade.
Note que para qualquer matriz A de tamanho m�n:
AI = A
e para qualquer matriz B de tamanho n�l :
IB = B
Exemplo: 2
4 1 23 4
5 6
3
5 � 1 0
0 1
�
=
2
4 1 23 4
5 6
3
5
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Leis da Álgebra de Matrizes
Associatividade:
(A+ B) + C = A+ (B + C )
(AB)C = A (BC )
Comutatividade da adição:
A+ B = B + A
Distributividade:
A (B + C ) = AB + AC
(A+ B)C = AC + BC
Nota: A comutatividade da multiplicação de matrizes não é válida:
AB 6= BA
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Operações Básicas: Transposição de Matrizes
A transposta de uma matriz A de tamanho k � n é uma matriz de
tamanho n� k obtida através permutação entre as linhas e as
colunas de A.
Exemplos: �
a11 a12 a13
a21 a22 a23
�T
=
2
4 a11 a21a12 a22
a12 a23
3
5
�
a11
a21
�T
=
�
a11 a21
�
Portanto, a entrada (i , j) da matriz A torna-se a entrada (j , i) de AT .
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Operações Básicas: Transposição de Matrizes
As seguintes propriedades são válidas para a transposição de matrizes:
i . (A+ B)T = AT + BT
ii . (AT )T = A
iii . (rA)T = rAT
iv . (AB)T = BTAT
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Álgebra de Matrizes Quadradas
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Matriz Inversa
Para um número real qualquer a, de…nimos o seu inverso como um
número a�1 tal que a.a�1 = a�1.a = 1. No caso das matrizes
quadradas, podemos de…nir um conceito análogo de matriz inversa.
De…nição: Seja A uma matriz n� n. Uma matriz B de tamanho
n� n é uma inversa para A se:
AB = BA = I
Teorema: Uma matriz A de tamanho n� n pode ter, no máximo,
uma única inversa.
I Prova: Suponha queB e C são inversas de A. Note que:
C = CI = C (AB) = (CA)B = IB = B,
Portanto, as matrizes B e C são idênticas.
�
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Relação entre Matrizes Inversa e Não-Singular
Lembre-se que de…nimos que uma matriz quadrada A é não-singular
se, e somente se, o sistema Ax = b possui uma única solução x para
qualquer b, i.e. A deve possuir posto máximo.
Teorema: Uma matriz A de tamanho n� n é invertível se, e somente
se, A é não-singular.
I Prova (parcial): Suponha que A é invertível. Então, o sistema Ax = b
possui uma única solução x dada por:
Ax = b $ A�1Ax = A�1b ) x = A�1b
Note que a solução é única, pois a matriz inversa é única.
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