Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (19)

Prévia do material em texto

EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 20: Equações Diferenciais de Segunda Ordem
Marcos Y. Nakaguma
18/10/2017
1
Revisão
Na aula passada, começamos o nosso estudo sobre as equações
diferenciais homogênea de segunda-ordem:
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = 0 (1)
Nosso objetivo é encontrar a solução geral y (t) desta equação.
Para tanto, de…nimos a equação:
aλ2 + bλ+ c = 0, (2)
denominada equação característica de (1) . Denote por λ1 e λ2 as
raízes desta equação.
2
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Teorema: A solução geral de uma equação diferencial homogênea
linear de 2a ordem é dada pela combinação linear de quaisquer duas
soluções particulares independentes.
3
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Raízes Reais
Teorema 1: Considere a equação:
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = 0
e suponha que as raízes λ1 e λ2 da equação característica
aλ2 + bλ+ c = 0 sejam reais.
i . Se λ1 6= λ2, então a solução geral da equação acima é dada por:
y (t) = k1e
λ1t + k2e
λ2t
ii . Se λ1 = λ2, então a solução geral da equação acima é dada por:
y (t) = k1e
λt + k2te
λt
4
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Caso 1: Raízes Reais Distintas
Exemplo 1: Resolva o seguinte problema de valor inicial:
d2y
dt2
� dy
dt
� 2y = 0,
onde y (0) = 3 e dy (0)
dt
= 0.
I Primeiro, devemos encontrar a solução geral do problema. A equação
característica associada à equação diferencial acima é dada por:
λ2 � λ� 2 = 0
As raízes desta equação são λ1 = 2 e λ2 = �1. Portanto, a solução
geral é:
y (t) = k1e
2t + k2e
�t
5
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Caso 1: Raízes Reais Distintas
(Cont.)
I Para encontrar a solução particular, devemos avaliar as funções:
y (t) = k1e
2t + k2e
�t
e
dy (t)
dt
= 2k1e
2t � k2e�t
no ponto 0. Assim, obtemos as seguintes equações:
y (0) = k1 + k2 = 3
e
dy (0)
dt
= 2k1 � k2 = 0
I Resolvendo o sistema acima para k1 e k2, obtemos: k1 = 1 e k2 = 2.
Portanto, a solução do problema de valor inicial é:
y (t) = e2t + 2e�t
6
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Caso 2: Raízes Reais Iguais
Exemplo 2: Resolva o seguinte problema de valor inicial:
d2y
dt2
� 4dy
dt
+ 4y = 0,
onde y (0) = 2 e dy (0)
dt
= 5.
I Primeiro, devemos encontrar a solução geral do problema. A equação
característica associada à equação diferencial acima é dada por:
λ2 � 4λ+ 4 = 0
As raízes desta equação são λ1 = λ2 = 2. Portanto, a solução geral é:
y (t) = k1e
2t + k2te
2t
7
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Caso 2: Raízes Reais Iguais
(Cont.)
I Para encontrar a solução particular, devemos avaliar as funções:
y (t) = k1e
2t + k2te
2t
e
dy (t)
dt
= 2k1e
2t + k2e
2t + 2k2te
2t
no ponto 0. Assim, obtemos as seguintes equações:
y (0) = k1 = 2
e
dy (0)
dt
= 2k1 + k2 = 5
I Resolvendo o sistema acima para k1 e k2, obtemos: k1 = 2 e k2 = 1.
Portanto, a solução do problema de valor inicial é:
y (t) = 2e2t + te2t
8
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Raízes Complexas
Teorema 2: Considere a equação:
a
d2y
dt2
+ b
dy
dt
+ cy = 0
e suponha que as raízes λ1 e λ2 da equação característica
aλ2 + bλ+ c = 0 sejam complexas, com λ = α� βi . Então, a
solução geral da equação acima é dada por:
y (t) = eαt [k1 cos (βt) + k2sen (βt)]
9
Nota: Números Complexos
Um número complexo a+ bi pode ser representado no plano
cartesiano (plano complexo) da seguinte maneira:
10
Nota: Números Complexos
Uma forma alternativa de expressar o número complexo a+ bi é
representá–lo em termos de suas coordenadas polares (r , θ):
11
Nota: Números Complexos
Neste caso, o número complexo é caracterizado como função da sua
norma ou módulo:
r =
p
a2 + b2
e do ângulo θ:
cos θ = a
r
e senθ = b
r
Note que, como a = r cos θ e b = rsenθ, temos que:
a+ bi = r(cos θ + i .senθ)
Esta expressão é denominada representação em coordenadas polares
de α+ βi .
12
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Caso 3: Raízes Complexas
Exemplo 3: Resolva o seguinte problema de valor inicial:
d2y
dt2
+ 2
dy
dt
+ 2y = 0,
onde y (0) = 0 e dy (0)
dt
= 1.
I Primeiro, devemos encontrar a solução geral do problema. A equação
característica associada à equação diferencial acima é:
λ2 + 2λ+ 2 = 0
As raízes desta equação são dadas por:
λ =
�2� ip4
2
) λ = �1� i
Assim, α = �1 e β = 1 e, portanto, a solução geral é:
y (t) = e�t [k1 cos (t) + k2sen (t)]
13
Equações Diferenciais Homogêneas de Segunda-Ordem
Caso 3: Raízes Complexas
(Cont.)
I Para encontrar a solução particular, devemos avaliar as funções:
y (t) = e�t [k1 cos (t) + k2sen (t)]
e
dy (t)
dt
= �e�t [k1 cos (t) + k2sen (t)] + e�t [�k1sen (t) + k2 cos (t)]
no ponto 0. Assim, obtemos as seguintes equações:
y (0) = k1 = 0
e
dy (0)
dt
= �k1 + k2 = 1
I Resolvendo o sistema acima para k1 e k2, obtemos: k1 = 0 e k2 = 1.
Portanto, a solução que satisfaz as condições iniciais é:
y (t) = e�t sen (t)
14
Convergência
Caso 1 (Raízes Reais Distintas): A solução
y (t) = k1e
λ1t + k2e
λ2t
é convergente independentemente das condições iniciais se, e somente
se, λ1, λ2<0.
Caso 2 (Raízes Reais Iguais): A solução
y (t) = k1e
λt + k2te
λt
é convergente independentemente das condições iniciais se, e somente
se, λ<0.
Caso 3 (Raízes Complexas): A solução
y (t) = eαt [k1 cos (βt) + k2sen (βt)]
é convergente independentemente das condições iniciais se, e somente
se, α<0. (Nota: Neste caso, a trajetória é oscilatória.)
15