P1(2)Matemática Aplicada à Economia

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P1 – Matemática Aplicada à Economia
Professor: Fernando Postali
Considere o sistema homogêneo abaixo. Existem de α ϵ R para os quais o sistema admite infinitas soluções? 
αx – 3y + 3z = 0
x + (1 – α)y = 0
3y + z = 0
Sejam U e W subconjuntos do R³ definidos por U = {(a,b,c,), 
a = b = c} e W = {(0,b,c)}.
Mostre que U e W são subespaços de R³.
Encontre U ∩ W.
Considere uma transformação linear T:R³ R³ tal que T(x,y,z) = (x + 2y – z, y + z, x + y – 2z).
Encontre o núcleo e a imagem de T, bem como suas respectivas dimensões.
Verifique se T é injetora e/ou sobrejetora. Justifique.
Considere os vetores v = (1, -2, -1) ϵ R³ e w = (4, -x, x) ϵ R³. 
Determinar o valor de x de modo que v e w sejam ortogonais. Nestas condições, encontre a norma de ambos os vetores.
Existem valores de x ϵ R para os quais v e w formam um ângulo de 60º? 
Seja A = | 4	2 |
 | -1	1 |
Encontrar todos os autovalores e autovetores linearmente independentes de A. 
Encontre todos os autovalores e os autovetores linearmente independentes da matriz inversa de A. O que você pode concluir?
Demonstre a propriedade verificada no item (b) para uma matriz A qualquer.