apostila c3

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Cálculo Diferencial e Integral 3
	
Profa. Roseli Camargo da Silva de Paula
2018
PLANO DE ENSINO
1. Os espaços vetoriais R2 e R3 
2. Funções vetoriais. 
3. Funções de duas e três variáveis
4. Funções diferenciáveis.
5. Funções Integráveis.
Bibliografia
1) FLEMMING, D. Cálculo B .São Paulo -Pearson
2) Hughes-Hallett, Deborah et al. Cálculo de Várias Variáveis. São Paulo: Edgard Blücher, 1999.
2) GUIDORIZZI, H. L.Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC.5 ª edição. v.1 e v. 2. 
3) LEITHOLD, L. O Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra. 1994 v.1 e v.2. 
4) Stewart J. Cálculo . São Paulo: Pearson .1994. v.1 e v.2
Email: roseli.paula@prof.uniso.br
Sistema de Avaliação: 3 provas+ exercícios MF= 0,3.P1+0,3.P2+0,4.P3
OS ESPAÇOS |R2 e |R3
O PLANO |R2
|R2 é o conjunto dos pares ordenados (x, y) de números reais. 
Da Geometria analítica, sabemos que se fixando um sistema de coordenadas cartesianas num plano, por meio de dois eixos perpendiculares entre si, estabelecemos uma correspondência um-a-um entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais.
O ESPAÇO |R3
Designamos por |R3 o conjunto das ternas ordenadas (x, y, z) de números reais.
A cada ponto do espaço fazemos corresponder uma terna ordenada (x, y, z) de números reais. Para isso estabelecemos um sistema de coordenadas cartesianas no espaço. Fixamos três eixos, perpendiculares dois a dois, passando por um ponto comum, a origem do sistema, como três retas que se interceptam. Os eixos são eixo x ou das abscissas, eixo y ou eixo das ordenadas e eixo z ou eixo das cotas.
CONCEITOS RELATIVOS AO PLANO |R2
Distância Entre Dois Pontos
Se A =(x1, y1) e B = (x2, y2) são dois pontos de |R2, a distância entre A e B é dada por:
d =dist(A, B) = 
Se A= (x1, y1, z1) e B = ( x2, y2,z2) são pontos de |R3 então a distância entre A e b é dada por 
d = dist(A, B) = 
Exemplo: a) Calcule a distância entre os pontos A = (2,-1) e B = (-1,3).
d =dist(A, B) == .
b) Calcule a distância entre os pontos A = (1,2,3) e B = (-1,2,4)
d =dist(A, B) ===.
Curvas De |R2
Representam-se as curvas planas de duas maneiras:
Pela equação cartesiana F(x, y) = 0.
Por equações paramétricas, da forma x = x(t) e y = y(t), t em |R.
A curva mais simples é a reta, sendo a sua equação geral da forma A x + B y + C=0, onde A2 +B2 0. Na forma paramétrica a reta é dada por x = x(t) = a1 +b1 t e y = y(t) =a2 + b2 t, onde t |R.
A circunferência de centro C = (x0, y0) e raio r > 0 é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano tais que a dist (P, C) = r. Logo, sua equação é:=r (x-x0)2 + (y – y0)2 = r2
A elipse é uma curva definida como o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante. Se seus eixos são paralelos aos eixos x e y, sua equação é da forma =1, onde (x0 ,y0) é o centro e a e b são respectivamente os semieixos paralelos aos eixos x e y.
A hipérbole é uma curva definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é constante. Se seus eixos são paralelos aos eixos x e y, sua equação é da forma: a) =1 ou b) -=1
A parábola (em x) é uma curva cuja equação é dada por y = ax2 + b.x + c 
A parábola (em y) é uma curva cuja equação é dada por x = ay2 + b y + c .
Exemplos: Reconheça e represente geometricamente as curvas do plano definidas por:
 x2 + y2 = 4 ==> circunferência de centro (0,0) e raio 2	
				2
				 
		 
	 		-2		 2
			
 -2
			
2x+3y=6 reta
	x
	y
	0
	2
	3
	0
		 
			 2
				
					 3	 
3) x2 – y = 4
- y = 4-x² y = - 4 +x² parábola 
X=0 y=-4+0²=-4 e Y=0 -4 + x² = 0 x² = 4 x =± 2 
				
	
 					 -2	 2
						-4
4) - x 2-y 2 = -9 (-1) ==> x²+y² = 9 circunferência de centro (0,0) e raio 3
				3
				 
		 
			-3		 3
				-3
5) x-y = 4 reta
	
	X
	Y
	0
	-4
	4
	0
		 	 			
						 4
					 
																 -4
									 
6) x+y2 = 4
x+y² =4 x= 4-y² parábola 
x=0 4-y²=0-y²= -4 y² = 4 y = ± 2 
y=0 x =4-0² = 4
	2			
		
 
	 4
 -2
3x²+12y² = 300 elipse (:300)
3x²/300+12y²/300=300/300	
x²/100+ y²/25 =1 centro C=(0,0)
a² = 100 a = ± 105
b² = 25 b = ± 5				 
			-10			 10-5
				 
8) 12x² = 4-12y²12x²+12y² =4 (:12)
12x²/12+12y²/12 =4/12 
x²+y²=1/3 circunferência de centro (0,0) e raio = 0,57		 
0,57 
-0,57		 0,57
				
		
 -0,57
9) x+y² = y x= y-y² parábola 
x=0 y-y²=0 a =-1, b = 1, c =0
=b²-4.a.c=1²-4.(-1).0 =1	
Y = (-b±)/2.a = -1±1/-2 y’=0/-2 =0; y” = -2/-2 = 1
y=0 x =0-0² = 0
vértice: xv = -/4a= -1/-4 = 0,25
yv = -b/2a = -1/-2 =0,5
		 								
Regiões de |R2
As regiões do plano expressam-se por inequações em x e y tais que como 
F(x, y) > 0 , F(x, y) < 0, F(x, y ) 0 ou F(x, y ) 0.
As inequações lineares definem semi-planos. A reta Ax + By + C= 0 chama-se fronteira do semiplano.
Exemplo: Represente geometricamente o conjunto dos (x, y) tais que x – y +2 > 0.
Denomina-se bola fechada ou círculo fechado de centro C= (x0, y0) e raio r > 0 o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano cuja distância ao centro é menor do que ou igual a r. A equação da bola fechada é: (x-x0)2 + (y – y0)2 r2
A bola aberta de centro C= (x0, y0) e raio r > 0 é o conjunto dos pontos P = (x, y) do plano cuja distância ao centro é estritamente menor do que o raio. A equação da bola aberta é
(x-x0)2 + (y – y0)2 < r2
A bola aberta chama-se ainda interior da bola fechada. O conjunto dos pontos cuja distância ao centro é estritamente maior que o raio chama-se exterior da bola fechada. A circunferência chama-se fronteira da bola fechada ou aberta. A bola fechada contém a fronteira e a bola aberta não.
Exemplo: Reconheça e represente geometricamente as curvas ou regiões do plano definidas por:
x2 + y2 = 4		c) x2 + y2 < 4		e)x² + y < 4		g) x+y² 4
x2 + y2 > 4		d) x2 - y > 4		f) x2 + y2 4		h) x² + y² 4
Resolução:
a) x2 + y2 = 4 		 2
circunferência de -2		 2
centro C=(0,0) 
raio r = 	 -2 
		
	b) x2 + y2 > 4				f) x2 + y2 4
 
 2
 -2		 2
				
		-2
d) x2 – y > 4
Fronteira: x² - y = 4 -y = 4-x² y = - 4 +x² parábola passando por -4 + x² = 0 x² = 4 x =± 2 e y = -4. Teste: (0,0) 0²-0 >4 Falso				
	
 
c) x2 + y2 < 4			h) x2 + y2 4
 2
 -2		 2
				
		-2
g) x+y2 4 x+y² =4 x= 4-y² parábola passando por y = ± 2 e x = 4
	2				(0,0) 0+0² 4 verdadeiro
		
 
		 4
	-2
Curvas são representadas por equações.
1. reta ax + by + c = 0, (expoente 1 e 1) equação cartesiana
2.1 circunferência de centro C=(0,0) raio rx²+y² = r²(expoente 2 e 2 e coeficientes iguais)
2.2 circunferência de centro C=(x0,y0) raio r(x-x0)²+(y-y0)² = r
3.1 Elipse de centro C= (0,0) e semi-eixos a e bx²/a²+y²/b²=1 (exp.2 e 2 e coef. diferentes)
3.2 Elipse de centro C= =(x0,y0) e semi-eixos a e b(x-x0)² /a²+(y-y0)²/b²=1 
4. parábola y = ax2+bx+c ou x = ay2+by + c (expoentes 1 e 2 ou 2 e 1)
Passos: 1º) x=0, 2º) y=0, 3º) vértice (se b≠0 ou ≠0) se x² use: (xv=-b/2a; yv= -/4a) 
se y² use: (xv = -/4a ;yv= -b/2a) 
Regiões são representadas por inequações. (São dadas por < , ≤, <, ≥ e ≠)
1º) fronteira linha tracejada se <; >; ≠ e linha continua se ≤; ≥; = 
2º) faz teste com um ponto que não está sobre a linha, se V pinta onde está o ponto; se F pinta a região contrária ao ponto.
3º)se ≠ não faz teste; faz linha tracejada e pinta tudo menos a linha.
Exercício: Reconheça e represente geometricamente as curvas ou regiões do plano definidas por:
x2 + y2 = 4		7) x2 + y2 < 4		13) x+y = 2
x2 + y2 > 4		8) x2 + y2 4		14) x+y < 2
x2 + y2 4		9) -x2-y2 >- 9		15) x+y 2
2x+3y = 6		10) 2x+3y 6		16) 3x²+12y² 300
2x+3y > 6		11) x-y < 4		17) 12x² > 4-12y²
x2 – y > 4		12) x+y24		18) x+y² < y
Coordenadas polares no R² 
Até o presente momento, localizamos um ponto no plano por meio de suas coordenadas cartesianas retangulares. Existem outros sistemas de coordenadas. Um sistema bastante utilizado é o sistema de coordenadas polares. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semirreta fixa. O ponto fixo, denotado por O, é chamado polo ou origem. A semirreta fixa é chamada eixo polar. 
|r|
P =(r,)
|r| = distância entre a origem e o ponto P, e θ representa a medida, em radianos, do ângulo orientado . O segmento OP , muitas vezes, é chamado raio. 
Usaremos as seguintes convenções: 
(i) Se o ângulo for descrito no sentido anti-horário, então > 0. Caso contrário, teremos θ < 0. 
(ii) Se r < 0, o ponto P estará localizado na extensão do lado terminal do ângulo.
iii) O par ordenado (0; ), qualquer, representará o polo. 
Exemplo 
1. Representar num sistema de coordenadas polares os seguintes pontos: 
a) P1= (2, /4)		b) P2= (-2, /4)		c) P3= (-2,-/4)		d) P4= (2, -/4)
(c)
(d)
Observação: P pode ser representado por uma infinidade de pares de coordenadas polares.
Exemplo: Quais as coordenadas de P abaixo?
P = (3, /6+2k) ou P= (-3, 7/6+2k)
Mudança de coordenadas
Para relacionar as coordenadas cartesianas com as coordenadas polares, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual θ=/2 com o eixo positivo dos y.
Podemos observar que, se r >0 temos cos() = x/r e sen() = y/r e se r < 0 temos cos() = -x/-r=x/r e sen() = -y/-r = y/r. Portanto, 
x = r.cos() e y = r.sen().
Elevando ao quadrado os dois lados temos: x² = r²cos²() e y² =r²sen²(). 
Somando temos x²+y² = r²cos²() + r²sen²() = r²(cos²() + sen²()) = r².1=r². 
Logo, x²+y² = r² 				r = 
Exemplo: Encontrar as coordenadas cartesianas de P = (-4, 7/6).
x = -4. cos(7/6) = e y = x = -4. sen(7/6) = 
Portanto, são as coordenadas cartesianas do ponto P = (23 , 2). 
2. Encontrar (r, ), supondo r <0 e 0 < 2 para o ponto P = (3, -1).
r = .
cos() = x/r = 3/-2 = -3/2 e sen() = y/r = -1/-2 = ½. Logo, = 5/6.
Portanto, P = (-2, 5/6).
Exercícios
1. Esboçar no sistema de coordenadas polares
a) P1=(4, /4);	b) P2=(4, -/4)	c) P3=(-4, /4)	d) P4=(-4, -/4)
2. Esboçar no sistema de coordenadas polares e encontrar suas coordenadas cartesianas:
a) P1=(2, /3);	b) P2=(2, -/3);	c) P3=(-2, /3);	d) P4=(-2, -/3);
3.Encontrar suas coordenadas cartesianas dos seguintes pontos dados em polares:
a) (-2, 2/3)	b) (4, 5/3)	c)( 3, 13/4) 	d)(-10, /2) 	e) (-10, 3/2) 	f) (1, 0) 
4. Encontrar as coordenadas polares:
a)(1,1)		b) (-1,-1)	c) (-1,1)		d) (1,-1)
5. Descreva os pontos P1 =( P=(, em coordenadas polares. Usar 
a) r>0 e 0	b) r< 0 e 0	c) r>0 e -2	d)r < 0 e 
Coordenadas cilíndricas 
No espaço, além das coordenadas cartesianas retangulares, dois outros sistemas são frequentemente empregados: os de coordenadas cilíndricas e esféricas. No sistema de coordenadas cilíndricas, um ponto P(x, y, z), é localizado pelas coordenadas r, , z, devendo-se notar que r e são as coordenadas polares da projeção Q do ponto P no plano xy. Para designar essas coordenadas, escrevemos: (r; ; z). As relações entre coordenadas cilíndricas e retangulares são x = r cos ; y = r sen e z = z. Onde r =e = arctg y/x.
O ângulo não sofre restrição de valor, podendo “r” receber valores negativos, como em coordenadas polares. 
2.3 Coordenadas esféricas 
Seja P(x, y, z) um ponto qualquer do espaço e Q, sua projeção no plano xy. Chamemos de r a distância OP, como em coordenadas polares. Designemos o ângulo ZOP por . Consideremos o ângulo como positivo e capaz de variar no 0º ≤ ≤ 180º. Designemos o ângulo XOQ por . Os símbolos r, , são as coordenadas esféricas do ponto P e representam-se por P(r,, ); r é o raio vetor, é a longitude e é a colatitude de P. O ângulo pode receber qualquer valor. 
Do triângulo retângulo OPQ, deduzimos OQ = r sem QP = r cos . Do triângulo retângulo OMQ tiramos OM = OQcos , MQ = OQsen . Portanto, 
 		
Nos problemas que envolvem a determinação de áreas e volumes pelo cálculo, o trabalho muito se simplifica com o emprego de coordenadas cilíndricas ou esféricas. As coordenadas cilíndricas mostram-se particularmente úteis quando a superfície limite é de revolução. 
 Exemplos 
1. Determinar as coordenadas cilíndricas e esféricas do ponto (1, -2, 2).
 
2. Determinar as coordenadas cartesianas ortogonais do ponto, cujas coordenadas cilíndricas são são (6, 120°, -2)
resp.: (-3, 3,-2)
3. Determinar as coordenadas retangulares do ponto de coordenadas esféricas (4, -45º, 30º)
resp.: 
4. Determinar as coordenadas cartesianas e esféricas de um ponto, cujas coordenadas cilíndricas são (6, 120°, 4). 
FUNÇÕES VETORIAIS 
Algumas das coisas que medimos são determinadas por sua magnitude. Para registrar a massa, o comprimento ou o tempo, por exemplo, precisamos apenas escrever um número e especificar uma unidade de medida apropriada. Essas medidas são quantidades escalares e os números reais associados a elas são escalares. Porém, para descrever uma força, um deslocamento ou uma velocidade, precisamos de mais informações. A força é descrita indicando a direção e o sentido onde ela atua, bem como seu tamanho. O descolamento de um corpo é descrito pela direção e sentido que ele se moveu e pela distância percorrida. Para descrevermos a velocidade de um corpo, temos que saber para onde o corpo está indo e também o valor da velocidade do movimento. Essas grandezas são grandezas vetoriais. São representados por segmentos orientados, onde a seta aponta na direção e o sentido da ação, e seu comprimento fornece a magnitude da ação em termos de uma unidade adequada escolhida. O segmento orientado tem origem (ponto inicial) O, e extremidade (ponto final) P, seu comprimento é denotado por ||.
Vetores em R²: Identificando (x, y) com o vetor e indicando por e os vetores a (1,0) (0, 1). Temos que = x+y= (x, y).
		 			 O	 	 P
Sejam u = (x,y) e v = (s,t) elementos de R² e um escalar, isto é, um número real. Definimos:
A soma: u +v = (x,y) + (s,t)= (x+s, y +t). O produto por escalar: (x,y) = (x, y). 
Com essas duas operações, podemos considerar R² um conjunto com estrutura de espaço vetorial e seus elementos (x, y) são chamados de vetores. O comprimento ou norma de um vetor é dado por || =dist(A, B) = .
Dois vetores são iguais se tem o mesmo comprimento, mesmo sentido e mesma direção.
Exemplo: A =(0,0), B = (3,4), C = (-4,2) e D=(-1,6). Mostre que u = e v= são iguais.
Precisamos mostrar que u e v tem mesmo comprimento, direção e sentido.
|u| ==5 e |v| == 5.
Para calcular o sentido e a direção calculamos o coeficiente angular:
mAB = e mCD =.
Como os coeficientes são iguais, temos que os vetores são paralelos, ou seja, tem a mesma direção. E o sentido é para cima. Logo, os vetores são iguais. u = v.
O vetor nulo é dado por u = (0,0). É o único vetor sem direção e sentido específicos. Quando o vetor v tem comprimento 1, é chamado de vetor unitário, ou versor, que é dado por v/ |v|.
Se v = (x, y) fizer um ângulo com o eixo x positivo, então x = |v|. cos e y = |v|. sen .
Todo vetor tem seu representante padrão que tem ponto inicial na origem (0,0).
Assim, se u = (x,y) seu comprimento ou norma é dado por |u| = . E para determinar a direção do vetor temos que calcular o seu versor.
Exemplo: Calcule direção e a velocidade do movimento, de um objeto, representado pelo vetor v = (3, -4). Sol.: |v|= é o comprimento. E = é o versor que caracteriza a direção do vetor v.
Operação entre dois vetores: O produto escalar: u.v = (x,y) . (s,t)= x.s+ y.t
Exemplo: Calcule o produto escalar entre u = (2,3) e v = (5,4). Sol.: u.v = 2.5+3.4 = 22
O ângulo entre dois vetoresnão nulos u e v é dado por = arccos.
Assim, temos que se u.v = 0 então u e v são vetores perpendiculares ou ortogonais.
Função de uma variável real a valores em |R2
Uma função de uma variável real a valores em |R2 é uma função F: A|R2, onde A é um subconjunto de |R. Uma tal função associa a cada real tA, um único vetor F(t) |R2. O conjunto A é o domínio de F, DF, constituído de um intervalo ou reunião de intervalos.
Restrições quanto ao domínio: Se uma das coordenadas da função f for dada por:
Fração a/b b≠ 0; raiz par b0; logaritmo loga b b >0.
O conjunto Im F ={F(t) |R2| tDF} é a imagem ou trajetória de F. A imagem é o lugar geométrico, em |R2, descrito por F(t) quando t varia em DF.
Exemplo 1. Seja F a função dada por F(t) =(t, 2t). 
Calcule F(0) e F(1) F(0) =(0,2.0)=(0,0)	F(1) = (1, 2.1)=(1,2)
Desenhe a imagem de F.
Equações paramétricas: 
Equação cartesiana de uma reta. x=1 y=2 e x= 2y=4
Exemplo 2. Desenhe a imagem da função dada por F(t) = (t, t2).
			
Exemplo 3. Desenhe a imagem de F(t)=(cos t, sen t), t[0, 2].
x =cos(t) e y = sen(t) sem²(t)+cos²(t) =1 x²+y² = 1 circunferência de centro (0,0) e raio 1.
 
Exemplo 4: Desenhe a imagem da função vetorial F(t) = ( t²-1, t)
x = t²-1
y = t x = y²-1	 parábola, pois tem expoentes 1 e 2.
Fazendo x = 0 temos y² -1 = 0 y = ±1
Fazendo y = 0 temos x = 0²-1 = -1
Não precisa calcular vértice, pois b = 0.
Função de uma variável real a valores em |R3
Uma função de uma variável real a valores em |R3 é uma função F: A|R3, onde A é um subconjunto de |R. Uma tal função associa, a cada tA, um único vetor F(t)|R3. 
Exemplo 1. Desenhe a imagem de F(t) = (t,t, t), t 0.
					
Exemplo 2. Desenhe a imagem da função F(t) = (cos t, sen t, 1). 
Operações
Seja F: A|Rn uma função de uma variável real a valores em |Rn, então existem, e são únicas as funções a valores reais Fi: A|R (i=1, 2,3, ..., n), tais que, qualquer que seja tA, F(t) =(F1(t), F2(t), ..., Fn (t)).Tais funções são as funções componentes de F. Escrevemos F = (F1, F2,..., Fn ).
Sejam F,G: A|Rn duas funções de uma variável real a valores em |Rn, f: A|R uma função a valores reais e k uma constante. Definimos:
	* a função soma de F e G; F+G: A|Rn dada por (F+G) (t) = F(t) +G(t).
	* a função produto de F pela constante k; k.F: A|Rn dada por (k.F)(t) = k.F(t).
	* a função produto de F pela função f; f.F: A|Rn dada por (f.F)(t) = f(t).F(t).
	* a função produto escalar de F e G; F.G: A|R dada por (F. G) (t) = F(t). G(t),
 F(t) .G(t) = F1(t).G1(t) + F2(t). G2(t) + …+Fn(t).Gn(t)
* se n =3, a função produto vetorial de F e G;
FG: A |R3 dada por (FG)(t)=F(t)G(t)=.
Limite, derivada e integral.
Seja F = (F1, F2,...,F n) uma função de uma variável real com valores em |Rn e L = (L1, L2,..., L n) |Rn. Então F(t) =L Fi(t) = Li, (i= 1,2, ..., n).
Exemplos:
1) Seja F(t) = (, t2, ), calcule F(t).
 F(t) = = 
2) Calcule:
a) onde F(t) = 
=, = ===
t²=1²=1
=	Logo, =( ½ , 1, 0)
b) onde F(t) = 
=
Por L’Hopital ====
=Por L’Hopital =
t³ = 0³ =0.			 Logo =(3,2,0)
c) onde F(t) = 
=2.2=4
Por L’Hopital, 
Por L’Hopital
Logo =(4,3,/4)
Definição: Sejam F:A |Rn e t0A. Definimos a derivada de F em t0 por 
F’(t0) = , desde que o limite exista.
Teorema: Sejam F = (F1, F2,..., F n) e t0DF. Então, F será derivável em t0 se e somente se cada componente de F o for, além disso, se F for derivável em t0
F’(t0)=(F1’(t0), F2’(t0),…, F n’(t0)).
Exemplo: Seja F(t) = (sen 3t, et, t), calcule F’(t) e F’(0).
 F’(t) = (3cos3t, et, 1) e F’(0) = (3.cos0,e0, 1) =(3.1, 1,1) = (3, 1, 1).
Seja F: A|R2 e seja t0A. Geometricamente, vemos F’(t0) como um “vetor tangente” à trajetória de F, no ponto F(t0).
				F’(t0)
		 F(t0)
				 F(t)
Seja F:A|Rn derivável em t0, com F’(t0) não nulo. Dizemos que F’(t0) é um vetor tangente à trajetória de F, em F(t0). A reta X= F(t0) + F’(t0); |R, denomina-se reta tangente à trajetória de F no ponto F(t0).
Seja F = (F1, F2,...,F n) definida em [a, b]. F é integrável em [a, b] se e somente se cada componente de F o for, e, além disso, se F for integrável então:
= (,, ..., ).
Exemplo: .
Comprimento de curva
Seja I um intervalo em |R. Uma curva em |Rn, definida em I, é uma função :I|Rn.
Definição: Seja : [a, b] |Rn uma curva com derivada contínua em [a, b]. Definimos o comprimento de curva L() da curva por L() = .
Exemplo: Calcule o comprimento da curva (t) = (cos t, sen t, t), t[0, 2].
’(t) = (-sen t, cos t, 1) ; ||’(t)|| = =. 
Logo L()== =.2 - .0 = 2.
Lista de Exercícios: 1) Desenhe a imagem das seguintes funções vetoriais:
F(t) = (t,t+3)			e) F(t) = (sen t, sen2t) 		i) F (t) = (3sent , 3cos t )
F(t) = (1-t,2t²-2)		f) F(t) = (3t, 3t-3)		j) F (t) = ( 3sent, 2 cost ) 
F(t) = (2t-1,t+2)			g) F(t) = (sen t,sen t)		k) F(t) = (t+1, 2t-1) 
F(t) = (t+1,t-1)			h) F(t) =(t,)			l) F(t) = ( -t², t4)
2) Determine o domínio das seguintes funções:
a) F(t) = 			b) F(t) = 
c) F(t) =		d) F(t) = 
e) F(t) = ( ,, ln ( 6 -2t ) )			f) F(t) = ( ,, ln(t ²-25) )
g) F(t) = ( ; )				h)F(t) = ( ; 5t ; )
 3) Dada , determine F(t) onde F(1) = (4,2,0).
4) Sejam F(t) = (t,sent,2) e G(t) = (3,t,t²), calcule:
a) F(t).G(t)		b) F(t)-2G(t)		c) F(t)^G(t)
5) Sejam F(t) = (t,2,t²) e G(t) = (t,-1,1), calcule:
a) F(t).G(t)		b) F(t)+G(t)		c) F(t)^G(t)
6) Dadas as funções vetoriais F(t) = (,,) e G(t) = , calcule:
a) o domínio de F(t). 	 	b) F(t)		c) F’(2) e G’(t) 	d) 
e) o comprimento da curva G(t) no intervalo [0, 2], dado por L(G(t)) = .
7) Calcule.
8) Determine os seguintes limites:
a) (,3t, sen(t)),	b)	c)( 
9) Determine r= r(t) sabendo que dr/dt = 6t i + 3j e r(0) = 4i -j
10)Dadas
a) Determine o domínio de F, G e H.		b) Calcule H(t)-5G(t), 1/t.H(t), G(t)^H(t).
c) Calcule .		d) Calcule .
11a) Se, determine F(t) sabendo que F(0) = (-1,0,3).
11b) Dada F’(t)= determine F(t), onde F(0) = (3,2).
12) Calcule .
13) Calcule o comprimento da curva 
a) F(t)=(6-4t, 3+3t) em [0, /2].				c) F(t) = (2t3 ;2t ; 6t2 ) ; 0≤ t ≤3
b) F (t) = ( 2 cos t , 2 sen t ,5 t ) , 0 t 	d) G(t) = (cost ; ) ; 0 ≤t ≤1
e) F(t) = no intervalo [1,4].
14) Desenhe a trajetória das curvas F(t) = (3t²-27,t); G(t)=(5cost, 5sent); H(t) = (t-5, 4t+6).
15) Represente os seguintes subconjuntos do |R2:
S = { (x, y) |R2| 3x+5y = 15}		f) S = { (x, y) |R2| 3x+5y < 15}
S = { (x, y) |R2| 3x+5y 15}		g) S = { (x, y) |R2| x²+y 9}
S = { (x, y) |R2| x 2+y 2 16}		h)S = { (x, y) |R2| x 2+y2 < 25}
S = { (x, y) |R2| x2 - y >-10+7x}	i) S = { (x, y) |R2| 2x²+5y² 10}
S = { (x, y) |R2|}	j) S = { (x, y) |R2|}
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
F(t) = (; t2 -2/t)		G(t) = (4cost; 5sent; 4-t)
H(t) = (t³.sen(2t) ; 2t – 4)	F(t) =(
G(t) = (
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
A maioria das relações que ocorrem na física, economia e, de modo geral, na natureza, é traduzida por funções de duas, três e mais variável real.
A quantidade de alimentos produzidos depende da quantidade de chuva e da quantidade de fertilizante usada. A taxa de reação química depende da temperatura e da pressão do ambiente em que se processa. A taxa de atração gravitacional entre dois corpos depende de suas massas e da distância que os separa. A taxa de matéria ejetada numa explosão vulcânica que cai num lugar depende da distância do vulcão e do tempo decorrido desde a explosão.
Exemplos:
1. O volume de um cilindro circular depende de seu raio r e de sua altura h. A fórmula que descreve essa dependência é dada pela função V(r,h) = r2h.
2. A temperatura T num ponto da superfície da Terra em qualquer instante do tempo depende da longitude x e da latitude y do ponto. Podemos pensar em T como uma função de duas variáveis x e y: T (x, y).
3. A equação de estado de um gás ideal é dada por p(n,V,T) =nRT/V, onde p = pressão, n= massa gasosa em moles, V = volume, R= constante molar do gás e T= temperatura.
4) A lei de um gás ideal confinado (lei de Gay - Lussac) é P V = k T, onde P é a pressão em N/u3 (N=Newton, u=unidades de medida), V é o volume em u3, T é a temperatura em graus e k > 0 uma constante que depende do gás. Podemos expressar o volume do gás em função da pressão e da temperatura; a pressão do gás em função do volume e da temperatura ou a temperatura do gás em função da pressão e do volume:
V (P, T) =kT/P		P(V, T) =kT/V		T(P, V ) =P V/k
5. O circuito abaixo tem 5 resistores Ri, e a corrente I é dada por I = E/(R1+R2+R3+R4+R5) onde E é a tensão da fonte.
6. Em regiões com inverno severo, o índice vento frio que mede o efeito do frio provocado pelo vento é frequentemente utilizado para descrever a severidade aparente do frio. Esse índice I mede a temperatura subjetiva que depende da temperatura real T e da rapidez do vento v. Assim, I é uma função de T e v, e podemos escrever I = f(T,v).
	T v
	6
	10
	20
	30
	40
	50
	60
	70
	80
	90
	100
	20
	20
	18
	16
	14
	13
	13
	12
	12
	12
	12
	12
	16
	16
	14
	11
	9
	7
	7
	6
	6
	5
	5
	5
	12
	9
	5
	3
	1
	0
	0
	-1
	-1
	-1
	-1
	-1
	8
	8
	5
	0
	-3
	-5
	-6
	-7
	-7
	-8
	-8
	-8
	4
	40
	-5
	-8
	-11
	-12
	-13
	-14
	-14
	-14
	-14
	-14
	0
	0
	-4
	-10
	-14
	-17
	-18
	-19
	-20
	-21
	-21
	-21
	-4
	-4
	-8
	-15
	-20
	-23
	-25
	-26
	-27
	-27
	-27
	-27
	-8
	-8
	-13
	-21
	-25
	-29
	-31
	-32
	-33
	-34
	-34
	-34
	-12
	-12
	+17
	-26
	-31
	-35
	-37
	-39
	-40
	-40
	-40
	-40
	-16
	-16
	+22
	+31
	-37
	-41
	-43
	-45
	-46
	-47
	-47
	-47
	-20
	-26
	-36
	-43
	-47
	-49
	-51
	-52
	-53
	-53
	-53
	-53
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Uma função de duas variáveis reais é uma função f: A|R, onde A é um subconjunto de |R2. Tal função associa a cada par (x, y) em A, um único número real f(x, y). O conjunto A é chamado de domínio de f, Df. O conjunto Im f = {f(x, y) |R| (x, y)Df} é a imagem de f.
Exemplos
1. A função f(x, y) = tem como domínio o conjunto Df ={(x, y)|R2| x - y}.
2. A função f(x, y) = 5x-3y tem domínio Df = R² . Podemos calcular f(1,0) = 5.1-3.0=5 e f(2,6)=5.2-3.6=-8
3. Representando graficamente o domínio da função f (x, y) =temos: y-x² ≥ 0 (Restrição matemática da raiz de índice par). Graficamente, temos uma região, que para ser esboçada devemos primeiro obter a fronteira (curva) que limita essa região.
Solução: y-x² =0 y = x² . Sabemos que essa equação representa uma parábola.
Agora, para saber se devemos considerar a região de dentro ou de fora da parábola, fazemos um teste com um ponto conhecido, que não pode estar sobre a curva (linha). Por exemplo, escolhemos o ponto (1,0) que sabemos estar “fora” da parábola e testamos em y-x² ≥0 0-1² ≥ 0 é uma sentença falsa. Concluímos, que a região que representa o domínio é a de dentro da parábola:
Função linear: Para duas variáveis temos que a função linear é dada por f(x, y) = ax + by, com a , b números reais dados. Exemplos: 1. f(x, y) = 7x+9y
2. Qual equação da função linear f(x, y) de duas variáveis, tal que f(1,0) = 3 e f(0,1) = 4?
f(x,y) = ax+by f(1,0) = a.1+b.0 = 3 a =3 
		 f(0,1) = a.0+b.1 = 4 b = 4.==> f(x,y) = 3x+4y.
3. Qual equação da função linear f(x, y) de duas variáveis, tal que f(1,2) = 5 e f(3,1) = 5?
f(x,y) = ax+by 
f(1,0) = a.1+b.2 = 5 a +2b =5 a = 5-2b 
f(0,1) = a.3+b.1 = 5 3a+ b = 5 substituindo a temos 3(5-2b)+b = 5 15-6b+b=5
								-5b= -10 b = 2
Logo, a=5-2.2 = 1. Assim, a função é f(x, y) = x+2y.
Exemplo: Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
z = 				 8
	X
	Y
	0
	-6
	8
	0
3x-4y-240														-6	 	
Fronteira: 3x-4y =24 (reta)					
Teste (0,0) 3.0-4.0-24 0 F						 		
z = ln (-3x²-4y²+108)	
-3x²-4y²+108 >0
Fronteira: -3x²-4y²+108 = 0 (elipse)
-3x²-4y²=-108 
y=0x² = 36 x= ± 6
x=0y² = 27 y = ± 5,2
teste (0,0) -3.0²-4.0²+108>0 V
z = .
x+2y² -50 0
Fronteira: x +2y²-50 = 0 (Parábola)
x = 50-2y² a= -2, b = 0, c = 50
x=0 -2y²+50 = 0
 = 0² - 4.(-2).50 = 400
y = y1 = 5 e y2 = -5
y= 0 x = 50-2.0² = 50
Função homogênea
Para duas variáveis, uma função f é homogênea de grau m se existir t > 0 tal que
f(t.x, t.y) = t m f(x, y).
Ex:. A produção P (valor monetário dos bens produzido no ano) de uma fábrica é determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operários/horas trabalhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, compra de maquinarias, matéria prima, etc.). A função que modela a produção é chamada de Cobb-Douglas e é dada por: 	P(L,K) = k. Ta.C1-a, onde T é a quantidade de trabalho, C o capital investido, k e a são constantes positivas (0 < a < 1). 
Por exemplo, se o capital investido é de R$ 600.000, são empregados 1000 operários/hora, e a produção é dada pela seguinte função de Cobb-Douglas:P(L,K) = 1,01.T3/4.C1/4 então, P(1000, 600.000) = 4998.72.
Exemplo: Verifique se f(x,y) = 3x5+2y5-x²y3 é homogênea, em caso afirmativo, diga qual é o grau de homogeneidade. 
f(tx,ty) = 3(tx)5+2(ty)5-(tx)²(ty)³ = 3t5x5+2t5y5-t²x²t³y³ =3t5x5+2t5y5-t5x²y³ = t5 (3x5+2y5-x²y³) = t5.f(x,y) homogênea grau 5 
Exercícios
1. Represente graficamente o domínio das seguintes funções:
f(x, y) = 	h) f(x,y) = log (4x + 3y-12) 	o) z = 
f(x, y) = 		i) f(x, y) = 		p) z = .
f(x, y) = 	j) z = . 		q) z = ln (-x²+y+9)
f(x, y) = ln (y - x) 		k) z = 	 r) z = ln(x)+ln(y)
z = ln (x –y-8)		l) z = 		 s) z = ln (3x +2 y-6).	
z = 		m) z = 
z = 		n) z = 
2. Verifique se as seguintes funções são homogêneas:
f(x, y) = x.y			f) f(x, y) = x2 + y 2 –1	 l)f(x,y) = 3 x0,3. y 0,7
f(x, y) = 2. x0,6y0,4		g) f(x, y) =4x2+5y2	m) f(x, y) = x3 + xy
f(x, y) = 			h) f(x,y) = 	n)f(x,y) = 
f(x,y) = xy +x2+y2		i)f(x,y) =2xy+y³+x² 	o)f(x, y) = -5x+4y2.
f(x,y) =	3xy³ +x²y² - 2y4		j) f(x,y) = 2 x0,5. y 0,5	p) f(x, y) = 3xy3+4y2x2
3. Qual a equação da função linear f(x, y) de duas variáveis tal que f(1,3) = 3 e f(2,5) = 4?
4. Qual a equação da função linear f(x, y) de duas variáveis tal que f(-1,2) = 7 e f(0,-3) = 1?
GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Para uma função de uma variável y = f(x), o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano, tais que y = f(x). O gráfico de uma função de duas variáveis f é o conjunto de todos pontos (x, y, z) tais que z = f(x, y). Em geral, o gráfico de uma função de duas variáveis é uma superfície no espaço.
Exemplos:
f(x, y) = x2+y2			f(x, y) = x2 –y2 			 f(x, y) = 1-x+y	
 
				
f(x, y) = x2			f(x,y)= (9-x2-y2) 			f(x, y) = cos(x)sen(y)
		
f(x, y) = 			 f(x, y) = -y2
		 
CURVAS DE NÍVEL
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equação f(x, y) = c, onde c é uma constante no domínio de f. A curva de nível mostra onde o gráfico tem altura c.
		
		
Um exemplo comum de curvas de nível ocorre em mapas topográficos de regiões montanhosas. As curvas de nível são curvas em que a elevação em relação ao nível do mar é constante. Se você andar sobre um desses contornos, nem descerá nem subirá.
Outro exemplo, de curvas de nível são as curvas isotérmicas, que são as curvas de nível da função temperatura. Essas curvas ligam localidades que tem a mesma temperatura.
Se V(x, y) é o ponto elétrico de um ponto (x, y) do plano xy, as curvas de níveis são chamadas curvas equipotenciais, pois nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico.
Se f(x, y) fornece a pressão barométrica no ponto (x, y) então as curvas de nível da função são chamadas curvas isobáricas, pois nelas todos os pontos têm a mesma pressão barométrica.
Exemplos:
1) Suponha que T(x, y) = 4x2+9y represente uma distribuição de temperatura no plano xy.
Desenhe a isotérmica correspondente à temperatura 36.
Determine o pontode mais baixa temperatura da reta x + y =1.
2) Desenhe as curvas de nível da função f(x, y) = x2 + y2.
3) Desenhe as curvas de nível da função f(x,y) = x + y –1.
LIMITE E CONTINUIDADE
Seja f(x, y) uma função definida em todos os pontos de uma vizinhança de (x0, y0) exceto possivelmente neste ponto. O que significa f(x,y) =L?
A idéia é que a distância entre f(x, y) e L fique arbitrariamente pequena, quando tomamos pontos(x, y) suficientemente próximos de (x0,y0).
Lembremos as noções de distância:
Em |R: d =dist (x,y) = |x – y|.
Em |R2: d = dist(A, B) =, com A = (x1, y1) e B = (x2, y2).
Em |R3: d = dist(A, B) =A = (x1,y1, z1) e B = (x2, y2, z2).
Em |Rn: d = dist(A, B) = A=(a1, a2, ..., an ), B=(b1, b2, ...,b n).
Sejam f: A|R2|R uma função, (x0,y0) um ponto de acumulação de A e L um número real. Definimos
f(x, y) = L Para todo >0, existe >0 tal que para todo (x,y)Df,
 0<||(x,y) –(x0,y0)||< implica | f(x,y) – L |<.
Sempre que escrevermos f(x, y) = L , (x0,y0) será um ponto de acumulação de A.
Exemplos:
1 Se f(x,y) = x para todo, (x0,y0) em |R2, então temos que f(x, y) =x = x0.
De fato: 
|x-x0| = <=||(x,y) – (x0,y0)||. Então, dado >0 e tomando = temos que 0<||(x,y) – (x0,y0)||< implica que |x-x0|< = , ou seja, 0<||(x,y) – (x0,y0)||< implica que |f(x,y) –x0|< . Portanto, x = x0.
2. Se f(x,y) = 3x+2y então f(x, y) = 7.
De fato:Temos que provar que ||(x,y)-(1,2) ||< implica que | f(x, y) -7|< , ou seja, |3x+2y –7| < .
|3x+2y –7|=|3x+2y –(3.1+2.2)| = |3x – 3.1 +2y-2.2|=|3(x-1)+2(y-2)||3(x-1)|+|2(y-2)|=3|x-1| +2|y-2|=3+2< 3 +2=
3||(x,y)-(1,2)|| +2||(x,y) - (1,2)||=5||(x,y) - (1,2)||.
Logo se ||(x,y) - (1,2)||< então |f(x, y) – 7 | = |3x+2y –7| < 5 . Assim, dado >0 tomando =temos ||(x,y) - (1, 2)||< implica que|f(x, y) – 7 | = |3x+2y –7| < 5 = =5.
3. Se f(x, y) = k então f(x, y) = k.
De fato: Para todo >0 e >0 qualquer. Temos | f(x, y) - k|=|k-k| = 0 < . Portanto ||(x,y) – (x0 ,y0)||< implica | f(x, y) - k | < . 
Seja f(x,y) uma função de duas variáveis reais e seja (x0, y0) ponto de acumulação de Df. Temos que f é contínua em (x0,y0) se e somente se f(x, y) = f(x0,y0). Se f for contínua em todos os pontos de um subconjunto A do domínio de f, diremos f é contínua em A. f é dita contínua se f for contínua em todos os pontos do domínio de f.
Exemplos:
1. f(x, y) = k é contínua, pois f(x, y) = k = f(x0, y0).
2. f(x, y) = x é contínua, pois f(x, y) = x0 = f(x0, y0).
Teorema: Sejam f:A|R2|R e g: B|R|R duas funções tais que Im f Dg. Se f for contínua em (x0,y0) e g contínua em f(x0,y0), então a composta h(x, y) = g(f(x,y)) será contínua em (x0,y0). Assim se g(x) for contínua, então h(x, y) = g(x) será contínua.
PROPRIEDADES
1) Se f(x, y) g(x,y) h(x, y) para ||(x,y) – (x0 ,y0)||< e sef(x, y) = L = h(x, y) então g(x, y) =L.
2) Se f(x,y) = 0 e |g(x,y)| m para ||(x,y) – (x0 ,y0)||< onde >0 e m>0 são reais fixos então f(x, y).g(x,y) = 0.
3)f(x, y) = L se e somente se [f(x, y) –L ] = 0.
4) Sef(x,y) = L1 e g(x,y) = L2 então
a) [f(x,y)+g(x,y)] = L1 + L2.		b) [f(x,y).g(x,y)] = L1 . L2.
c) k.f(x,y) = k.L1.		d) =, com L2 0.
Exercícios: Calcule:
			b) 		k) 
c)			d) 	l) 
e)			f) m)
g)	h) 		n) 
i) 		j) 	o) 
DERIVADAS PARCIAIS
Para uma função de uma variável y = f(x) a derivada de f, no ponto a, = f ’(a) é calculada por
f ’(a) = =.
Para uma função de duas variáveis, vamos considerar a função z = f(x, y) e (x0, y0)Df. Fixando-se y0, podemos considerar a função de uma variável g(x) = f(x, y0). A derivada desta função no ponto x = x0, caso exista, denomina-se derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0,y0) e indica-se por (x0,y0) ou fx (x0,y0). Assim, 
g’(x0) = fx(x0, y0) = =, ou ainda,
fx(x0,y0) = 
Assim, a função fx(x,y) = é chamada função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a x.
Analogamente, fixando-se x0, podemos considerar a função de uma variável h(x) = f(x0, y). A derivada desta função no ponto y = y0, caso exista, denomina-se derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0,y0) e indica-se por (x0,y0) ou fy (x0,y0). Assim
h’(y0) = fy(x0, y0) = =, ou ainda,
fy(x0,y0) = .Assim, a função fy(x,y) = é chamada função derivada parcial de 1ª ordem de f em relação a y.
Para calcular a derivada parcial fx (x0, y0) fixa-se y em f(x,y) e calcula-se a derivada g’(x) = fx (x, y). Para calcular fy (x0, y0) fixa-se x em f(x, y) e calcula-se h’(y) = fy (x, y).
Exemplo: Seja f(x, y) = 2x²-5y calcule as derivadas parciais pela definição: 
 
Exercício: Seja f(x, y) = 5x2-3y2 calcule as derivadas parciais de pela definição.
Exemplos pelas regras: Calcule as derivadas parciais de:
 f (x, y) = x2 + y2. 	 fx = 2x;		fy = 2y
 f(x, y) = 3x+y3. 		 fx = 3; 		fy = 3y²
f(x, y) = x.y. 		 fx = y; 		fy = x
f(x,y) = 5x4y – 6y + 4x. 	 fx = 20x3y +4	;	fy = 5x4 –6
f(x, y) = 6xy –2x2y3.	 fx = 6y-4xy³		fy = 6y-6x²y²
Exemplo: Dada f(x,y) = 3x5+2y5-x²y³verifique que x.fx(x,y) +y.fy(x,y) = 5f(x,y).
fx = 15x4 -2xy3		x.fx(x,y) +y.fy(x,y) 
fy =10y4 -3x²y²		= x(15x4 -2xy3)+y(10y4 -3x²y²) 
= 15x5 -2x²y3+10y5 -3x²y³ 
=15x5 -5x²y3+10y5
=5(3x5+2y5-x²y3) =5.f(x,y)
Exercícios Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x,y) = -sen (x2y-2x8+3y6)		p) f(x,y) = 2xy4 - 3x3y – 4x - 5y +9
f(x,y) = 			q) f (x, y) = cos x. y
f (x, y) = 2x3 y4+x2+y2-2x+4y		r) f(x, y) = 3x2+xy+2			
f(x, y) = x3y-3xy2+x			s) f(x, y) = ln( x + y)		
f(x, y) = x + y			t) f(x, y) = 4x2.cos(2y)+3y.sen(3x)
f(x, y) = x / y2			u)f(x, y) =sen(xy) 
f(x, y) = x2+3y2,			v) f(x, y) = ln (1+x2+y2), 
f(x, y) =sen2 x+ 3 cos2x		x) f(x, y) = (x+y)2
f(x, y) = ln(x2+y2)			y) f(x, y) = -x2. 
f(x,y) = x4.y6 + 4 (x-y)3		z) f(x, y) = cos ()	
f(x, y) = 			aa) f(x, y) = 
f(x, y) = 3x+y3.			bb)f(x, y) = 6xy –2x2y3
f(x, y) = 			 cc) f(x, y) = 
f(x,y) = (4x-5y)3			 dd) f(x,y) = 
f(x, y) = e4x+5y			 ee) f(x, y) = ln(5x²y³)
2) Calcule as derivadas parciais: (+difícil)
f(x,y) =(cos(3x+8y))5		e) f(x,y) = 
f(x,y) = 		f) f(x,y) = 
f(x,y) = (-3x+5y)9		g) f(x,y) = ln(sen(x²-4y³))
f(x,y) = 	
3) A função de produção de Cobb-Douglas dada por P(T, C) = 10.T0,4.C0,6. Calcule a produtividade marginal do trabalho (taxa de variação da produção em relação à quantidade de trabalho) e produtividade marginal do capital (taxa de variação da produção em relação ao capital).
Uso de unidades para interpretar as derivadas parciais
Exemplo: Suponha que seu peso w em quilos é uma função f(c, n) do número c de calorias que você consome diariamente e do número n de minutos de exercício diário. O que significa wc(2000, 15) = 0,02 e wn = (2000, 15) = -0,025?
wc representa o peso de acordo com a taxa de calorias extras que você consome e wn representa o peso de acordo com a taxa de minutos extras de exercício físico.
Assim, wc(2000, 15) = 0,02 significa que se você está agora consumindo 2000 calorias por dia e praticando 15 minutos por dia de exercícios físicos, você pesará 0,02 quilos a mais para cada caloria extra que consumir diariamente, ou cerca de 2 quilos para cada 100 calorias extras por dia.
Assim, wn(2000, 15) = -0,025 significa que se você está agora consumindo 2000 calorias por dia e praticando 15 minutos por dia de exercícios físicos, você pesará 0,025 quilos a menos para cada minuto extra de exercícios físicos praticados diariamente, ou cerca de 1 quilo para cada 40 minutos extras por dia. Assim, se você comer 100 calorias a mais deverá se exercitar por 80 minutos para manter o peso.
DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES
As derivadas parciais de ordens superiores são importantes em diversos contextos, como por exemplo, na avaliação de um candidato a máximo ou a mínimo de uma função de várias variáveis, ou em problemas de otimização de produção e de custos.
Calculam-se as derivadas parciais de ordem superior computando-seas derivadas parciais das funções derivadas parciais de uma ordem a menos, sucessivamente.
Se considerarmos a função de duas variáveis, z = f(x, y), temos quatro derivadas parciais de (2ª) segunda ordem:
 fxx(x, y) = 		fyy (x,y) = 
fxy (x,y) = 		fyx (x,y) = 	
Obs: As derivadas fxy e fyx são chamadas derivadas mistas.
Exemplo: Calcule as derivadas parciais de segunda ordem:
f(x, y) = 3x2 y + 5x – 7y.
fx (x, y) = 6xy + 5 		fxx (x, y) = 6
fy (x, y) =3x2 –7			fyy (x,y) = 0
fxy (x,y) = 6x
fyx (x,y) = 6x
2. f(x, y) = x2. y2
fx (x, y) = 2xy2			fxx (x, y) = 2y2
fy (x, y) =2x2y			fyy (x,y) = 2x2
fxy (x,y) = 4xy
fyx (x,y) = 4xy
Exercícios: 
1) Calcule as derivadas parciais de segunda ordem das funções:
f (x, y) = x2 + y2.			f) f(x, y) = 3x+y3.
f(x, y) = x.y.			g) f(x,y) = 5x4y – 6y + 4x.
f(x, y) = 6xy –2x2y3.		h) f(x, y) = 2x2+3xy 
f(x,y) = 3x-5y+1			i) f(x, y) = ex+y 
f(x, y) =			j) f(x, y) = 		k) f(x, y) = 
2) Calcule as derivadas parciais indicadas:
 ; fyy
 ; fx e fy.
 fx e fy
 ; fxyy
 ; fyy
 ; fxyx
 ; fyx
 ;	fx e fy
 ; fxx e fyy
j) ; fxxy
Equações diferenciais parciais são equações que envolvem derivadas parciais. 
Um exemplo de equação diferencial parcial (EDP) é a equação de Laplace =0, cujas soluções são chamadas funções harmônicas que são importantes no estudo de condução de calor, escoamento de fluídos e potencial elétrico. Mostre que a função f(x, y) = ex.seny é solução da equação de Laplace.
Outro exemplo de EDP é a equação da onda que descreve o movimento de uma onda que pode ser uma onda do mar, uma onda de som, uma onda luminosa ou uma onda se movendo numa corda vibrante. Por exemplo, se f(x,t) descreve o deslocamento da corda de um violino no instante t e a distância x de um dos términos da corda vibrante então f(x, t) satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada na corda. Verifique que a função f(x, t) = sen(x-at) satisfaz a equação da onda.
Exercícios
1) A energia cinética do corpo com massa m e velocidade v é K = ½ mv2. Mostre = K.
2) A lei dos gases para uma massa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é PV =mRT onde R é a constante do gás. Mostre que Pv .VT. TP = -1, ou seja, =-1.
3)A resistência total R produzida por três condutores com resistência R1, R2, R3 conectados em paralelo num circuito elétrico é dada pela fórmula . Determine .
4) Determine se as seguintes funções são harmônicas.
F(x,y) = x²-y²		b) F(x,y) = x³+3xy²	c)F(x,y) = ln(x²+y²)1/2
5) Verifique se as seguintes funções representam o movimento da onda.
F(x,y) = ln(x+ay)	b) F(x,y) = (x+ay)6 +(x-ay)6	c) F(x,y) = y/(a²y²-x²)
MÁXIMOS E MÍNIMOS
Seja f uma função de duas variáveis reais. Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um ponto de máximo local (ou relativo) de f, se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio r, tal que para todo ponto (x, y) do domínio no interior dessa bola aberta, temos f(x,y) f(x0, y0). Ao número f(x0, y0) damos o nome de valor máximo de f.
Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um ponto de mínimo local (ou relativo) de f, se existir uma bola aberta de centro (x0, y0) e raio r, tal que para todo ponto (x, y) do domínio no interior dessa bola aberta, temos f(x,y)f(x0, y0). Ao número f(x0, y0) damos o nome de valor mínimo de f.
 Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um ponto de máximo global (ou absoluto) de f, se para todo ponto (x, y) do domínio f(x,y) f(x0, y0). 
Dizemos que um ponto (x0, y0) do domínio da f é um ponto de mínimo global (ou absoluto) de f, se para todo ponto (x, y) do domínio f(x,y) f(x0, y0). 
TEOREMA: Seja z =f(x, y) uma função de duas variáveis reais e seja (x0, y0) um ponto interior ao domínio de f. Se (x0, y0) for ponto de máximo ou de mínimo e se existirem as derivadas parciais então fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0.
OBSERVAÇÕES:
Esse teorema não garante que (x0, y0) seja ponto de máximo ou de mínimo, apenas mostra os possíveis candidatos a máximo ou mínimo. Pode ocorrer fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0 e (x0, y0) não ser nem máximo e nem mínimo.O teorema só se aplica a pontos interiores ao domínio de f e não se aplica a pontos de fronteira.
Os pontos de máximo e de mínimo são chamados extremantes de f. Os pontos interiores ao domínio de f, tais que fx (x0, y0) = fy (x0, y0) = 0 são ditos pontos críticos de f. Portanto, os pontos críticos de f são os únicos candidatos a extremantes locais. 
EXEMPLO Determine os pontos críticos de f:
1. f(x,y) = x2+y2-2x-2y+xy		2. f(x,y) = 2x+3y –5
	
TEOREMA: Seja f(x,y) função contínua com derivadas parciais até 2ª ordem contínuas. Seja (x0, y0) um ponto crítico de f. Chamamos H(x0, y0) =fxx.fyy – fxy2 de hessiano de f no ponto (x0, y0).
Se H(x0, y0) >0 e fxx (x0, y0)<0, então (x0, y0) será ponto de máximo local de f.
Se H(x0, y0) >0 e fxx (x0, y0)>0, então (x0, y0) será ponto de mínimo local de f.
Se H(x0, y0)< 0, então (x0, y0) não será extremante, será ponto de sela.
Se H (x0, y0) =0 nada se pode afirmar.
EXEMPLOS: 1) Determine os extremantes f(x, y) = x³ – y² – 48x + 4y + 7.
fx =3x² -48 =03x² = 48 x² = 48/3 x² = 16 x = ± 4
fy =-2y +4 =0-2y=-4 2y = 4 y = 4/2 y = 2
Pontos críticos: (4,2) e (-4, 2).
fxx = 6x	fxy = 0		fyy = -2
H(x,y) = fxx.fyy - fxy =6x.(-2) = -12x
H(4,2) = -12.4=-48 (4,2) é ponto de sela. 
H(-4,2)=-12.(-4)=48 >0 e fxx(-4,2) = -24<0 (-4,2) é ponto máximo.
F(-4,2) = (-4)³ – 2² – 48(-4) + 4.2 + 7 = 139 é o valor máximo
2) Calcule pontos e valores de máximo, mínimo de f(x, y) = 4x3 +9y3 –108x -27y +100.
fx(x,y) =12x² -108 =0 12x² = 108 x² = 108/12 x² = 9 x = ± 3
fy(x,y) = 27y² -27 =027y² = 27 y² = 27/27 y² = 1 y = ±1 
Pontos críticos: (3,1), (3,-1),(-3,1) e (-3,-1). Teste da segunda derivada.
fxx(x,y)= 24x; fxy (x,y)= 0; fyy(x,y)= 54y
H(x,y) = fxx. fyy - fxy²
H(3,1) = 72.54-0² =3888>0 e fxx(3,1) =72>0 (3,1)é ponto mínimo
H(3,-1) = 72.(-54)-0² = -3888<0(3,-1) é ponto de sela
H(-3,1) = -72.54-0² = -3888<0(-3,1) é ponto de sela
H(-3,-1) = (-72)(-54)-0² =3888>0 e fxx(-3,-1) =-72<0(-3,-1) é ponto máximo.
Exercício: Estude as funções abaixo com relação a máximos e mínimos.
f ( x,y) = x2+y2-2x
f(x,y) = x2+y2
f(x,y) =3x4+2y4
f(x,y) = - ¼ x4 – ¼ y4 +x +y
f(x,y) = 1/5 x5 + 1/5 y5 –x –16y
f (x, y) = x7 + y5 – 7x – 5y
f (x, y) = x5 + y5 – 80x – 5y
f(x,y) = x² + y³ +6x – 27y + 500
DIFERENCIAL DE UMA FUNÇÃO
 Consideremos a função dada por f(x, y) = 2x2 +3y2 e calculemos a variação f sofrida pela função quando x e y sofrem variações x e y a partir do ponto (x0, y0). Temos que f = f(x0+x, y0+y) - f(x0, y0). Então f = 2 (x0+x)2+3(y0+y)2 - (2x02+3y02)
 = 2(x02+2x0x+(x)2)+3(y02+2y0y+(y)2) – 2x02 - 3y02
= 4x0x + 6y0y + 2(x)2+3(y)2.
Por exemplo, se x0 = 5 e y0 = 6 e x = y = 0,01 teremos:
f = 4.5.0,01+ 6.6.0,01+2. (0,01)2 + 3 (0,01)2 = 0,2 + 0,36 + 0,0002 + 0,0003.
Como as parcelas 0,0002 e 0,0003 são desprezíveis comparadas com 0,2 e 0,36 podemos dizer que f 0,2 + 0,36 = 0,56
Voltando a expressão f = 4x0x + 6y0y + 2(x)2+3(y)2 notamos que:
4x0 = (x0, y0) e 6y0 = (x0, y0).
Os termos 2(x)2 e 3(y)2 são desprezíveis quando comparados a 4x0x e 6y0y, se x e y estão próximos de zero.
f (x0, y0) .x+(x0, y0). y ou f fx (x0, y0) .x+ fy (x0, y0). y. 
Assim a variação sofrida por f(x, y) quando variamos simultaneamente x e y de valores pequenos x e y é aproximadamente fx (x0, y0) .x+ fy (x0, y0). y.
Seja f:A |R2|R aberto e (x0, y0)em A. Seja f a variação sofrida por f(x, y) ao passarmos do ponto (x0, y0) para o ponto (x0+x, y0+y). Dizemos que f é diferenciável no ponto (x0, y0) se f puder ser escrita sob a forma
f =(x0, y0) .x+(x0, y0). y + h1(x, y)x + h2(x, y).y
onde h1e h2 são funções com limite zero quando (x, y) tende a (0, 0).
Se f é diferenciável temos que df = fx (x0, y0) .x + fy (x0, y0). y é chamada a diferencial de f. Observem que df f. TEOREMA: Seja f uma função de duas variáveis. Se as derivadas parciaisfx (x, y) e fy (x, y) são contínuas num aberto A , então f é diferenciável em todos os pontos de A.
Exemplos
1.A função f(x, y) = 2x2 +4y3 é diferenciável em todos os pontos de |R2, pois as derivadas parciais fx (x, y) = 4x e fy (x, y) = 12y2 são contínuas em |R2. A diferencial de f no ponto (x, y) será df = 4x.x + 12y2.y.				 
2.A função f(x, y) = , cujo domínio é A = {(x, y) |R2 |x y}, é diferenciável em A, pois as derivadas parciais fx(x, y) = = e fy(x, y) == são contínuas no domínio A. A diferencial no ponto (x, y) será df = .x + y.						 
Exemplo. Seja f(x, y) = x2y.
a) Calcule a diferencial. fx(x,y) = 2xy e fy(x,y) = x². df= fx(x,y).x e fy(x,y). y = 2xyx+x²y 
b) Calcule f quando x passa de 1 para 1,02 e y passa de 2 para 2,01.
f = f(xo+x,yo+y)-f(xo,yo) = (xo+x)²(yo+y)-xo²yo= (1+0,02)².(2+0,01)-1².2=
=1,02².2,01-1.2 = 1,0404.2,01-2 = 2,091204 – 2 = 0,091204.
c) Calcule a mesma variação usando a diferencial.
df = 2xy. x+x². y = 2.1.2.0,02+1².0,01 = 0,08+0,01 = 0,09
Observe que o erro de aproximação é bem pequeno: 0,091204- 0,09 = 0,001204
2) Calcule o valor aproximado de .
f(x,y) =
f(x0+x, y0+y) = f(x0, y0) + df.
= =+df = 1+2+df = 3+df
(x0=1 e x=0,01; y0=8 e y = -0,1)
fx(x,y) = ½ x- ½ == = =0,5 e fy(x,y) = 1/3 y- 2/3 ====0,083
df = fx(x,y).x + fy(x,y).y = 0,5.0,01+0,083.(-0,1) =0,005 -0,0083=-0,0033
Logo, = 3+df = 3-0,0033 = 2,9967.
Exercícios
1. Calcule o valor aproximado, usando diferencial,.de
a) 	b)	c) (1,01)2,03		d) 
2. Mostre que a função f(x, y) = 3x2+4y2 é diferenciável no ponto (1,1) e calcule a diferencial da função nesse ponto para x = y = 0,01.
3. Dada a função f(x, y) = x 2 + y, calcule f quando x passa de 1 para 1,01 e y passa de 2 para 2,01. Calcule a df.
4. Seja f(x, y) = .
Calcule a diferencial de f no ponto (1,8).
Calcule um valor aproximado de f quando x passa de 1 para 0,9 e y passa de 8 para 8,01.
5. Calcule o valor aproximado para 
6. Calcule o valor aproximado para 
FUNÇÕES DEFINIDAS IMPLICITAMENTE
Consideremos a equação x+y –3 = 0. Resolvendo-a em relação à y, temos y = -x+3. Obtemos então uma função de x, f(x) = -x+3, derivável para todo x. Dizemos então que a equação x+y-3 = 0 define implicitamente uma função y = f(x) derivável em relação à x.
A equação x2+y2 = 0 só é satisfeita pelo par (0, 0) e portanto não define implicitamente uma função y = f(x) derivável em x.
Se considerarmos a equação x3y+xy3+x2y2+xy –4 = 0, não é fácil isolar y e obter y = f(x) e saber se a equação define implicitamente uma função.
Uma função y = g(x) é definida implicitamente pela equação f(x, y)=0 se para todo x no domínio da função g temos f(x, g(x)) = 0. Da mesma forma, x = h(y) é definida implicitamente pela equação f(x, y) = 0 se para todo y no domínio da função h, temos f(h(y), y) =0.
No primeiro caso, temos g’(x) = , se fy (x, g(x)) 0.
No segundo caso, temos h’(y) = , se fx (h(y), y) 0.
Exemplos
1. A equação f(x, y) = 2x2 + y –1 = 0 define implicitamente a função y = 1- 2x2. Assim usando a fórmula temos que y’ = = = = -4x. Fazendo o cálculo direto temos y’ = - 4x.
2. A função y = g(x) é definida implicitamente pela equação f(x, y) = 0 , onde f(x, y) = +xy3+x2y2+x y – 4. Expresse em termos de x e y.
TEOREMA DAS FUNÇÕES IMPLÍCITAS: Sejam f(x, y) e fy (x, y) funções contínuas num domínio D e (x0, y0) em D. Se f(x0, y0) = 0 e fy (x0, y0) 0 então existe um intervalo I, com centro em x0, em que a equação f(x0, y0) = 0 define implicitamente uma única função derivável y = g(x) tal que y0=g(x0) e f(x, g(x)) = 0, para todo x em I.
Exemplos:
1. A equação y3+x y+x3 = 4 define implicitamente uma função y = g(x)?
Temos que f(x, y) = y3+x y+x3 – 4 e fy (x, y)= 3y2 +x são contínuas em |R2, e f(0,) = 0 e fy(0,) = 3()2 0, assim pelo Teorema das funções implícitas, a equação define uma função y = g(x) diferenciável num intervalo aberto de centro 0. E =.
2. Mostre que cada uma das equações seguintes define implicitamente pelo menos uma função diferenciável y = g(x) e expresse em função de x e y.
x2y+sen y = x 
y4+x2y2+x4 = 3
x2 + y2 =1
PLANO TANGENTE E RETA NORMAL
Seja f(x, y) uma função diferenciável no (x0, y0). O plano tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é definido por 
z – f (x0, y0) = fx (x0, y0).(x - x0) + fy (x0, y0). (y - y0).
Observe que o plano tangente pode ser definido pelo produto escalar:
(fx (x0, y0), fy (x0, y0), -1).((x, y, z) – (x0, y0, f(x0, y0))) = 0
(fx (x0, y0), fy (x0, y0),-1). (x-x0, y – y0, z-f(x0, y0)) = 0
fx (x0, y0). (x- x0) + fy (x0, y0).(y – y0) –1.(z-f(x0, y0)) = 0
z – f (x0, y0) = fx (x0, y0).(x - x0) + fy (x0, y0). (y - y0).
A reta normal ao gráfico de f no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) é a reta que passa pelo ponto (x0, y0, f(x0, y0)) e é paralela ao vetor (fx (x0, y0), fy (x0, y0), -1). A reta normal tem equação (x, y , z) = (x0, y0, f(x0, y0)) + .(fx (x0, y0), fy (x0, y0), -1) ou .
Exemplo: Seja f(x, y) = 3x2y – x. determine as equações do plano tangente e da reta normal no ponto (1, 2,f(1,2)).
VETOR GRADIENTE
Seja z = f(x, y) uma função que admite derivadas parciais em (x0, y0). O vetor
	f(x0, y0) = (fx (x0, y0), fy (x0, y0))
denomina-se vetor gradiente de f em (x0, y0).
	
Geometricamente, o vetor gradiente é um vetor aplicado no ponto (x0, y0).
Exemplo: 
1) Determine o gradiente da função f(x, y) = +4xy no ponto (1,2). 
f(x,y) = 3x²y-1-yx-2+4xy
fx =6xy-1 –y(-2)x-3+4y = fx (1,2) == 3+4+8=15
fy =3x²(-1)y-2–1x-2+4x =fy (1,2) == -0,75-1+4=2,25.
Logof(1,2) = (15; 2,25)
2) Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule f(1,1).
fx =2x= fx (1,1) = 2.1=2 e fy =2y = fy (1,1) =2.1=2.Logo, f(1,1)=(2,2).
Para uma variável temos que se f(x) é diferenciável no ponto x0 então
f (x) = f(x0) +f ’(x0).(x-x0) +E(x), com = 0.		(1)
Para duas variáveis, temos que se f(x,y) é diferenciável em (x0, y0) então
f(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0, y0)(y-y0)+E (x, y), com=0. f(x,y)= f(x0, y0)+f(x0, y0)[(x, y) –(x0, y0)] + E (x, y),com = 0.
Fazendo X = (x, y) e X0 = (x0, y0) temos que 
f(X) = f(X0) + f(X0). (X –X0) +E(X), com= 0.		(2)
Comparando (1) e (2) podemos considerar o gradiente como a derivada de f em (x0, y0), ou seja, f ’(x, y) = f(x, y). 
Geometricamente, temos que o vetor f(x0, y0) gradiente é normal a curva f(x, y) = c (curva de 		nível) em (x0, y0).
Exemplo: Seja y =g(x) uma função de uma variável. Considerando F(x,y) =g(x) –y temos uma função de duas variáveis. O gráfico de g será igual a curva de nível F(x,y) = 0 . Assim f(x0, y0) é normal ao gráfico de g em (x0, y0). Ef(x0, y0)=(g’(x0), -1).
Exercício. Calcule o vetor gradiente:
f(x,y) =(ln(7x+4y))8, no ponto (1,0)
f(x,y) = no ponto (1,1)
f(x,y) = no ponto (0,/2)
f(x,y) = sen(4x+y).cos(x7y8) no ponto (0,0)
f(x,y) = (8xy8+5yx4)7, no ponto (0,3)
 f(x, y) = 3x2y - y2 no ponto(1,3).
f(x,y) = cos(ln(x7y³)), no ponto (0,). 
DERIVADA DIRECIONAL
Definimos um vetor unitário como aquele que tem norma um , ou seja, 
é =(a,b) é unitário se || || == 1.
Seja z = f(x, y) uma função, (x0, y0) um ponto do domínio de f e =(a,b) um vetor unitário. Suponhamos que exista r>0 tal que para |t|<r os pontos da reta (x, y) = (x0+at, y0+bt)Df. Como estamos supondo=(a,b) um unitário, a distância de (x0+at, y0 + b t ) a (x0, y0) é |t|. 
Assim, =(x0,y0) quando existe e é finito, denomina-se derivada direcional de f no ponto (x0, y0) e na direção do vetor unitário =(a,b). A derivada direcional (x, y) pode ser interpretada como sendo a inclinação da superfície z = f(x,y) no ponto (x, y, z) na direção de .
Exemplo: Seja f(x, y) = x2 + y2 e um vetor unitário.
(1,1) = 
(1,1) = 
(1,1) = 
(1,1) = 
(1,1) =
(1,1) = 2a + 2b.
Se = (1, 0) temos (1,1) = 2.1+2.0 = 2 e se = (0,1) temos (1,1) = 2.0+2.1 = 2.
Observe que as derivadas parciais de f , em (x0, y0), são particulares derivadas direcionais:fx (x0, y0) =(x0, y0) onde = = (1,0).
fy (x0, y0) =(x0, y0) onde = = (0,1).
Podemos obter vetores unitários a partir de qualquer vetor = (a0, b0) basta tomar o seu versor:				 = =.
Exemplos:
1. Se = (-1,1) então || || = = 1. Logo não é unitário, mas = ==é unitário.
2. Se = (3,4) então || || = ==5 1. Logo não é unitário, mas = ==é unitário.
TEOREMA: Sejam f: A |R2|R, A aberto, (x0, y0) em A e =(a,b) vetor unitário. Se f(x,y) for diferenciável em (x0, y0) então f admitirá derivada direcional em (x0, y0), na direção de e 		(x0, y0) =f (x0, y0). .
TEOREMA: Sejam f: A |R2|R, A aberto, f diferenciável em (x0, y0) e tal que f (x0, y0) (0,0). Então o valor máximo de(x0, y0) ocorre quando for o versor do vetor gradiente f (x0, y0), isto é , = e esse valor máximo é ||f (x0, y0)||.
Assim, estando em (x0 , y0) a direção e sentido que se deve tomar para que f cresça mais rapidamente é a direção do vetor gradiente em (x0, y0).
Exemplo: Considerando f(x, y) = 5xy-4x²+y, calcule a derivada direcional de f, na direção de u = (8,6), a partir de (x0, y0) = (3,2).
Solução: fx =5y -8x fx (3,2) =5.2-8.3= -14, fy =5x+1 fy (3,2) = 5.3+1=16,f(3,2) = (-14, 16), ||u||= v = (8/10, 6/10) = (0,8, 0,6)
 = f(3,2).u = (-14,16). (0,8; 0,6) = -14.0,8+16.0,6 = -1,6
Exercícios
Seja f(x, y) = x2 + x.y e calcule (1,2) onde é o versor de :
a) = (1,1) 	b) = (3,4).
Seja f(x, y) = x2 y. Calcule de modo que (1,1) seja máximo? Qual é o valor máximo?
Integrais Duplas
Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla. Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }y
b
a
x
d
c
R
e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).
S
z
y
R
x
Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja, S = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 < z < f(x,y)}.Nosso objetivo é determinar o volume de S. O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os subretângulos: Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j }, cada um dos quais com área A = xy.
Rij
R
d
(xij , yij)
yj
y
yj-1
y2
y1
c
xi-1
x2
x1
x
a
b
xi
x
Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:
Vij = f(xij , yij)A.
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:
V 
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.
z
S
Vij
f (xij , yij )
y
R
 (xij , yij )
x
Nossa intuição diz que a aproximação V melhora quando aumentamos os valores de m e de n e, portanto, devemos esperar que: V = . Usamos essa expressão para definir o volume do sólido S que corresponde à região que está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f. Mesmo f não sendo uma função positiva, podemos dar a seguinte definição:
A integral dupla de f sobre o retângulo R é
se esse limite existir.
Pode ser provado que o limite existe sempre que f for uma função contínua. Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido que está acima do retângulo R e abaixo da superfície z = f(x.y) é
.
A soma é chamada soma dupla de Riemann e é usada como aproximação do valor da integral dupla.
Exemplo: O volume do sólido que está acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão de R em quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada quadrado Rij.2
2
1
1
0
x
y
(1,1)
(2,2)
(2,1)
(1,2)
R11
R22
R21
R12
Solução: Os quadrados estão ilustrados na figura acima e a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela soma de Riemann com m = n = 2, temos:
= f(1,1)A + f(1,2) A + f(2,1) A + f(2,2) A
			 = 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34
Esse é o volume das caixas “aproximadoras”, como mostra a figura abaixo:
Obtemos melhor aproximação do volume quando aumentamos o número de quadrados. A figura abaixo mostra como as figuras começam a parecer mais com o sólido verdadeiro e as aproximações correspondentes vão se tornando mais precisas quando usamos 16, 64 e 256 quadrados.
INTEGRAIS ITERADAS
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, então calculamos a integral dupla de f em R através de integrais iteradas, como mostrado abaixo:
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser descontínua em um número finito de pontos de R.Exemplo: Calcule o valor da integral , onde R = [0,3] x [1,2]y
32
2
1
x
0
Solução:	====
== OU
====
O valor obtido é o volume do sólido acima de R e abaixo do gráfico da função f(x,y) = x2y (Veja figura ao lado)
Exemplo: Calcule , onde R = [1,2] x [0,].
Solução: 
Obs.: 1) Se mudarmos a ordem de integração, invertendo as integrais iteradas, a resolução das mesmas irá requerer a aplicação de técnicas de integração, tornando o trabalho mais demorado. Portanto é importante observar o tipo de função que iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integração.
	2) O valor obtido nesta integral representa a diferença do volume da parte do sólido que está acima do retângulo R e do volume da parte do sólido que está abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes são iguais.
Exemplo: Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
Solução: Observamos, primeiro, que S é o sólido que está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima do retângulo R = [0,2] x [0,2].
Vamos calcular o volume deste sólido usando integral dupla:
 
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIÕES GENÉRICAS
Para integrais simples, a região sobre a qual integramos é sempre um intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a função f, não somente sobre retângulos, mas também sobre um região D de forma mais geral, como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma região limitada, o que significa que D pode ser cercada por uma região retangular R. Definimos, então, uma nova função F com domínio R por
y
y
R
x
D
D
0
x
0
Se a integral dupla de F sobre R existe, então definimos a integral dupla de f sobre D por
Cálculo da Derivada Dupla sobre Regiões Planas Genéricas
Regiões planas inscritas em faixas verticais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre o gráfico de duas funções contínuas de x, ou seja: D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
ondeg1 e g2 são contínuas em [a,b]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:
y = g2(x)
y = g2(x)
y = g2(x)
D
x
y
0
D
x
y
0
D
x
y
0
b
a
a
b
y = g1(x)
y = g1(x)
y = g1(x)
a
b
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
sempre que f for contínua em D.
Regiões planas inscritas em faixas horizontais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o gráfico de duas funções contínuas de y, ou seja: D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) } onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. Por exemplo, as regiões D representadas abaixo:
x = h2(y)
x = h2(y)
0
y
x
D
0
y
x
D
y
0
x
d
x = h2(y)
d
d
D
x = h1(y)
c
c
x = h1(y)
c
x = h1(y)
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguintes integrais iteradas:
sempre que f for contínua em D.
Exemplo: Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
Solução: 				 x
y
–1
1
y = 2x2
y = 1 + x2
A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção das duas parábolas e podemos escrever:
D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2 < y < 1 + x2 }
Assim, calculamos a integral dupla através das seguintes integrais iteradas:
Exemplo: Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2. 
Solução: D é uma região inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto:
D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2 < y < 2x }. Assim, o volume é:
Mas também podemos inscrever a região D na faixa horizontal 0 < y < 4, com:
D = { (x,y) | 0 < y < 4, }
Portanto, o volume pode ser calculado como:
Exemplo: Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
y2 = 2x + 6
Solução: 
y = x – 1
A intersecção das duas curvas é calculada da seguinte maneira:
[y2 = 2x + 6] [y = x – 1] e x = y + 1 y2 – 2y – 8 = 0
			 y = –2 ( x = –1 ) ou y = 4 (x = 5 )
Portanto, os pontos de intersecção das curvas são (-1,-2) e (5,4).
Novamente, a região D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical -3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior é constituída por mais de uma curva. Assim, preferimos expressar D como: D = { (x,y) | -2 < y < 4, < x < y + 1 }. Logo: 
Exemplo: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x=2y, x=0 e z = 0.
Solução: 	Em uma questão como esta, é prudente desenhar dois diagramas: um do sólido tridimensional e outro da região plana D sobre a qual o sólido está.
	Igualando as equações dos planos, duas a duas, obtemos as retas que contém as arestas do tetraedro:
y
z
y
x
x = 2y
x + 2y + z = 2
(0, 0, 2)
(0, 1, 0)
(1, ½, 0)
T
x + 2y = 2
1
D
½ 
1
x
x = 2y
A figura acima, à esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planos coordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2.
Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equação z = 0) na reta x + 2y = 2, vemos que T está sobre a região triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x = 2y, x + 2y = 2 e x = 0.
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 – x – 2y e a região D como:
D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 – x/2 }.
Portanto o volume de T é:
Propriedades das Integrais Duplas:
1)
2), onde c é uma constantese D = D1 D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem exceto, possivelmente, nas fronteiras.
3),
APLICAÇÕES: MASSA E CENTRO DE MASSA DE UMA LÂMINA
Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x,y) em D é dada por (x,y), onde é uma função contínua sobre D. Então a massa total m da lâmina é dada por:
Além disso, o centro de massa dessa lâmina é o ponto (X,Y), onde e , sendo e os momentos em relação aos eixos x e y, respectivamente.
Exemplo: 	Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0,0), (1,0) e (0,2), se a função densidade é (x,y) = 1 + 3x + y.
Solução: (0,2)
O triângulo D está limitado pelas retas x = 0, y = 0 e y = 2 – 2x.. Podemos expressar D por:D
y = 2 – 2x
(1,0)
(0,0)
D = { (x,y) | 0 x 1, 0 y 2 – 2x }
A massa da lâmina é:
Os momentos são:
Assim: , 
Logo, o centro de massa da lâmina é o ponto (3/8,11/16), indicado na figura:
(0,2)
y = 2 – 2x
(3/8,11/16)
D
(1,0)
(0,0)
Exemplos Resolvidos:
1. Descreva a área da região abaixo, por meio de integrais duplas, inverta a ordem de integração e dê o resultado da área nas duas formas:
a)
onde y = -3x+9
Verticalmente:
.
Horizontalmente:
Invertendo: y = -3x+9 3x= -y+9 x = (-y+9)/3 = -y/3+3
b)
Verticalmente:
 
Horizontalmente: invertendo: y=2x x=y/2
			 	 y = x² x = 		
c) 
verticalmente
Horizontalmente:
Invertendo:	y= x+1 x=y-1 ,	y=x²x =
d)
verticalmente
Horizontalmente: 
Invertendo: y = x² x = 
2. Resolva as seguintes integrais duplas:
a)	
b) 		
c) 		
d)	
e) 
f)	
g)		
Exercícios:
Calcule as seguintes integrais duplas:
a) 		b) 			k)
c) 			d) 		l)
e) 		f) 		m)
g)			h) 	n)
i)			j) 		o)
Calcule a área das figuras abaixo através de uma integral dupla, inverta a ordem e verifique que o resultado é o mesmo:
a)							b) 
53
20