Estimação

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Aula 8
Estimação
Objetivo: Conhecer e compreender a construção dos intervalos de con…ança
para os principais parâmetros populacionais na Inferência Estatística.
Nesta aula serão tratadas as ideias centrais da Teoria de Estimação, com
ênfase na estimação intervalar, já que a Teoria de Estimação na Estatística posui
uma complexidade cujo tratamento adequado mereceria um curso por si só. Sabe-
mos que a problematização central da Estatística consiste em se estimar o valor
de determinados parâmetros populacionais à luz das informações obtidas de uma
amostra extraída dessa mesma população, por meio de um estimador conveniente-
mente escolhido para "acertar" em média o valor do parâmetro. Assim, a ideia é
partir inicialmente de um estimador pontual com propriedades desejáveis e obter
a distribuição de probabilidade amostral do estimador, a …m de estabelecer um
intervalo de con…ança para o parâmetro em estudo.
Para ilustrar a ideia, suponha que o “alvo”a ser atingido seja o parâmetro
populacional e que cada estimativa obtida de diversas amostras da população repre-
sente um "tiro". Então quando a média dos valores dos “tiros”(ou seja, a média de
diversas estimativas para o mesmo parâmetro) recai no alvo (parâmetro), dizemos
que nosso estimador é não-viesado (ou não-viciado, ou ainda não-tendencioso). Ob-
viamente, mais do que ter a média dos “tiros”no valor do parâmetro, gostaríamos
também que o “atirador”fosse preciso nos seus resultados, isto é, variasse pouco a
sua performance.
Assim podemos ter as seguintes situações simbólicas para estimadores de
parâmetros populacionais:
Não-viesado e preciso. Viesado e preciso.
1
Não-viesado e pouco
preciso. Viesado e pouco preciso.
Você já deve ter percebido que os melhores estimadores são os não-viesados
e precisos, certo? Quando o estimador é viesado e preciso, é possível corrigir o
“estrabismo”do estimador e fazer com que ele passe acertar em média o valor do
parâmetro. É o caso da variância amostral, em que discutimos o porquê de se dividir
por n � 1 (ao invés de n) a soma dos quadrados dos desvios em relação à média,
diferentemente do cálculo da variância populacional. Se dividíssemos a soma dos
desvios quadráticos amostrais por n, os “tiros” gerariam um viés, isto é, a média
dos tiros não recairia sobre o valor do parâmetro, levando a um erro de estimação.
A tabela abaixo indica os estimadores pontuais não-viesados para os prin-
cipais parâmetros populacionais tratados na Estatística.
Parâmetro Estimador
Média � Xn =
Pn
i=1Xi
n
Proporção p p^ =
X
n
(X: no de "sucessos" na amostra)
Variância �2 S2 =
Pn
i=1
�
Xi �Xn
�2
n� 1
Desvio-Padrão � S =
sPn
i=1
�
Xi �Xn
�2
n� 1
Como dissemos anteriormente, a partir da distribuição de probabilidade
das variáveis aleatórias envolvidas no estudo, podemos obter as distribuições de
probabilidade dos estimadores, a …m de construir um intervalo de con…ança para o
parâmetro em estudo. Para isso o pesquisador precisa arbitrar um nível de con…ança,
representado por 1� �, onde � é a probabilidade de que o intervalo construído não
contenha o valor do parâmetro, chamada de nível de signi…cância. Assim temos a
seguinte de…nição:
O nível de con…ança, 1� �, é a probabilidade de que a estimativa intervalar
contenha o parâmetro populacional em questão.
2
1 Intervalo de Con…ança para a Média Popula-
cional � (quando a variância populacional �2 é
conhecida)
Desejamos construir um intervalo de con…ança para a média populacional �
conhecendo-se o valor da variância �2, uma situação um pouco incomum, e que só
se justi…ca quando sabemos por estudos anteriores que a variância populacional era
�2 e temos a suposição de que continua a mesma, embora a média possa ter mudado.
No entanto há também uma situação especial a ser considerada nesse caso.
Mesmo desconhecendo a variância populacional, se estivermos lidando com amostras
de tamanho grande (n � 30), podemos utilizar a variância amostral S2 no lugar da
variância populacional �2, sem problema algum. Portanto, o contexto estudado aqui
vale tanto para �2 conhecida, quanto para �2 desconhecida, com amostras grandes.
Sabemos, pelo Teorema Central do Limite, que temos a aproximação em
distribuição:
Z =
Xn � �
�p
n
� N (0; 1).
Se a população é normalmente distribuída, então a distribuição é exata, isto
é,
Z =
Xn � �
�p
n
� N (0; 1).
Suponha que desejemos formar um intervalo de con…ança para � com uma
probabilidade de 1� �. Então
P
��z�=2 � Z � z�=2� = 1� �
P
0B@�z�=2 � Xn � ��p
n
� z�=2
1CA = 1� �
P
�
�z�=2 �p
n
� Xn � � � z�=2 �p
n
�
= 1� �
P
�
Xn � z�=2 �p
n
� � � Xn + z�=2 �p
n
�
= 1� �
Assim, temos
P
�
Xn � z�=2 �p
n
� � � Xn + z�=2 �p
n
�
= 1� �.
3
O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a
estimativa pontual e o valor do parâmetro que se está estimando, dado o nível de
con…ança 1� �, ou seja,
E = z�=2
�p
n
.
A partir da fórmula anterior, podemos dimensionar o tamanho da amostra
necessário para que se possa estimar a média populacional com um erro E. Para
isso, basta isolar o valor de n em E = z�=2
�p
n
.
Assim, o tamanho amostral n necessário para se estimar a média popula-
cional com um erro máximo de estimativa E e um nível de signi…cância � é dado
por
n =
�
z�=2 � �
E
�2
.
Exemplo 1 Seja uma amostra aleatória com 35 preços (em reais) de um aparelho
celular especí…co. Sabendo-se que a média amostral foi de R$ 101; 77 e o desvio-
padrão de R$ 6; 69, pede-se:
(a) Determine a estimativa pontual para a média populacional dos preços do
celular em estudo.
(b) Determine o erro máximo da estimativa E, com base na amostra, ao nível
de 95% de con…ança.
(c) Determine o intervalo de con…ança de 95% para a média dos preços do celular
em estudo.
(d) Deseja-se estimar a média do preço do celular. Quantos preços de aparelhos
terão de ser incluídos na amostra se se deseja estar 95% seguro de que a média
amostral está a no máximo R$ 2; 00 da média populacional?
Solução: Temos as seguintes informações: n = 35, X35 = 101; 77 e S = 6; 69.
Apesar de não conhecermos a variância populacional, como n � 30, podemos utilizar
o intervalo de con…ança para a média populacional, nos valendo da distribuição
normal.
(a) O melhor estimador pontual para a média populacional é a média da amostra,
pois esse estimador é não-viesado. Assim, X35 = 101; 77.
(b) Ao nível de con…ança de 95%, temos � = 5% e assim o valor tabelado na
normal é
z�=2 = z0;025 = 1; 96.
4
Assim
E = z�=2
�p
n
= 1; 96� 6; 69p
35
= 2; 22.
Portanto o erro máximo da estimativa é da ordem de R$ 2; 22.
(c) O intervalo de con…ança será dado por
P
�
X35 � E � � � X35 + E
�
= 0; 95
P (101; 77� 2; 22 � � � 101; 77 + 2; 22) = 0; 95
P (99; 55 � � � 103; 99) = 0; 95.
(d) Desejamos n tal que E = 2 e � = 5%. Assim, como z�=2 = z0;025 = 1; 96,
temos
n =
�
z�=2 � �
E
�2
=
�
1; 96� 6; 69
2
�2
= 42; 98.
Assim devemos ter 43 elementos amostrais. Como já dispomos de 35, teríamos que
coletar mais 8 elementos para a amostra.
2 Intervalo de Con…ança para a Média Popula-
cional � (quando a variância populacional �2 é
desconhecida)
Esse é certamente o contexto mais natural a se lidar com os problemas estatís-
ticos de estimação intervalar da média populacional. Quando a amostra é pequena
e precisamos utilizar a variância da amostra no lugar da variância populacional,
incorporamos mais incerteza aos intervalos. Daí a nova distribuição amostral ter
caudas mais “pesadas”, isto é, caudas com maior probabilidade para gerar valores
mais atípicos. Assim, quando a variância da população �2 é desconhecida, é possível
mostrar que, para dados aproximadamente normais, a variável aleatória
T =
Xn � �
Sp
n
tem Distribuição t-Student com n� 1 grausde liberdade, com
S =
sPn
i=1
�
Xi �Xn
�2
n� 1
o desvio-padrão (corrigido) da amostra. Assim, escrevemos
T =
Xn � �
Sp
n
� tn�1 � Student.
Essa distribuição tem sua forma semelhante à distribuição Normal, isto é,
simétrica e centrada no zero, mas suas caudas são mais pesadas para graus de
5
liberdade pequenos. Como a Distribuição Normal Padrão, a Distribuição t-Student
é tabelada, de acordo com os seus graus de liberdade e o nível de signi…cância (veja
a tabela anexada).
Observe que a tabela dá a área à direita do valor de tn�1;�, conforme grá…co
abaixo com a no lugar de �.
Distribuição t-Student
Suponha que desejemos formar um intervalo de con…ança para � com uma
probabilidade de 1� � (nível de con…ança), supondo �2 desconhecida. Então
P
��tn�1;�=2 � T � tn�1;�=2� = 1� �
P
0BB@�tn�1;�=2 � Xn � �Sp
n
� tn�1;�=2
1CCA = 1� �
P
�
�tn�1;�=2 Sp
n
� Xn � � � tn�1;�=2 Sp
n
�
= 1� �
P
�
Xn � tn�1;�=2 Sp
n
� � � Xn + tn�1;�=2 Sp
n
�
= 1� �
Assim, temos
P
�
Xn � tn�1;�=2 Sp
n
� � � Xn + tn�1;�=2 Sp
n
�
= 1� �.
O erro máximo da estimativa, E, dado nível de con…ança, 1�� é dado por:
E = tn�1;�=2 � Sp
n
.
6
Com isso podemos dimensionar o tamanho da amostra necessário para que
se possa estimar a média populacional com um erro E e um nível de signi…cância �.
Isolando-se o valor de n em E = tn�1;�=2 � Sp
n
, obtemos o tamanho amostral dado
por
n =
�
tn�1;�=2 � S
E
�2
.
Observação: Conforme os graus de liberdade aumentam, a distribuição
t-Student se aproxima da distribuição Normal. Isso justi…ca o porquê do uso da dis-
tribuição normal, na formação do intervalo de con…ança para a média populacional,
mesmo com �2 desconhecida no contexto de amostras grandes.
Exemplo 2 Em uma amostra aleatória de 13 adultos da cidade do Rio de Janeiro,
a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4; 3 kg por dia, com um desvio padrão de
0; 3 kg. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo
de con…ança de 90% para a média de lixo reciclado por pessoa no Rio de Janeiro.
Solução: Temos as seguintes informações: n = 13, X13 = 4; 3 e S = 0; 3. Como
a variância populacional é desconhecida, os dados são normalmente distribuídos, e
o tamanho da amostra é pequeno, utilizaremos a distribuição t-Student. A um nível
de signi…cância � = 10%, temos
tn�1;�=2 = t12;0;05 = 1; 782.
Assim, temos
E = tn�1;�=2 � Sp
n
= 1; 782� 0; 3p
13
= 0; 148.
Com isso, temos
P
�
X13 � E � � � X13 + E
�
= 0; 90
P (4; 3� 0; 148 � � � 4; 3 + 0; 148) = 0; 90
P (4; 152 � � � 4; 448) = 0; 90.
3 Intervalo de Con…ança para a Proporção Po-
pulacional p
Suponha que p seja a proporção dos elementos de uma população de interesse
que possuem um certo atributo em estudo. Então
p =
PN
i=1Xi
N
,
onde Xi = 1 se o i-ésimo elemento da população tem o atributo e Xi = 0 se
o i-ésimo elemento da população não tem o atributo. Assim Xi � Ber(p) onde
E (Xi) = p e V ar (Xi) = p(1� p).
O estimador não-viesado para p é dado por
p^ =
Pn
i=1Xi
n
=
X
n
,
7
onde X é o número de elementos na amostra com o dado atributo em estudo. Se n
for su…cientemente grande para satisfazer np � 5 e n (1� p) � 5, então, como p^ é
uma média de variáveis aleatórias independentes, vale o Teorema Central do Limite,
isto é,
Z =
p^� pr
p(1� p)
n
� N (0; 1).
Como
r
p(1� p)
n
depende também do parâmetro, a ideia é substituirr
p(1� p)
n
pela estimativa amostral
r
p^(1� p^)
n
e assim construir um intervalo de
con…ança para p com um nível de con…ança de 1� �. Temos
P
��z�=2 � Z � z�=2� = 1� �
P
0BB@�z�=2 � p^� pr p^(1� p^)
n
� z�=2
1CCA = 1� �
P
 
�z�=2
r
p^(1� p^)
n
� p^� p � z�=2
r
p^(1� p^)
n
!
= 1� �
Assim, temos
P
 
p^� z�=2
r
p^(1� p^)
n
� p � p^+ z�=2
r
p^(1� p^)
n
!
= 1� �.
Portanto, o erro máximo da estimativa, E, dado o nível de con…ança 1� �
é dado por
E = z�=2
r
p^(1� p^)
n
.
Com isso podemos dimensionar o tamanho da amostra necessário para que
se possa estimar a média populacional com um erro E e um nível de signi…cância �.
Isolando-se o valor de n em E = z�=2
r
p^(1� p^)
n
, chegamos a
n = p^(1� p^)
�z�=2
E
�2
.
Observe que a fórmula do tamanho amostral acima depende de uma esti-
mativa preliminar p^ retirada de uma amostra piloto. Caso não seja possível obter
a amostra preliminar, então tomamos o valor de p^ que maximiza o fator p^(1 � p^),
pois assim encontramos o maior valor de n necessário para atender as especi…cações
8
de E e �. Mas encontrar o valor de p^ que maximiza o fator p^(1� p^) é equivalente a
encontrar o valor de x que maximiza a parábola y = x(1 � x) = x � x2, ou seja, a
coordenada x de seu vértice V
�
1
2
; 1
4
�
. Assim, p^ = 1
2
é o valor que maximiza p^(1� p^),
e, portanto, sem uma amostra preliminar, temos
n =
1
2
(1� 1
2
)
�z�=2
E
�2
=
1
4
�z�=2
E
�2
ou seja,
n =
�z�=2
2E
�2
.
Exemplo 3 Em um estudo com 1:907 acidentes de tráfego, 449 estavam relaciona-
dos ao uso de álcool. Pede-se:
(a) Construir um intervalo de con…ança de 99% para a proporção de acidentes
fatais relacionados ao álcool.
(b) Deseja-se estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a
um nível de con…ança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário
para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%, sem uma amostra
preliminar.
(c) Deseja-se estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a
um nível de con…ança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário
para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%, usando a estimativa
preliminar do enunciado do problema.
Solução: Temos n = 1907 e X = 449. A estimativa pontual para p é dada por
p^ =
X
n
=
449
1907
�= 0; 235
(a) Como np^ = 449 � 5 e n(1 � p^) = 1:458 � 5, a distribuição normal pode ser
usada. Assim, para � = 0; 01, temos
z�=2 = z0;005 = 2; 57
E = z�=2
r
p^(1� p^)
n
= 2; 57
r
0; 235� 0; 765
1907
�= 0; 025.
Assim
P (p^� E � p � p^+ E) = 0; 99.
P (0; 235� 0; 025 � p � 0; 235 + 0; 025) = 0; 99.
P (0; 21 � p � 0; 26) = 0; 99.
Com 99% de con…ança, pode-se dizer que a proporção de acidentes fatais relaciona-
dos ao álcool está entre 21% e 26%.
(b) Desejamos E = 0; 02. Sem a estimativa pontual, temos
n =
�z�=2
2E
�2
=
�
2; 57
2� 0; 02
�2
�= 4:128; 0625.
Assim, devemos extrair uma amostra de 4:129 elementos.
9
(c) Desejamos E = 0; 02. Com a estimativa pontual p^ = 0; 235, temos
n = p^(1� p^)
�z�=2
E
�2
= 0; 235� 0; 765�
�
2; 57
0; 02
�2
= 2:968; 49.
Assim, devemos extrair uma amostra de 2:969 elementos, valor bem abaixo do exigido
no item (b) pela ausência de uma amostra piloto.
4 Intervalo de Con…ança para Variância Popula-
cional �2
A ideia agora é construir um intervalo de con…ança para a variância populacional
�2 a partir da variância amostral S2. Pode-se mostrar em cursos avançados de
Estatística, que se a população é normalmente distribuída (ou aproximadamente
normal), então a variável aleatória � =
(n� 1)S2
�2
tem distribuição Qui-Quadrado
com n�1 graus de liberdade, representada por �2n�1, com � a letra grega chi. Assim
� =
(n� 1)S2
�2
� �2n�1
Essa distribuição é assimétrica e de…nida nos valores reais positivos, sendo
também tabelada de acordo com os graus de liberdade e os níveis de signi…cância
desejados. (Veja a tabela anexada.)
Observe que a tabela dá a área à direita do valor de �2n�1;�, conforme grá…co
abaixo com a no lugar de �.
Distribuição Qui-Quadrado
Assim, temos
P
�
�2n�1;1��=2 � � � �2n�1;�=2
�
= 1� �
P
�
�2n�1;1��=2 �
(n� 1)S2
�2
� �2n�1;�=2
�
= 1� �P
�
�2�2n�1;1��=2 � (n� 1)S2 � �2�2n�1;�=2
�
= 1� �
10
As duas desigualdades podem ser desenvolvidas como
�2�2n�1;1��=2 � (n� 1)S2 =) �2 �
(n� 1)S2
�2n�1;1��=2
e
(n� 1)S2 � �2�2n�1;�=2 =) �2 �
(n� 1)S2
�2n�1;�=2
.
Assim, temos
P
 
(n� 1)S2
�2n�1;�=2
� �2 � (n� 1)S
2
�2n�1;1��=2
!
= 1� �.
Exemplo 4 A …m de se estimar o desvio-padrão dos preços de aparelhos de MP3
no Rio de Janeiro, seleciona-se ao acaso uma amostra de 17 preços de aparelhos de
MP3, obtendo-se o desvio-padrão amostral de R$ 150; 00. Construa um intervalo
de con…ança de 95% para a variância e o desvio-padrão dos preços dos aparelhos de
MP3 no Rio de Janeiro, assumindo a população normal.
Solução: Temos n = 17 e S = 150. Sabemos que
(n� 1)S2
�2
� �2n�1. Assim
16S2
�2
=
16� 1502
�2
� �216.
Como � = 0; 05, temos
�216;0;025 = 28; 845 e �
2
16;0;975 = 6; 908
Assim, temos
P
�
6; 908 � 16� 150
2
�2
� 28; 845
�
= 0; 95
P
�
16� 1502
28; 845
� �2 � 16� 150
2
6; 908
�
= 0; 95
P
�
12:480; 50 � �2 � 52:113; 49� = 0; 95
P
�p
12:480; 50 � � �
p
52:113; 49
�
= 0; 95
P (111; 72 � � � 228; 28) = 0; 95.
Exercício 1 Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a um
propelente sólido. A taxa de queima desse propelente é uma característica importante
do produto. Sabe-se que o desvio-padrão da taxa de queima seja de 2 cm/s. O
experimentalista decide estimar a taxa média populacional a um nível de signi…cância
de 5%. Para isso ele seleciona uma amostra aleatória de tamanho 25 e obtém uma
taxa média amostral de queima de 51; 3 cm/s.
(a) Qual o intervalo de con…ança obtido?
(b) Se o fabricante dos sistemas a…rma que a taxa média de seus produtos é de
50 cm/s, devemos aceitar ou rejeitar a a…rmação do fabricante?
11
Exercício 2 A tensão de ruptura dos cabos produzidos por um fabricante apresenta
média de 1800 kg e o desvio-padrão de 100 kg. Mediante nova técnica no processo de
fabricação, proclamou-se que a tensão de ruptura pode ter aumentado. Para testar
essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, tendo-se obtido a tensão média
de 1850 kg. Pode-se con…rmar a declaração ao nível de signi…cância de 1%?
Exercício 3 Um artigo no periódico Materials Engineering (1989, Vol.II, No. 4,
pp. 275-281) descreve os resultados de testes de tensão quanto à adesão em 22
corpos de prova de liga U-700. A carga no ponto de falha do corpo de prova é dada
a seguir (em MPa):
19; 8 18; 5 17; 6 16; 7 15; 8
15; 4 14; 1 13; 6 11; 9 11; 4
11; 4 8; 8 7; 5 15; 4 15; 4
19; 5 14; 9 12; 7 11; 9 11; 4
10; 1 7; 9
(a) Qual o intervalo de con…ança para a média, ao nível de signi…cância de 5%?
(b) Há evidências de que a carga média na falha excede 10 MPa?
Exercício 4 Um fabricante de semicondutores produz controladores usados em apli-
cações no motor de automóveis. O consumidor requer que a fração defeituosa em
uma etapa crítica de fabricação não exceda 0; 05 e que o fabricante demonstre uma
capacidade de processo nesse nível de qualidade. O fabricante de semicondutores
retira uma amostra de 200 aparelhos e encontra 4 defeituosos.
(a) Qual o intervalo de con…ança para a proporção de defeituosos, ao nível de
signi…cância de 5%?
(b) O fabricante pode demonstrar uma capacidade de processo para o consumidor?
Exercício 5 Um fabricante de uma droga medicinal reivindicou que ela era 90%
e…caz em curar alergia, em um período de 8 horas. Para testar essa informação,
submetemos 200 pessoas com alergia à droga e 160 pessoas se curaram após o uso
da mesma. Determinar se a pretensão do fabricante é legítima a um nível de sig-
ni…cância de 1%.
Exercício 6 Uma amostra de 10 pacotes de café solúvel de um dado fabricante foi
retirada, obtendo-se os dados: 46; 4; 46; 1; 45; 8; 47; 0; 46; 1; 45; 9; 45; 8; 46; 9; 45; 2 e
46; 0. Determine um intervalo de con…ança de 95% para a variância de tais pacotes
de café solúvel, assumindo uma população normal.
Exercício 7 (Fórum de Discussões) Suponha uma piscina contendo N bolinhas
de plástico nas cores branca e azul em quantidades desconhecidas. Proponha um
roteiro para a estimação do número de bolinhas brancas na piscina a partir dos pro-
cedimentos estatísticos estudados nesta aula, por meio de uma amostra de tamanho
n (n < N).
Como você proporia uma atividade em sala de aula para esta estimação, a partir
de várias amostras retiradas de mesmo tamanho n, valendo-se apenas dos valores
obtidos em cada amostra e não da tabela da Normal?
12