Lista 3

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1 Lista - Semana 3
Teorema para Func¸o˜es Cont´ınuas, 1o Limite Fundamental e Limites Infinitos
1. Seja f(x) = x5 + x+ 1. Mostre que f admite pelo menos uma raiz no intervalo [−1, 0].
2. Aplique o Teorema do Valor Intermedia´rio para provar que a equac¸a˜o x3 − 4x + 1 = 0 tem treˆs ra´ızes
reais distintas.
3. Mostre que a equac¸a˜o
x3 − 1
1 + x4
= 0
admite pelo menos uma raiz real.
4. Seja f : [−1, 1]→ R definida por
f(x) =
x2 + x
1 + x2
.
Prove que o valor ma´ximo de f e´ f(1).(a)
Mostre que existe um ponto de mı´nimo global x1 ∈ (−1, 0) de f .(b)
5. Encontre as ass´ıntotas verticais da func¸a˜o f(x) =
x2 + 1
3x− 2x2 .
6. Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim
x→0
sen(3x)
x
(a) lim
x→0
tg x
2x
(b)
lim
x→0
2x
sen(3x)
(c) lim
x→0
tg(2x)
sen(3x)
(d)
lim
x→0
1− cosx
x2
(e) lim
x→0
x2 cos
(
1
x
)
(f)
lim
x→1
1− x2
sen(pix)
(g) lim
x→pi
1− sen (x/2)
pi − x(h)
lim
x→0
x− senx
x+ senx
(i) lim
x→pi
4
senx− cosx
1− tg x(j)
lim
x→0
x5 + 2x3
tg x− senx(k) limx→0
√
1 + sen x−√1− senx
x
(l)
7. Considere a func¸a˜o:
f(x) =

sen(x− 1)
x− 1 , se x < 1
α , se x = 1
β(x2 − 1)
x− 1 , se 1 < x < 2
γ(x2 + 1)
2x
, se x > 2.
1
Encontre valores reais para α, β e γ tais que a func¸a˜o f seja cont´ınua nos pontos x0 = 1 e x0 = 2.
8. Calcule:
lim
x→0+
sen2 x
x4 − x3(a) limx→5−
e−x
(x− 5)3(b)
lim
x→3+
ln(x2 − 9)(c) lim
x→0+
arctan(lnx)(d)
lim
x→3+
x2 − 9
x2 − 6x+ 9(e) limx→0−
1
x
(f)
lim
x→0
1
|x|(g) limx→1
2− x
(x− 1)2(h)
lim
x→2
x2 − x+ 6
x− 2(i)
9. Escreva as quatro definic¸o˜es intuitivas de limites infinitos para limites laterais.
10. Calcule o limite abaixo, caso exista:
lim
x→0
sen
(
x2 + 1
x
)− sen ( 1
x
)
x
.
2