P3 - Álgebra Linear

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Terceira Prova de A´lgebra Linear
Aluno/ Matr´ıcula:
25 de julho de 2014
1a Questa˜o: (2,0 ptos) Verifique se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas (V ou F). Prove as verda-
deiras e justifique as falsas com um contra-exemplo.
(a) ( ) Seja T : Rm → Rn uma transformac¸a˜o linear. Se v e u sa˜o vetores de Rm tais que
T (v) = 0 e T (u) = w, com w ∈ Rn, enta˜o T (3v + u) = w.
(b) ( ) Seja T : V → W uma transformac¸a˜o linear. Se v ∈ V e´ combinac¸a˜o linear de v1 e v2,
com v1, v2 ∈ V , enta˜o T (v) sera´ combinac¸a˜o linear de T (v1) e T (v2).
2a Questa˜o: (1,5 ptos) Sejam a1, . . . , an ∈ R na˜o todos nulos e considere a transformac¸a˜o linear T : Rn → R
definida por T ((x1, . . . , xn)) = a1x1 + . . .+ anxn. Mostre que o nu´cleo de T dado por ker(T ) =
{(x1, . . . , xn) ∈ Rn : a1x1 + . . . + anxn = 0} tem dimensa˜o n − 1. Dica: USE a seguinte
informac¸a˜o : T e´ sobrejetora.
3a Questa˜o: (3,5 ptos)
(a) Seja T : R3 → R3 um operador linear tal que T (x, y, z) = (x + 2y, y, x + z). Encontre a
matriz de T com relac¸a˜o a` base β = {(1, 0,−1), (0, 3, 2), (0, 0, 1)}.
(b) Mostre que T e´ um isomorfismo e encontre [T−1]ββ.
(c) Determine o operador inverso T−1.
4a Questa˜o: (3,0 ptos) Considre o operador linear T : R3 → R3 cuja definic¸a˜o e´ T (x, y, z) = (2x − y −
z, x − z,−x + y + 2z). Fixada a base canoˆnica de R3, responda: T e´ diagonaliza´vel? Justique
cuidadosamente exibindo os ca´culos.
5a Questa˜o: (0,5 ptos) Sejam T : V →W e F : W → U operadores lineares e suponha que possamos realizar
T ◦ F . Mostre que
(T ◦ F ) = 0 se, e somente se Im(F ) ⊂ ker(T ).