Álgebra Linear Prova

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CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA - DISTÂNCIA
AVALIAÇÃO » NOVO
Atenção. Este gabarito é para uso exclusivo do aluno e não deve
ser publicado ou compartilhado em redes sociais ou grupo de
mensagens.
O seu compartilhamento infringe as políticas do Centro
Universitário UNINTER e poderá implicar sanções disciplinares,
com possibilidade de desligamento do quadro de alunos do
Centro Universitário, bem como responder ações judiciais no
âmbito cível e criminal.
$
PROTOCOLO: 2019120315880692FBCCAF %
CARINA PEREIRA MACEDO - RU: 1588069 Nota: 30
Disciplina(s):
Álgebra Linear
Data de início: 03/12/2019 15:48
Prazo máximo entrega: 03/12/2019 17:18
Data de entrega: 03/12/2019 16:42
FÓRMULAS
Questão 1/12 - Álgebra Linear
Considere o vetor 
 do 
 e o conjunto de vetores 
 
também do 
. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos 
do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas 
a seguir, assinale com V as sentenças verdadeiras e 
com F as falsas.
( ) é uma combinação linear dos vetores do conjunto 
.
( ) é uma base do .
( ) Os vetores são linearmente 
independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência 
correta:
Nota: 0.0
Questão 2/12 - Álgebra Linear
Observe a transformação linear 
, onde 
, sendo u= (1, 3) e v =(-2, -1).
De acordo com a transformação linear dada acima e 
os conteúdos do livro-base Álgebra 
Linear, determine 
Nota: 10.0
Questão 3/12 - Álgebra Linear
Fundamentando-se nos conteúdos do livro-
base Álgebra Linear, considere que:
I. Uma figura plana é rodada (rotação) no sentido 
trigonométrico de um ângulo 
, usando o operador linear 
, com matriz canônica 
.
II. Em uma figura plana é aplicado o cisalhamento na 
direção do eixo dos x, usando o operador linear 
, com matriz canônica
.
A transformação do vetor (2,2), para T e L, são 
respectivamente:
Nota: 0.0
Questão 4/12 - Álgebra Linear
Analise as seguintes matrizes abaixo: 
, , 
,
, e 
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do 
livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e 
assinale V para as sentenças verdadeiras e F para as 
sentenças falsas.
( ) A matriz A é uma matriz identidade.
( ) A matriz F é uma matriz linha.
( ) A matriz C é um exemplo de matriz diagonal.
( ) A matriz B é uma matriz de ordem 3x1.
( ) A matriz D é uma matriz nula de ordem 2x3.
( ) A matriz E é um exemplo de matriz triangular 
superior.
( ) A matriz F é conhecida como matriz coluna.
 
Agora, assinale a alternativa com a sequência 
correta:
Nota: 0.0
Questão 5/12 - Álgebra Linear
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra 
linear, sobre sistemas de equações lineares, as 
matrizes 
 e 
 são definidas por 
. O 
produto AB é a matriz:
Nota: 0.0
Questão 6/12 - Álgebra Linear
Considere a matriz definida por 
 
De acordo com o que está colocado acima e os 
conteúdos da vídeo aula 1 da rota de 
aprendizagem, calcule a inversa da matriz A e 
indique a opção que corresponde a esta inversa:
Nota: 10.0
Questão 7/12 - Álgebra Linear
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra 
Linear, seja a matriz 
. São autovetores de A, os vetores:
Nota: 0.0
Questão 8/12 - Álgebra Linear
Analise as matrizes 
 e 
.
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do 
livro-base Álgebra Linear, determine a matriz 
, tal que 
Nota: 0.0
Questão 9/12 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra 
linear, sobre operações com matrizes, e as 
seguintes matrizes 
.
Os valores de 
 que satisfazem a equação matricial 
 são respectivamente:
Nota: 10.0
Questão 10/12 - Álgebra Linear
Fundamentando-se nos conteúdos do livro-
base Álgebra Linear, considere o operador linear 
, definido por:
Assinale a afirmativa verdadeira:
Nota: 0.0
Questão 11/12 - Álgebra Linear
(questão opcional)
Leia as informações a seguir:
Uma matriz quadrada possui inversa se o seu 
determinante for diferente de zero. Ao multiplicar a 
matriz dada, com sua inversa, o resultado deve ser a 
matriz identidade de mesma ordem. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos 
do livro-base Álgebra Linear, analise a matriz 
 e assinale a alternativa que indica sua 
inversa:
Nota: 0.0
Questão 12/12 - Álgebra Linear
(questão opcional)
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra 
linear, sobre transformações lineares e sejam as 
transformações lineares 
 do 
, definido por:
Assinale a alternativa que representa a 
transformação da composta 
Nota: 0.0
v = (3, 2, 1)
R3
! = {v1 = (1, 2, 3), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1, 0, 0)}
R3
v
!
! R3
v1, v2 e v3
A V-V-F
B V-V-V
C F-V-V
D V-F-F
E F-F-F
Comentário: A sequência
correta é V-V-V. 
Se é combinação linear dos
vetores de , então existe a, b e
c, tal que 
Como o determinante dos
vetores de é diferente de zero,
logo existe a, b e c e é uma
combinação linear dos vetores
do conjunto .
Alternativa I é verdadeira porque
o determinante dos vetores é
diferente de zero.
Alternativa II é verdadeira porque 
 é uma combinação linear dos
vetores.
Alternativa III é
verdadeira porque o
determinante é diferente de
zero, 
(Livro-base p. 89-103).
&
v
!
v = av1 + bv2 + cv3
!
v
!
v
v = av1 + bv2 + cv3
T : R2 ! R3
T (x, y) = (x, y, x " y)
T (u) e T (v).
A
B
C
D T(u) = (1,3,-2) \ e \ T(v) = (-2, -1, 1)
E
T (u) = (1, 3, "2) e T (v) = ("2, "1, "
Você acertou!
(Livro-base p. 119-122)
&
T (1, 3) = (1, 3, 1 " 3) = (1, 3, "2)
T ("2, "1) = ("2, "1, "2 + 1) =
T (u) = (1, "3, "2) e T (v) = ("2, 1, "
T (u) = (1, 3, 2) e T (v) = ("2, "1, 1)
T (u) = (1, 3, "2) e T (v) = ("2, "1, "
" = #6
T : R2 ! R2
[ cos" "sen"
sen" cos"
]
L : R2 ! R2
[ 1 "3
0 1
]
A
B
C
D
E
(3#3 " 4, 1 + #2) e ("3, 2)
(#3 " 2, 1 + #2) e ("3, 2)
(2#3 " 1, 1 + #2) e ("2, " 2)
(#3 " 1, 1 + #3) e ("4, 2)
Para 
.
Para L
(Livro-base p. 282-293).
&
T (x, y) = [ cos" "sen"
sen" cos"
]. [ x
y
] =
(x, y) = [ 1 "3
0 1
]. [ x
y
] = [ 1 "
0 1
(#3 " 1, 1 + #2) e ("2, 2)
A = [ 0 1
1 0
] B = [ 5 "2 5 ]
C =
!"#
5 0 0
0 3 0
0 0 "1
$%&
D = [ 0 0 0
0 0 0
] E = !"#
7 8 5
0 0 3
0 0 1
$%& F = [
8
2
]
A F-F-V-F-V-V-V
B V-F-V-F-V-V-V
C V-V-F-F-F-V-V
D V-V-F-F-F-V-F
E V-F-F-F-V-V-V
A matriz A não é identidade, pois
a diagonal principal teria que ser
igual a 1.
F é coluna. C está correta. A
matriz B tem ordem 1x3. D está
correta.
E está correta. F está correta. 
(Livro-base p. 15-26).
&
A = (aij) $ M2%3
B = (bij) $ M3%3
aij = 2i + 3j " 2 e bij = { 2i + j, se i = j2j " i, se i & j
A
B
C
D
E
[ 0 54 120
4 74 156
]
Construção das matrizes A e B.
 e B
. O produto AB=
=
. 
(Livro-base p. 40-52)
&
A = [ a11 a12 a13
a21 a22 a23
] = [ 3 6
5 8
=
!"#
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a22 a33
$%& =
!"#
3 3
0 6
"1 1
[ 3 6 9
5 8 11
]
!"#
3 3 5
0 6 4
"1 1 9
$%&
[ 3 6 9
5 8 11
]
!"#
72 94
72 92
84 102
$%&
[ 72 94 120
72 92 156
]
[ 0 54 84
4 72 156
]
!"#
72 94
72 92
84 102
$%&
A = [aij]2%2
aij = { i2 + j, se i = ji + j, se i & j .
A
B
C
D
E
A"1 = [ 2 "1
"1 2/3
] .
Você acertou!
Com a definição dos elementos da
matriz 
 temos 
 Como 
 obtemos 
(livro-base p. 51-54) (Vídeo aula 1)
&
A,
A = [ 2 3
3 6
] .
A"1 = Adj A,
1
det A
A"1 = [ 6 "3
"3 2
] = [ 2 "1
"1 2/3
1
3
A"1 = [ 2 1
"1 2/3
] .
A"1 = [ 2 1
1 2/3
] .
A"1 = [ 1 2
2/3 1
] .
A"1 = [ "1 2
2/3 "1
] .
A = [ 0 "1
2 3
]
A
B
C
D
E
("1, 2) e ("1, 1)
Determinamos o polinômio característico 
Autovetores
,
(Livro-base p. 311-320).
&
det(A " $I) =
'
'
'
"$ "1
2 3 " $
'
'
'
= "3
$1 = 1 ( Av = $v
Av " $v = [ "x " y
2x + 2y
] = [ 0
0
] (
$1 = 1 ( Av = $v
Av " $v = [ "2x " y
2x + y
] = [ 0
0
] (
("1, " 2) e (1, 1)
(2, 2) e (1, " 1)
(2, " 1) e (1, " 1)
(3, " 1) e ("1, " 1)
A = [ 2 0
0 2
]
B = [ 3 0
0 3
]
X
X = A. Bt + B.
A
B
C
D
E
X = [ 12 0
0 12
]
X = [ 18 0
0 18
]
X = [ 9 0
0 9
]
 
.
+ 
=
=
 +
 =
(Livro-base p. 26-38)
& X = A. Bt + B =
[ 2 0
0 2
]
[ 3 0
0 3
]
[ 3 0
0 3
]
[ 6 0
0 6
]
[ 3 0
0 3
]
[ 9 0
0 9
]
X = [ 8 4
4 8
]
X = [ 10 11 10
]
A = ( x y
z "w
) , B = ( 3 x " y
z + w 6 + y
) e C = ( x
2
x, y, z e w
2A " B = C
A 2,- 3, 4 e 7.
B 2, -1, -2 e 2.
C 7,4, 2 e -2.
D 5, 2, 3 e -3.
E 7, 4, -4 e 4.
Você acertou!
Temos os seguintes sistemas de equações:
(Livro-base p. 8-10)
&
2 ( x y
z "w
) " ( 3 x " y
z + w 6 + y
)
( 2x " 3 2y " x + y
2z + z + w "2w " 6 " y
) = (
{ x " y = 3
"x + 3y = 5
{ "2z + w = 2z
"4w + z = "10
x = 7, y = 4, z = 2 e w = "2.
T : R2 ! R2
(u1, u2) ! T (u) = (2u1 + u2, 2u1 + 3u2).
A Os autovalores da matriz canônica de são
B A matriz canônica de é ortogonal.
C A matriz canônica de não é diagonalizável. 
D Uma base para é {(1,2),(1,-1)}.
E Os autovetores da matriz canônica de são
T
T
T
R2
Determinamos os autovalores e autovetores de A.
Determinamos o polinômio característico 
Autovetores
,
item a) falso.
Item b) falso, porque para A ser ortogonal, deve satisfazer a igualdade 
.
Item c) falso, como A tem autovalores distintos é diagonalizável.
Item d) verdadeiro, os autovetores de a formam uma base para o 
Item e) falso.
(Livro-base p. 162-165).
&
det(A " $I) =
'
'
'
2 " $ 1
2 3 " $
'
'
'
=
$1 = 1 ( Av = $v
Av " $v = [ x + y
2x + 2y
] = [ 0
0
] (
$1 = 4 ( Av = $v
Av " $v = [ "2x + y
2x " y
] = [ 0
0
] (
A"1 = At
R2.
T
A = [ 1 0
2 1
]
A
B
C
D
E
A"1 = [ 1 0
"2 1
]
A inversa de A é a matriz 
, tal que:
. assim, temos:
.
 = 
 = 
assim, 
(Livro-base p. 52-56).
&
A"1
A. A"1 = I
[ 1 0
2 1
]
[ a b
c d
]
[ 1 0
0 1
]
[ a b
2a + c 2b + d
]
[ 1 0
0 1
]
A"1 = [ 1 0
"2 1
]
A"1 = [ 1 0
2 1
]
A"1 = [ "1 0
"2 "1
]
A"1 =
!
#
1 0
"2
$
&1
2
A"1 =
!
#
0 1
"2
$
&1
2
T
R3 no R3
T1(u) = T (u1, u2, u3) = (u1, 2u2, u1 " u2)
T2(u) = T (u1, u2, u3) = (u1 " u3, u2, u3)
T1 ) T2.
A
B
C
D
E
T1)T2 = (u1 " u3, 2u2, u1 " u2 " u3)
Em 
, substituímos o 
 por 
, 
 e 
Temos que 
(Livro-base p. 138-139).
&
T2(u) = T (u1, u2, u3) = (u1 " u3,
u1 de T1
u1 " u3
u2 por u2
u3 por u3.
T1 ) T2 = (u1 " u3, 2u2, u1 " u2 "
T1oT2 = ("u3, u1 " u3, u2 " u3)
T1oT2 = (u2 " u3, u1 " 2u3, u1 + u2
T1oT2 = (u1 " u2, u1 " u3, u1 " u3)
T1oT2 = (u1 " u3, 2u1 " u3, 2u1 " u
16/03/2021 09:28
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