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Lista 4. A´lgebra Linear
Professor: Mauricio
1. Considere o espac¸o vetorial R2.
a) Mostre que as retas que passam pela or´ıgem de coordenadas:
L =
{
(x, y) ∈ R2, tais que ax + by = 0}
sa˜o subespac¸os vetoriais de R2.
b) Mostre que a reta
L =
{
(x, y) ∈ R2, tais que x + 2y = 1}
na˜o e´ um subespac¸o vetorial de R2.
2. Considere o espac¸o vetorial R3.
a) Mostre que as retas e planos que passam pela or´ıgem de coordena-
das:
R =
{
(x, y, z) ∈ R3, tais que ax + by + cz = 0
a1x + b1y + c1z = 0
}
P =
{
(x, y, z) ∈ R2, tais que ax + by + cz = 0}
sa˜o subespac¸os vetoriais de R3.
3. Dada uma matriz A de m×n. Mostre que o conjunto das soluc¸o˜es do
sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneo Ax = 0 e´ um subespac¸o de
Rn.
4. a) Mostrar que o conjunto das func¸o˜es V = {f : R 7→ R} com as
operac¸o˜es
(f + g)(x) = f(x) + g(x) (soma de func¸o˜es),
(kf)(x) = kf(x), k ∈ R (produto de uma func¸a˜o por um escalar).
e´ um espac¸o vetorial real.
b) Mostrar que o conjunto S = {f : R 7→ R, tais que f(−x) = −f(x),∀x ∈ R}
e´ um subespac¸o vetorial de V
5. Mostrar que o conjunto S = { (x, |x|), x ∈ R} na˜o e´ um subespac¸o
vetorial de R2.
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6. Verificar se o conjunto dado e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o˜es in-
dicadas. Para aqueles que na˜o sejam espac¸os vetorias citar os axiomas
que na˜o se verificam.
a) R3, com as seguintes operac¸o˜es: (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x+x′, y+
y′, z + z′), k(x, y, z) = (0, 0, 0),
b) {(x, 2x, 3x), x ∈ R} com as operac¸o˜es usuais de soma de vetores de
R3 e produto de um vetor por um escalar real,
c) R2 , com as seguintes operac¸o˜es: (a, b) + (c, d) = (a, b), k(a, b) =
(ka, kb),
d) R2, com as seguintes operac¸o˜es: (x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′),
k(x, y) = (k2x, k2y).
7. Verificar se os conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais de M [2, 2] (o
espac¸o vetorial das matrizes reais de 2× 2).
a) S1 =
{[
a 0
b c
]
, a, b ∈ R
}
(Conjunto das matrizes triangulares
inferiores),
b) S2 =
{[
a a + b
a− b c
]
, a, b ∈ R
}
,
c) S3 =
{[
a b
c d
]
: ad− bc 6= 0 a, b ∈ R
}
(Dica: Este conjunto e´ o
conjunto das matrizes na˜o singulares, isto e´, as matrizes que ad-
mitem inversa).
Usando o fato de que os conjuntos S1 e S2 sa˜o subespac¸os vetorias
e as operac¸o˜es com subespac¸os vetorias estudadas na sala de aula
(especificamente a intersec¸a˜o de subespac¸os) prove que o conjunto
S4 =
{[
a 0
−2a b
]
: a, b ∈ R
}
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