Mecânica UFRGS - 2 area

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2 area/ENG01156_1.12.pdf
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Escola de Engenharia
Departamento de Engenharia Civil
Mecânica
Lucas A. Reginato
lucas.reginato@ufrgs.br
Questão 35
Determine o momento produzido pela força F em relação à diagonal AF 
do bloco retangular. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.
MAF=MAF uAF =14N.m (2/3 i +2/3 j -1/3 k) 
Questão 43
Substitua o sistema de forças e momentos de binário que agem sobre a 
viga por uma força e momento de binário resultante no ponto A.
FR=50,2 kN, q = 84,3° e (MR)A=239 N.m (horário)
questão 44
Substitua o sistema de forças e momentos de binário que agem sobre a 
viga por uma força resultante equivalente e especifique sua posição ao 
longo de AB medida a partir do ponto A.Resposta.
FR=50,2 kN, 84,3° e d=4,79 m
Questão 62
Determine a força nos membros CD, CF e FG da treliça Warren. Indique 
se os membros estão sob tração ou compressão.
Resposta. FFG=8,08kN (T), FCD=8,47kN (C), FCF=0,77kN (T)
2 area/ENG01156_Aula13.pdf
 21 
Aula 12 
 
7 CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE 
7.1 CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRO DE MASSA 
7.2 CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE 
________________________________________ 
 
 
7 CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE 
 
7.1 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO E 
 CENTRO DE MASSA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 
 A viga da esquerda, abaixo, encontra-se em equilíbrio estático e submetida à ação da 
força peso devido a cada uma das esferas posicionadas sobre o seu vão. A viga da esquerda 
representa uma situação estaticamente equivalente onde apenas uma única esfera é considerada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como P = P1 + P2 + P3, a posição de P pode ser determinada segundo o teorema de Varignon: 
 
 
 
 
 
ou, para n partículas: 
 
 
 
 
 
 Para o caso mais geral, portanto, o baricentro G tem coordenadas que podem ser dadas 
pelas seguintes expressões: 
 
 
 
 
 
 Porém, o centro de gravidade, G, depende da existência de um campo gravitacional para a 
sua definição. Já o centro de massa não: 
 
 
 
 
 
�
=
=
3
1i
iR OO
MM
332211 PxPxPxPxG ++=
321
332211
PPP
PxPxPx
xG ++
++
=
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
G
P
Px
x
1
1
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
G
P
Px
x
1
1
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
G
P
Py
y
1
1
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
G
P
Pz
z
1
1
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
m
m
mx
x
1
1
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
m
m
my
y
1
1
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
m
m
mz
z
1
1
P1 
P2 
P3 
x1 
x2 
x3 
x 
y 
O 
P 
xG 
x 
y 
O 
G: Baricentro 
= 
 22 
Estas coordenadas surgem quando é feito Pi = mi g, nas expressões anteriores. 
 
 
7.2 CENTRO DE GRAVIDADE E CENTRÓIDE DE UM CORPO 
 Seja o arame abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Admitindo-se que, na expressão 
 
 
 
 
 
os ∆xi tendam a zero, fica-se com 
 
 
 
 
 
 
Se o arame estiver no espaço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A linha de ação de P passará sempre por G, que não faz parte, necessariamente, do arame. 
Se peso específico, γ, é dado por 
 
 
 
onde V é o volume, temos que 
 
 
 
 
 
 
�
�
=
=
∆
∆
=
n
i
i
n
i
ii
G
P
Px
x
1
1
x 
y 
O 
L 
xi 
∆Pi 
x 
y 
O 
xG 
P 
G 
= 
∆xi 
�
�
�
�
=
�
�
�
�
�
� ∆
�
�
�
�
�
� ∆
=
=
→∆
=
→∆
P
P
n
i
ix
n
i
iix
G dP
xdP
Plim
Pxlim
x
i
i
1
0
1
0
�
�
=
P
P
G dP
xdP
x
�
�
=
P
P
G dP
ydP
y
�
�
=
P
P
G dP
zdP
z
dV
dP
=γ
�
�
�
�
==
V
V
V
V
C dV
xdV
dV
xdV
x
γ
G 
x 
y 
z 
xG 
zG P 
�
�
=
V
V
C dV
ydV
y
�
�
=
V
V
C dV
zdV
z
 23 
 Ainda, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ou seja, o centróide é o centro geométrico do corpo, dependendo inteiramente de suas 
propriedades geométricas. 
 
 
OBSERVAÇÕES 
 
a) Nos casos em que a figura tenha um eixo de simetria, o centróide estará localizado sobre este 
eixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Para corpos homogêneos (peso específico constante) e aceleração da gravidade constante, o 
Centro de Gravidade, o Centro de Massa e o Centróide são coincidentes. 
 
c) A integral 
 
é conhecida como momento estático da área A em relação ao eixo y. Analogamente, 
é o momento estático da área A em relação ao eixo x. 
 
d) Quando o centróide de uma área está situado sobre um eixo coordenado, o momento estático 
da área em relação a este eixo é nulo. 
 
�
�
=
A
A
C dA
xdA
x
�
�
=
A
A
C dA
ydA
y
�
�
=
A
A
C dA
zdA
z
�
�
=
L
L
C dL
xdL
x
�
�
=
L
L
C dL
ydL
y
�
�
=
L
L
C dL
zdL
z
�
A
xdA
�
A
ydA
2 area/ENG01156_Aula14.pdf
 24 
Aula 13 
 
8 CORPOS COMPOSTOS 
9 TEOREMAS DE PAPPUS E GULDINUS 
_________________________________________ 
 
 
8 CORPOS COMPOSTOS 
 Muitas vezes é possível dividir um corpo em várias partes, com formas mais simples, 
cuja posição do centro de gravidade seja conhecida. Este procedimento dispensa (quase sempre) 
o uso da integração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 TEOREMAS DE PAPPUS E GULDINUS 
 Estes teoremas são utilizados para a determinação de áreas ou volumes de sólidos de 
revolução. 
 
 Superfícies de Revolução: são gerados pela rotação de uma curva em torno de um eixo 
fixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Corpos de Revolução: gerados pela rotação de uma área em torno de um eixo fixo. 
 
 
 
 
 
 
z 
y 
x 
ΣP yG 
xG 
= 
z 
y 
x 
P1 P4 P3 
P2 
G1 
G2 
G3 
G4 
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
G
A
Ax
x
1
1
�
�
=
=
=
n
i
i
n
i
ii
G
A
Ay
y
1
1
 25 
TEOREMA I: A área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratriz 
multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da curva, durante a geração da superfície. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como 
 
 
surge que A = 2pi yG L e 2piyG é a distância percorrida pelo centróide da linha L. 
 
 
TEOREMA II: O volume de um corpo de revolução é igual à área geratriz multiplicada pela
distância percorrida pelo centróide da área, durante a geração do corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como 
 
 
surge que V = 2pi yG A e 2piyG é a distância percorrida pelo centróide de A. 
 
 Os teoremas de Pappus-Guldinus oferecem um modo simples de calcular a área de 
superfícies de revolução e o volume de corpos de revolução. Também podem ser utilizados, 
inversamente, para determinar o centróide de uma curva plana quando a área da superfície 
gerada pela curva é conhecida, ou para determinar o centróide de uma área plana quando o 
volume do corpo gerado pela área é conhecido. 
 
 
y 
dL 
x 
dA 
yG 
x 
L 
2piyG 
C 
ydLdA pi2=
ydLdA pi2=
� =L G LyydL
y 
dA 
x 
dV 
yG 
x 
A 
2piyG 
C ydAdV pi2=
�= A ydAV pi2
� =A G AyydA
2 area/ENG01156_Aula15.pdf
 26 
Aula 14 
 
10 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA 
11 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA 
12 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS 
_______________________________________ 
 
 
10 MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um corpo de massa m: 
 
 
No limite, 
 
 
 
 
 
 
11 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA 
 
11.1 MOMENTO DE INÉRCIA DE CHAPAS DELGADAS E HOMOGÊNEAS 
 
Para uma chapa de espessura t e massa específica ρ, constantes: 
 
dm = ρ dV = ρ t dA 
Então, 
 
 
 
A integral na expressão acima é conhecida como Momento de Inércia de uma Área ou 
Momento de Segunda Ordem. 
 
 
11.2 MOMENTOS DE INÉRCIA RETANGULAR E POLAR 
 
 
 
 
 
 
A’ 
A 
m 
r 
O tempo necessário para que uma massa m venha a girar, ao 
ser submetida a um conjugado, em torno de um eixo A-A’, 
será proporcional à massa m e ao quadrado da distância r. 
Logo, a medida de inércia do sistema, r2m, é denominada de 
Momento de Inércia da massa m em relação ao eixo A-A’: 
mrI
'AA
2
=
A 
A’ 
r2 
r3 
r1 
m 
∆m2 
∆m3 ∆m1 
�+∆+∆+∆ 321 mrmrmr :Inércia
2
3
2
2
2
1
�= dmrI AA'
2
Momento de Inércia do 
Corpo em Relação a AA’ 
área
'AAA
massa
AA' tIdArtI ρρ == �
2
y 
x 
y 
x 
x 
A 
dA 
Os momentos de inércia do elemento dA em 
relação aos eixos x e y são: 
 
 dIx = y2 dA 
 dIy = x2 dA 
 27 
 
Portanto, os momentos de inércia de A em relação aos mesmos eixos são: 
 
 
 
 
que são os momentos retangulares de inércia. 
 O momento de inércia de dA em torno do pólo O (eixo z) é, portanto, dIz = r2dA. O 
momento de inércia de toda a área em torno de O: 
 
 
que é o momento polar de inércia. 
 Como r2 = x2 + y2, 
 
 
Ainda, Jo, Jx e Iy são sempre positivos e têm como unidade a dimensão do comprimento com 
expoente 4, ou seja: m4, mm4, etc. 
 
 
11.3 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS OU TEOREMA DE STEINER 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A segunda parcela da última expressão deve ser nula porque o momento estático em 
relação a um eixo baricêntrico é sempre zero. 
 Ou seja, 
 
 
11.4 RAIO DE GIRAÇÃO 
Os raios de giração kx, ky e kz são definidos através das expressões: 
 
 
 
ou seja, 
 
 
Ainda 
 
 
12 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS 
É calculado fazendo-se o somatório de momentos de inércia de áreas de formas mais 
simples. 
�= Ax dAyI
2 �= Ay dAxI
2
�= Az dAzJ
2
yxz IIJ +=
y’ 
x’ 
x 
y 
r 
y’ 
yG 
xG x’ 
dA 
C 
A 
( ) dAy'ydI Gx 2+=
( )� += A Gx dAy'yI 2
( )� ++= A gG dAyy'y'y 22 2
��� ++= AGAGAx dAydA'yydA'yI
22 2
Ix’ 0 A 
AyII G'xx
2+= AxII G'yy
2+= ArJJ
'zz
2+=
A
Ik xx = A
I
k yy = A
Jk zz =
AkI xx
2
= AkI yy
2
= AkJ zz
2
=
2
y
2
x
2
z kkk +=