Eletromagnetismo P2 2015 1 semestre Poli

Prévia do material em texto

PTC 2313 – ELETROMAGNETISMO - 2015 Q.1 (2,5):
2a. PROVA – 14/05/2015 Q.2 (3,5):
NOME:__________________________________________________________ Q.3 (4,0):
NUSP:__________________ASSINATURA:____________________________ TOTAL:
Questão 1 (3,5 pontos): Considere o problema de se determinar as condutâncias parciais entre os 
eletrodos (condutores perfeitos) representados na figura abaixo. O meio entre eles tem =0, 
condutividade  = 2  10-3 S/m, e espessura (dimensão normal à superfície da página) de 1 m. As 
linhas pontilhadas indicam o reticulado utilizado na solução pelo método das diferenças finitas.
Para V1 = 100 V e V2 = V3 = 0, a matriz obtida para os potenciais está mostrada a seguir.
 
0,  
1 
3 
2 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 8 15 19 21 21 19 15 10 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0
0 18 33 41 44 43 39 31 21 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 30 57 67 X 69 64 48 32 16 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 45 100 100 100 100 100 65 42 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 48 100 100 100 100 100 72 48 29 13 5 0 0 0 0 0 0 0
0 49 100 100 100 100 100 73 51 32 18 8 0 0 0 0 0 0 0
0 49 100 100 100 100 100 72 49 31 19 10 4 2 1 1 0 0 0
0 45 100 100 100 100 100 64 41 26 16 9 5 3 2 1 1 0 0
0 31 60 70 72 70 63 44 25 15 9 6 4 3 2 1 1 0 0
0 21 38 47 49 46 38 23 0 0 0 2 2 2 1 1 1 0 0
0 13 24 30 31 27 19 10 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
0 8 15 19 19 13 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 5 10 12 11 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 3 6 7 6 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 2 3 4 4 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(a) (0,5) Determine o valor de X, explicitando a expressão utilizada nesse cálculo.
X = (69+44+67+100)/4 = 100 V.
X = __________ V.
1/9
(b) (0,5) A figura a seguir mostra, em destaque, uma pequena área do reticulado, indicando os 
valores dos potenciais nos respectivos nós. Com base nesses valores, determine o valor da corrente 
elétrica que atravessa, de baixo para cima, a superfície S mostrada.
 
18 33 41 
30 57 67 
S 
1 cm 
1 cm 
Ey1 = [(30+57-18-33)/2]/0,01 = 1800 A/m2; Ey2 = [(57+67-33-41)/2]/0,01 = 2500 A/m2;
Is = σaL(Ey1+Ey2) = 0,002 * 0,01 * 1 * (1800+2500) = 0,086 A.
I (S) = _____________ A
(c) (0,5) A tabela a seguir mostra os valores obtidos para a corrente total saindo de cada um dos 
corpos condutores para os valores indicados de tensões a eles aplicados. Utilize esses valores para 
determinar a matriz de condutâncias do sistema, com unidades.
I1 (A) I2 (A) I3 (A)
V1 = 100 V, V2 = V3 = 0 1,4657 -0,1728 -0,2763
V2 = 100 V, V1 = V3 = 0 1,3688 -0,1640
V3 = 100 V, V1 = V2 = 0 1,4553
[I 1I 2I 3]=[
14,657 −1,728 −2,763
−1,728 13,688 −1,640
−2,763 −1,640 14,553 ][V 1V 2V 3](mS/m)
2/9
(d) (0,5) Notando que o meio entre os condutores é homogêneo, determine a matriz de 
capacitâncias do sistema, com unidades. (0 = 8,854 10-12 F/m)
[Q1Q 2Q 3]=[
64,887 −7,650 −12,232
−7,650 60,597 −7,260
−12,232 −7,260 64,426 ][V 1V 2V 3](pF/m)
(c) (0,5) No modelo de condutâncias/capacitâncias parciais mostrado abaixo, corespondente à 
geometria anterior, determine os valores de G10, C10, G12 e C12.
C10= 45,005 pF G10= 10,166_ mS
C12= 7,650 pF G12= 1,728__ mS
3/9
 
1 
2 
3 
C13 
C23 C12 
C10 C20 C30 G30 G10 G20 
G12 
G13 
G23 
Questão 2 (3,5 pontos): 
(a) (2,0) Determine, analiticamente, a resistência R1 entre os tubos da figura, cujo comprimento é 
d = 100 m. Dê o resultado numérico para σ = 10-2 S/m, a = 4 cm, b = 12 cm e D = 6 cm.
Se uma fonte linear de corrente positiva está a uma distância x do raio do cilindro menor, e uma 
fonte linear negativa está a uma distância y :
xy=a2=16
(x+D)( y+D)=b2=144
→ x=1,1262cm
y=14,207cm
φa=
I /l
2πσ
ln( y+ax+a )=1,2674 I / l2πσ ; φb= I / l2 πσ ln( y+D+bx+D+b )=0,5211 I / l2πσ ;
R1=
φa−φb
I
= 1,2674−0,5211
2πσ l
=0,119Ω .
R1 = ____________________________________Ω.
4/9
a
b
D
(b) (1,5) Determine, analiticamente, a resistência entre as placas condutoras A e B da figura abaixo, 
sendo a espessura do material condutor e = 2 m. Os demais parâmetros têm valores iguais aos do 
item (a).
R1=
n
m
r= n
m
1
σ l
= n
m
(1Ω)⇔ n
m
=
R1
r
=0,119 ;
R2=
(m /2)
n
r= m
2n
1
σ e
= 1
2×0,001×2×0,119
=210Ω.
R2 = ____________________________________Ω.
5/9
a
b
D
A B
Questão 3 (2,5 pontos): Determine a capacitância de cada uma das estruturas a seguir:
(a) (1,0) Eletrodo esférico, de raio 0,9 m, no vácuo.
D⃗= q
4π r 2
u⃗r ; E⃗=
q
4πε0 r
2 u⃗r ; φa=−∫∞
a
E.dr=−∫∞
a q
4πε0 r
2 dr=
q
4πε0 a
;
C=∬S
D⃗ . ⃗dS '
φa =4πε0 a=100pF.
C = _______________ F .
6/9
ε
r
 = 1
0,9 m
(b) (1,5) O mesmo eletrodo do item (a), agora revestido de material dielétrico perfeito (σ = 0, 
εr = 4), com espessura 0,3 m, como mostrado na figura abaixo.
φa=−∫b
a q
16 πε0 r
2 dr−∫∞
b q
4πε0 r
2 dr=
q
16 πε0(1a−1b)+ q4πε0 b=81,133.108 q ;
C= 1
81,133.108
=123 pF.
C = _______________ F .
7/9
ε
r
 = 4ε
r
 = 1
0,9 m
1,2 m
(c) (1,5) Uma linha de transmissão de fios paralelos de raio 1,5 mm, cujos centros estão distantes de 
3 cm entre si. O material entre os fios é polietileno (εr = 2,25).
Colocando as linhas de cargas exatamente no centro dos cilindros (distância entre eles >> raios):
φa=
λ
2πε
ln(d−rr )=2,944λ4,5πε0 =V 0⇔λ=
4,5πε0V 0
2,944
;
C
l
= λ
2V 0
=
2,25πε0
2,944
=21,26pF/m.
C = _______________ F .
8/9
3 mm
3 cm
Formulário
ε0=8,854.10
−12 F/m; μ0=4 π.10
−7 H/m;
rot E=−∂B
∂ t
; rot H=J+∂D
∂ t
; div D=ρ ; div B=0 ; div J=−∂ρ
∂ t
;
p/ qualquer F: ∮
Γ
F .dl=∬
S
rot F .dS ; ∯
Σ
F . dS=∭
τ
div F . d τ ;
D=εE ; B=μH ; J=σE ;
Bn1=Bn2 ; Dn1−Dn2=γ ; J n1−J n2=−
∂ γ
∂ t
; E t1=E t2 ; Ht1−Ht2=JS ^ n0 ;
∯
Σ
E ^ H .dS+∭
τ
∣J∣2
σ d τ+∭
τ
(E . ∂D
∂ t
)d τ+∭
τ
(H . ∂B
∂ t
)d τ=∭
τ
Ei .J d τ ; 
ψ(P)−ψ(P0)=−∫
P0
P
E .dl ; E=−grad ψ ; ∇2ψ=−ρ/ε ; P1 P2=R
2 ;
ψ= λ
2πε
ln( r-r+ ); ψ= I / l2πσ ln( r-r +); ψ= q4πε r ; R= V∬
S
J .dS
; C=
∬
S
D . dS
V
;
Coordenadas cartesianas:
grad f =∂ f
∂ x
x̂+∂ f
∂ y
ŷ+∂ f
∂ z
ẑ ; div F=
∂ F x
∂ x
+
∂F y
∂ y
+
∂ F z
∂ z
;
rot F=(∂ F z∂ y −∂F y∂ z ) x̂+(∂ F x∂ z −∂ F z∂ x ) ŷ+(∂ F y∂ x −∂F x∂ y ) ẑ ; ∇2 f =∂
2 f
∂ x2
+∂
2 f
∂ y2
+∂
2 f
∂ z2
;
Coordenadas cilíndricas:
grad f =∂ f
∂ r
r̂+1
r
∂ f
∂θ θ̂+
∂ f
∂ z
ẑ ; div F=1
r
∂(r F r)
∂ r
+1
r
∂F θ
∂ θ +
∂ F z
∂ z
;
rot F=(1r ∂F z∂θ −∂F θ∂ z ) r̂+(∂ F r∂ z −∂F z∂r )θ̂+(∂ r Fθ∂ r −∂ F r∂θ ) ẑ ;
∇2 f =1
r
∂
∂ r (r ∂ f∂r )+ 1r2 ∂
2 f
∂θ2
+∂
2 f
∂ z 2
;
Coordenadas esféricas:
grad f =∂ f
∂ r
r̂+1
r
∂ f
∂θ θ̂+
1
r sen θ
∂ f
∂ϕ ϕ̂ ;
div F= 1
r2
∂(r 2 F r)
∂ r
+ 1
r sen θ
∂(senθ Fθ)
∂θ +
1
rsen θ
∂ F ϕ
∂ϕ ;
rot F= 1
rsen θ (∂(sen θF ϕ)∂θ −∂ Fθ∂ϕ ) r̂+1r ( 1sen θ ∂ F r∂ϕ −∂(rF ϕ)∂ r ) θ̂+1r (∂(r F θ)∂ r −∂ F r∂θ )ϕ̂ ;
∇2 f = 1
r2
∂
∂ r (r2 ∂ f∂r )+ 1r2 senθ ∂∂θ (sen θ ∂ f∂ θ )+ 1r 2sen2θ ∂
2 f
∂ϕ2
;
9/9
	X