Circuitos Elétricos - PSI3212 - P1 2008 - Poli

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PSI- 2211 – Circuitos Elétricos I – 1a Prova – 09/04/2008 - Gabarito 
1a Questão ( 3,0 pontos ) 
 
Considere o circuito da Figura 1, onde o gerador de tensão produz um sinal cuja forma de onda 
está representada na Figura 2. 
 
 
ge (t) Lv R5 i
Ri
10 kΩ 2 H
Figura 1 
Li (0) 0 mA=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t (ms)
– 10 
10 
τ = 2 ms 
20 
5 10 
ge (t) (V)
0 
Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pede-se (Utilize o sistema A.F. de unidades e indique todas as unidades): 
 
(1,0) a) Escreva a expressão analítica da corrente que passa pelo resistor, utilizando a 
função de Heaviside. 
Ri (t)
 
Resolução: 
Pela Lei de Ohm 
g g
R
e (t) e (t)
i (t)
R 10
= = . 
Assim 
[ ] [ ] ( t 10) / 2R ti (t) H(t) H(t 5) H(t 5) H(t 10) 2e H(t 10) (mA, ms)5 − −= − − − − − − + − 
ou juntando os termos comuns 
(t 10) / 2
R
t ti (t) H(t) 1 H(t 5) 1 2e H(t 10) (mA, ms)
5 5
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + + −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 
 
(1,0) b) Esboce o gráfico da potência instantânea dissipada no resistor, indicando todos 
os valores significativos e escreva sua expressão analítica. 
Rp (t)
 
Resolução: 
A potência instantânea é dada por 
2
g2
R R R g R R
e
p (t) v i e i Ri
R
= = = = . 
Assim: 
[ ] [ ]2 (t 10)R 2tp (t) H(t) H(t 5) 10 H(t 5) H(t 10) 40e H(t 10) (mW, ms)5 − −= − − + − − − + − 
ou juntando os termos comuns 
2 2
(t 10)
R
2t 2tp (t) H(t) 10 H(t 5) 40e 10 H(t 10) (mW, ms)
5 5
− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − + − −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
 
 
O gráfico de é mostrado na figura seguinte. Rp (t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rp (t) (mW)
t (ms)
0 5 10 
10 
τ = 1 ms 
40 
 
(1,0) c) Esboce o gráfico da tensão no indutor, indicando todos os valores significativos 
e escreva sua expressão analítica. 
Lv (t)
 
Resolução: 
A tensão no indutor na convenção do receptor é dada por Lv (t)
g gL R
L
de (t) de (t)di (t) di (t) 1v (t) L 2 5 =2 5 = (V, ms)
dt dt R dt dt
= = × × 
Assim 
 
[ ] ( t 10) / 2Lv (t) 2 H(t) H(t 5) 20 δ(t 5) 30δ(t 10) 10e H(t 10) (V, ms)− −= − − − − + − − − 
O gráfico da tensão é mostrado na figura seguinte. Lv (t)
 
t (ms)
– 10 
2 
τ = 2 ms 
5 10 0 
Lv (V) 
(-20) 
(30) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a Questão: ( 3,0 pontos ) 
Considerando o gráfico mostrado na Figura 3, adotou-se a árvore formada pelos ramos : 
 { b , d , e , f , g , i , A } 
1
2
3 4
6
5
7 8
b a
d e
c
f
gj 
k
i h A
Figura 3
 
 
 
 
 
 
 
 
(1,0) a) Preencha a matriz Mc dada abaixo, com Mc [ x, y ] = 1 se o ramo y pertencer ao 
corte fundamental determinado pelo ramo de árvore x. As células de Mc que não satisfaçam 
essa condição não devem ser preenchidas. 
 
 Mc = 
L
N
MMMMMMMMM
O
Q
PPPPPPPPP
 
b 
d 
e 
f 
g 
i 
A 
cortes 
a b c d e f g h i j k A ramos
Resolução: 
Os cortes fundamentais são {b,a,c}, {d,k,j}, {e,c,j,k}, {f,c,a,h}, {g,h,j,k,a}, {i,h,k,a}, { A ,k,a}. 
Assim a matriz Mc deve ser preechida como 
 
 
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦1
 
 
(1,0) b) Considerando o mesmo gráfico, porém com outra árvore, constituiu-se, de forma 
análoga a Mc , a matriz MA apresentada abaixo, onde cada linha representa um laço 
fundamental. 
 
 
 MA = 
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
L
N
MMMMMM
O
Q
PPPPPP
 
 
Identifique os ramos de ligação e os ramos da árvore escolhida. 
Resolução: 
Os ramos de ligação são {c,d,g,h, } e a árvore escolhida é {a,b,e,f,i,j,k}. A
 
 
 
 
 
 
 
 
a b c d e f g h i j k A ramos 
laços 
b 
d 
e 
g 
i 
A 
cortes 
a b c d e f g h i j k A ramos
f 
(1,0) c) O gráfico da Figura 3 foi redesenhado como mostrado na Figura 4. 
 c1) Indique na Figura 4 os nomes dos ramos correspondentes. 
 c2) Usando o teorema sobre gráficos não-planares ( teorema de Kuratovsky ), mostre qual 
é o número mínimo de ramos que teria que ser acrescentado ao gráfico para torná-lo não 
planar. 
 
Figura 4
1 2
3 4
5 6
7 8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Os ramos estão identificados na figura seguinte. 
 
1 2 
3 4
5 6 
7 8
i 
jA
a 
c 
d
f 
h g 
b 
k 
e 
 
 
 
 
 
 
 
O desenho precisa de mais um ramo para ser homeomórfico ao segundo gráfico de Kuratovsky. 
Portando, basta acrescentar um ramo entre 5 e 2 ou entre 6 e 1 para torná-lo não-planar. 
 
 
 
 
 
Atenção: Preencher a folha ótica com seu nome, número USP e opções escolhidas para 
cada teste. 
 
1 – Um capacitor variável tem capacitância dada pela expressão C ( t ) = 2 t . ( F ). 
 Qual a expressão que relaciona corrente e tensão ? 
 a) i t t d v
dt
b g = 2 
 b) i t d
dt
2 t vb g b g= . 
 c) i ( t ) = 2 t . v ( t ) 
 d) i ( t ) = 0 
 e) n.d.a. 
 
 
2 – Considere o bipolo composto da Figura 5. 
 Se uma corrente i(t) = a t + b percorre este bipolo sua tensão vale : 
 
 a) v(t) = a t + b 
 b) v(t) = a t + b + a 
 c) v(t) = a t + 2 b 
 d) v(t) = a 
e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
3 – A derivada da função f(t) = sen ( 2 π t ) [ H(t) – H ( t – ¼ ) ] é : 
 a) 2 π cos ( 2 π t ) [ H(t) – H ( t – ¼ ) ] 
 b) 2 π cos ( 2 π t ) [ H(t) – H ( t – ¼ ) ] + δ(t) – δ ( t – ¼ ) 
 c) 2 π cos ( 2 π t ) + δ(t) 
 d) 2 π cos ( 2 π t ) [ H(t) – H ( t – ¼ ) ] – δ ( t – ¼ ) 
1 Ω 
i 
v 1 H 
Figura 5 
 e) n.d.a. 
 
 
 
4 – Quanto vale e x dx−− − xz δ 112 b g 
 
 a) 0,628 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 0,3679 
e) n.d.a. 
 
 
 
5 – Num indutor de 3 H tem-se uma tensão v(t) = 10 cos ( 377 t + 10o ) ( V, s ). 
 Portanto a expressão mais próxima da corrente i(t), em convenção de receptor ( em mA ) é: 
 
 a) 2,2 sen ( 377 t + 10o ) 
 b) 8,8 cos ( 377 t + 100o ) 
c) 8,8 cos ( 377 t – 80o ) 
 d) 2,2 cos ( 377 t + 40o ) 
 e) n.d.a. 
 
 
 
6 – A energia armazenada no capacitor no instante t = 3 s no circuito da Figura 6 vale : 
 
 
 a) 4,5 J 
 b) 9 J 
Figura 6 
 C R eg(t) 
 eg(t) = 6 cos ( ω t ) ( V, s ) 
 R = 2 Ω 
 C = ½ F 
Período : T = 24 s 
c) 2,12 J 
 d) 8,86 J 
 e) n.d.a. 
 
 
 
 
 
 
 
7 – Sabendo que i t t A s1
ob g c h b= +2 6 45cos , g e i2(t) = sen ( 6 t ) ( A, s ) , a 
 corrente i3(t) = i1(t) + i2(t) vale : 
 
 a) 1 
 b) cos ( 6 t ) ( A, s ) 
 c) 1 + 2 j 
 d) 2,236 cos ( 6 t + 26,57o ) ( A, s ) 
 e) n.d.a. 
 
 
8 – O gráfico da Figura 7 contém quantos cortes fundamentais ? 
 
a) 4 
 b) 6 
Figura 7 
vg R4R1
R2
R3
R5
R6 R7
R8
v1
v2
v3 v4
v5
v6 v7
v8
 c) 5 
 d) 7 
 e) n.d.a.