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MICROECONOMIA 1 Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia Notas de Aula 5 - Graduac¸a˜o Prof. Jose´ Guilherme de Lara Resende 1 Condic¸o˜es de Segunda Ordem Se as prefereˆncias sa˜o estritamente convexas, vimos que a func¸a˜o de utilidade e´ estritamente quasecoˆncava. A propriedade de prefereˆncias estritamente convexas garante que as condic¸o˜es de segunda ordem (CSO) sejam satisfeitas. Se as prefereˆncias sa˜o bem-comportadas, e´ fa´cil ver grafi- camente, para o caso de dois bens, que a soluc¸a˜o do problema do consumidor encontrada resolvendo-se as CPO sera´ u´nica e de fato um ma´ximo. 6 - x2 x1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ Soluc¸a˜o do Problema do Consumidor sE Algebricamente, as CSO sa˜o obtidas do Hessiano orlado (ou Hessiano com borda) da func¸a˜o de Lagrange, formado pelas derivadas de segunda-ordem do Lagrangeano. O Lagrangeano do problema de maximizac¸a˜o de utilidade sujeita a` restric¸a˜o orc¸amenta´ria, para o caso de dois bens, e´: L = u(x1, x2) + λ (m− p1x1 − p2x2) O Hessiano orlado e´: HO = ∂2L ∂λ2 ∂2L ∂λ∂x1 ∂2L ∂λ∂x2 ∂2L ∂x1∂λ ∂2L ∂x21 ∂2L ∂x1∂x2 ∂2L ∂x2∂λ ∂2L ∂x2∂x1 ∂2L ∂x22 = 0 −p1 −p2 −p1 −u11 u12 −p2 −u21 u22 , onde usamos a seguinte notac¸a˜o: ∂2u ∂x21 = u11, ∂2u ∂x1∂x2 = u12, ∂2u ∂x22 = u22 1 Para o caso de dois bens, as CSO sa˜o satisfeitas se o determinante do Hessiano orlado, calculado na cesta candidata a o´timo, for positivo (no caso de mais de dois bens, veja a observac¸a˜o abaixo). Nesse caso, pode-se garantir que as demandas encontradas usando as CPO sa˜o de fato um ma´ximo para o problema do consumidor1. Vamos calcular o determinante do Hessiano orlado acima. Primeiro observe que as CPO podem ser escritas como p1 = u1/λ e p2 = u2/λ, onde ui = ∂u/∂xi, i = 1, 2. Substituindo todas essas expresso˜es no Hessiano orlado, obtemos: det 0 −u1/λ −u2/λ −u1/λ u11 u12 −u2/λ u21 u22 = 1λ2 (2u1u2u21 − u22u11 − u21u22) , onde as func¸o˜es acima sa˜o calculadas na cesta candidata a o´timo, (x∗1, x ∗ 2). A CSO e´ satisfeita se o determinante do Hessiano orlado for maior do que zero. Como λ2 e´ sempre maior do que zero, podemos simplificar essa condic¸a˜o para: 2u1u2u21 − u22u11 − u21u22 > 0 (1) Essa u´ltima desigualdade garante que as CSO do problema sa˜o satisfeitas e, consequentemente, que as demandas encontradas resolvendo as CPO da˜o o ma´ximo de utilidade ao consumidor em questa˜o. Exemplo: Utilidade Cobb-Douglas: u(x1, x2) = x α 1x β 2 . E´ fa´cil verificar que, no caso da utilidade Cobb-Douglas, o termo 2u1u2u21 − u22u11 − u21u22 e´ igual a: 2α2β2x3α−21 x 3β−2 2 − β2α(α− 1)x3α−21 x3β−22 − α2β(β − 1)x3α−21 x3β−22 , onde x1 e x2 sa˜o as demandas o´timas dos bens. Como x 3α−2 1 x 3β−2 2 > 0, podemos dividir a expressa˜o acima por x3α−21 x 3β−2 2 , que o seu sinal na˜o ira´ se modificar. Nesse caso, obtemos: 2α2β2 − β2α(α− 1)− α2β(β − 1), (2) uma expressa˜o que depende apenas dos paraˆmetros α e β da utilidade Cobb-Douglas. Se α e β sa˜o positivos, enta˜o temos que a expressa˜o (2) acima sera´ positiva. Portanto, se α > 0 e β > 0, as CSO para a maximizac¸a˜o da func¸a˜o de utilidade Cobb-Douglas sa˜o satisfeitas e as demandas encontradas usando as CPO sa˜o de fato a soluc¸a˜o do problema do consumidor (maximizam a sua utilidade sujeita a` restric¸a˜o orc¸amenta´ria). Observac¸a˜o: No caso geral de n bens, os determinantes dos menores principais do Hessiano orlado devem alternar sinais. Por exemplo, no caso de quatro bens devemos ter que: det 0 −p1 −p2 −p1 ∂2L∂x21 ∂2L ∂x1∂x2 −p2 ∂2L∂x2∂x1 ∂ 2L ∂x22 > 0 1na verdade, garante-se apenas que e´ um ma´ximo local. Se a func¸a˜o de utilidade e´ quasecoˆncava, pode-se mostrar que (x∗1, x ∗ 2) sera´ um ma´ximo global. 2 det 0 −p1 −p2 −p3 −p1 ∂2L∂x21 ∂2L ∂x1∂x2 ∂2L ∂x1∂x3 −p2 ∂2L∂x2∂x1 ∂ 2L ∂x22 ∂2L ∂x2∂x3 −p3 ∂2L∂x3∂x1 ∂ 2L ∂x3∂x2 ∂2L ∂x23 < 0 det 0 −p1 −p2 −p3 −p4 −p1 ∂2L∂x21 ∂2L ∂x1∂x2 ∂2L ∂x1∂x3 ∂2L ∂x1∂x4 −p2 ∂2L∂x2∂x1 ∂ 2L ∂x22 ∂2L ∂x2∂x3 ∂2L ∂x2∂x4 −p3 ∂2L∂x3∂x1 ∂ 2L ∂x3∂x2 ∂2L ∂x23 ∂2L ∂x3∂x4 −p4 ∂2L∂x4∂x1 ∂ 2L ∂x4∂x2 ∂2L ∂x4∂x3 ∂2L ∂x24 > 0 O caso de n bens segue o mesmo padra˜o de alternaˆncia do sinal dos determinantes dos menores principais do Hessiano orlado. 2 Func¸a˜o de Utilidade Indireta Se a soluc¸a˜o do problema do consumidor e´ u´nica para cada conjunto de prec¸os e renda, enta˜o podemos definir a func¸a˜o de utilidade indireta como: v(p,m) = u ( xM1 (p,m), x M 2 (p,m), . . . , x M n (p,m) ) A func¸a˜o de utilidade indireta e´ func¸a˜o dos prec¸os e da renda do consumidor. Como v(p,m) incorpora na func¸a˜o de utilidade original as quantidades o´timas demandadas dos bens, v(p,m) diz qual o ma´ximo de utilidade alcanc¸a´vel aos prec¸os p e renda m. A utilidade indireta, vista de modo isolado, na˜o tem conteu´do econoˆmico para a teoria do consum- idor, pois a func¸a˜o de utilidade utilizada para representar as prefereˆncias de um indiv´ıduo na˜o e´ u´nica. Pore´m, a func¸a˜o de utilidade indireta pode ser usada para inferir o que ocorreu com o bem-estar do indiv´ıduo apo´s uma mudanc¸a no ambiente econoˆmico (mudanc¸a nos prec¸os e ou na renda). Por exemplo, suponha que os prec¸os dos bens mudaram de p0 para p1, sendo que a renda per- maneceu inalterada. Se v(p0,m) > v(p1,m), enta˜o o indiv´ıduo estava melhor quando os prec¸os eram p0. Mais a` frente, usaremos a func¸a˜o de utilidade indireta para derivarmos duas medidas importantes do bem-estar do consumidor, a variac¸a˜o compensadora e a variac¸a˜o equivalente. Vamos agora ver as propriedades que a func¸a˜o de utilidade indireta satisfaz. Por exemplo, para determinadas mudanc¸as do ambiente econoˆmico, e´ poss´ıvel dizer, sem ambiguidades, se o bem-estar do indiv´ıduo aumentou ou diminuiu. 3 2.1 Propriedades Vamos agora juntar as propriedades sobre a demanda dos bens obtidas na aula de restric¸a˜o orc¸amenta´ria com outras propriedades derivadas usando o problema do consumidor e com as pro- priedades da func¸a˜o de utilidade indireta. 1) As func¸o˜es de demanda e a func¸a˜o de utilidade indireta sa˜o homogeˆneas de grau 0 nos prec¸os e na renda: xi(tp, tm) = xi(p,m), ∀t > 0, ∀i = 1, . . . , n v(tp, tm) = v(p,m), ∀t > 0 Lembre-se que se aumentarmos todos os prec¸os e a renda pelo mesmo fator, nada muda na restric¸a˜o orc¸amenta´ria. Portanto, o problema do consumidor permanece inalterado e as func¸o˜es de demanda e o bem-estar do consumidor permanecem inalterados. 2) A func¸a˜o de utilidade indireta e´ decrescente nos prec¸os e estritamente crescente na renda: Se p′ ≥ p, enta˜o v(p′,m) ≤ v(p,m) Se m′ > m, enta˜o v(p,m) < v(p,m′) Essa propriedade e´ natural: se os prec¸os aumentam, o bem-estar do consumidor vai cair ou permanecer o mesmo. Se a renda aumenta, o bem-estar do consumidor necessariamente aumenta (supondo que as prefereˆncias sa˜o mono´tonas: mais e´ sempre melhor). 3) O multiplicador de Lagrange mede a utilidade marginal da renda: λ(p,m) = ∂v(p,m) ∂m > 0 Portanto, λ mede o aumento na utilidade ma´xima alcanc¸a´vel causado pelo aumento de 1 Real na renda (o n´ıvel da restric¸a˜o orc¸amenta´ria). Vamos provar essa afirmac¸a˜o para o caso de dois bens (o caso geral e´ uma generalizac¸a˜o simples desse caso). Primeiro derivamos a func¸a˜o de utilidade indireta com relac¸a˜o a` renda: ∂v ∂m = ∂u ∂xM1 ∂xM1 ∂m + ∂u ∂xM2 ∂xM2 ∂m Vimos que as CPO podem ser escritas como ∂u ∂xM1 = λp1, ∂u ∂xM2 = λp2 e, portanto, ∂v ∂m = λ ( p1 ∂xM1 ∂m + p2 ∂xM2 ∂m ) A agregac¸a˜ode Engel, obtida ao derivarmos a reta orc¸amenta´ria, calculada na cesta o´tima, com relac¸a˜o a` renda, diz que: p1 ∂xM1 ∂m + p2 ∂xM2 ∂m = 1 4 Juntando essas duas u´ltimas equac¸o˜es, obtemos o resultado desejado: λ = ∂v ∂m . 4) Identidade de Roy. A identidade de Roy conecta a demanda Marshalliana com a func¸a˜o de utilidade indireta: xi(p,m) = −∂v(p,m)/∂pi ∂v(p,m)/∂m vamos tambe´m demonstrar a validade da identidade de Roy. Primeiro derivamos a func¸a˜o de utilidade indireta com respeito ao prec¸o pi: ∂v ∂pi = n∑ j=1 ∂u ∂xj ∂xj ∂pi = λ n∑ j=1 pj ∂xj ∂pi , (3) onde a u´ltima igualdade resulta das CPO. A agregac¸a˜o de Cournot, obtida ao derivarmos a reta orc¸amenta´ria, calculada na cesta o´tima, com relac¸a˜o ao prec¸o de um dos bens, nesse caso, pi, diz que: xi(p,m) + n∑ j=1 pj ∂xj(p,m) ∂pi = 0 ⇒ xi(p,m) = − n∑ j=1 pj ∂xj(p,m) ∂pi (4) Substituindo a expressa˜o achada para xi em (4) na equac¸a˜o (3), obtemos: ∂v(p,m) ∂pi = −λxi(p,m) ⇒ xi(p,m) = −∂v(p,m)/∂pi λ = −∂v(p,m)/∂pi ∂v(p,m)/∂m , onde usamos a propriedade 3) acima (λ = ∂v/∂m) para obtermos a igualdade de Roy. 3 Curva de Demanda A figura abaixo mostra a curva de demanda para um bem qualquer. As curvas de demanda sa˜o (quase sempre) negativamente inclinadas: se o prec¸o do bem aumenta, compramos menos desse bem. Essa propriedade e´ chamada lei da demanda. Lei da Demanda: Para qualquer bem ou servic¸o, a lei da demanda afirma que se consome mais quando o prec¸o diminui (ou que se consome menos quando o prec¸o aumenta), mantendo todo o resto constante (condic¸a˜o de ceteris paribus). Um bem que satisfaz a lei da demanda e´ chamado bem comum, pois essa relac¸a˜o inversa entre prec¸o e demanda do bem e´ o usual de ocorrer na pra´tica. Um bem para o qual o consumo aumenta (ou diminui) quando o prec¸o aumenta (ou diminui) e´ chamado bem de Giffen. Apesar desse tipo de bem ser uma possibilidade teo´rica, os raros exemplos encontrados de bens de Giffen sa˜o controversos. A condic¸a˜o “mantendo todo o resto constante” e´ fundamental. Muitos exemplos de supostos bens de Giffen na verdade sa˜o exemplos onde alguma outra varia´vel ale´m do prec¸o tambe´m mudou. Para 5 ilustrar, suponha que o prec¸o do vinho Ivre e´ R$ 120. A vin´ıcola que produz esse vinho comprou mais terras ano passado e teve uma excelente safra de uvas. Ela resolve enta˜o baixar o prec¸o do vinho para R$ 40. Pore´m, a vin´ıcola descobre que a quantidade vendida de vinho caiu apo´s o prec¸o baixar. Isso e´ uma violac¸a˜o da lei da demanda? Pode ser que na˜o. Se grande parte dos consumidores do vinho Ivre o compram por que acham que o vinho e´ de boa qualidade devido ao seu prec¸o elevado, esses consumidores deixara˜o de comprar o vinho se o prec¸o cair muito, inferindo que a qualidade do vinho caiu. Nem todo o “resto” enta˜o permaneceu constante: a qualidade do vinho percebida pelos compradores mudou. Outras pessoas podiam tambe´m comprar o vinho apenas pelo status de ter ou poder dar de presente um vinho caro. Se o prec¸o cai muito, esse status tambe´m se modifica (outra varia´vel diferente do prec¸o que tambe´m mudou). Portanto, esse caso na˜o constituiria uma violac¸a˜o da lei da demanda. Existem duas formas de se interpretar a curva de demanda: 1. Voceˆ me diz o prec¸o, eu digo a quantidade que quero. Essa e´ a forma comum de ver a func¸a˜o demanda. Para cada prec¸o, sabemos qual sera´ a quantidade demandada pelo consumidor. 2. Voceˆ me diz a quantidade, eu digo o valor marginal de mais uma unidade. Para qualquer quantidade do bem medida ao longo do eixo vertical, a distaˆncia desse eixo ate´ a curva diz o valor marginal do u´ltimo bem consumido. O fato de a demanda ser negativamente inclinada e´ interpretado como o valor marginal (a propensa˜o marginal a pagar, a vontade de pagar - “willingness to pay”) de um bem ser decrescente com a quantidade consumida. Portanto, dizer que a demanda e´ negativamente inclinada ou que o valor marginal de um bem e´ decrescente e´ a mesma coisa. A func¸a˜o de demanda inversa p(q) mede essa relac¸a˜o do valor marginal com a quantidade consumida: quanto o consumidor esta´ disposto a pagar pela u´ltima unidade q consumida. Sempre que a func¸a˜o de demanda for negativamente inclinada, podemos determinar a func¸a˜o de demanda inversa desse consumidor. A func¸a˜o de demanda inversa e´ muito usada em economia. Por exemplo, quando estudamos o problema de decisa˜o de produc¸a˜o de um monopolista, consideramos que o monopolista sabe que pode afetar os prec¸os escolhendo o seu n´ıvel de produc¸a˜o. Ou seja, ele sabe que o prec¸o depende da quantidade produzida, e que essa relac¸a˜o e´ descrita pela func¸a˜o de demanda inversa. 6 - q p Curva de Demanda@ @ @ @ @ @ @ @ @@ 6 - p q Curva de Demanda Inversa@ @ @ @ @ @ @ @ @@ 6 Quando estudamos o que ocorre com a quantidade demandada quando o prec¸o do bem varia, todo o resto constante, estamos estudando uma mudanc¸a ao longo da curva de demanda, como ilustra o gra´fico a` esquerda na figura abaixo. Pore´m, a quantidade de um bem a ser demandada na˜o e´ so´ func¸a˜o do seu prec¸o, mas tambe´m de uma se´rie de outros fatores, como os prec¸os de outros bens e a renda, expressos explicitamente na func¸a˜o de demanda e de fatores impl´ıcitos, como o tamanho da populac¸a˜o, a renda per capita, os gostos, a expectativa sobre prec¸os futuros, o clima, etc. Enquanto todos esses outros determinantes da demanda na˜o se alterarem, uma mudanc¸a no prec¸o do produto ira´ acarretar uma mudanc¸a na quantidade demandada. Ou seja, um movimento ao longo da curva, como mostra o gra´fico a` esquerda na figura abaixo. Entretanto, se algum dos outros determinantes da demanda mudar, o resultado sera´ um desloca- mento de toda a curva de demanda, que pode gerar tanto um aumento como uma queda da quantidade demandada para cada n´ıvel de prec¸o, dependendo da direc¸a˜o do deslocamento. A figura abaixo ilustra essa situac¸a˜o. 6 - p q Mudanc¸a de prec¸o @ @ @ @ @ @ @ @ @@ @ @ @ @R @ @ @ @I 6 - p q Mudanc¸a de outra varia´vel (diferente do prec¸o)@@ @ @ @ @ @ @ @@ ��� �� @ @ @ @ @ @ @ @ @@ Por exemplo, a demanda de sorvete depende do clima. Quando faz muito calor, a curva de demanda se desloca para fora: mais sorvetes sa˜o consumidos a cada n´ıvel de prec¸o. Se faz muito frio, a demanda se desloca para dentro: menos sorvetes sa˜o consumidos a cada n´ıvel de prec¸o. Se a demanda por sorvetes de um consumidor aumenta quando ele tem mais renda, enta˜o um aumento da renda desloca a sua curva de demanda para fora. A curva de prec¸o-consumo apresenta, de modo diferente, a mesma informac¸a˜o sobre o bem anal- isado do que uma curva de demanda. Pore´m, a curva de prec¸o-consumo apresenta tambe´m informac¸a˜o sobre a variac¸a˜o do outro bem com relac¸a˜o a mudanc¸as no prec¸o do bem analisado. O gra´fico de uma curva de prec¸o-consumo tem como eixos as quantidades dos bens consumidos. A curva de prec¸o-consumo de um bem e´ obtida deixando-se o prec¸o desse bem variar, mantendo os outros prec¸os e a renda fixos. A figura abaixo ilustra uma poss´ıvel curva de prec¸o-consumo para o bem 1. 7 6 - x2 x1 A A A A A A A A A A A A A A AA @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@ HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH Curva de prec¸o-consumo do bem 1sss 4 Func¸a˜o de Utilidade Quaselinear Uma classe de utilidades muito usadas em economia sa˜o as utilidades quaselineares. Essa utilidade, para o caso de dois bens, tem a seguinte forma: u(x1, x2) = g(x1) + xn, ou seja, a utilidade e´ linear em um dos bens apenas. Essa utilidade gera demandas com caracter´ısticasimportantes, como veremos a seguir. O problema do consumidor nesse caso e´ dado por: max x1,x2 g(x1) + x2 s.a p1x1 + p2x2 = m Vamos resolver esse problema usando um truque. Reescrevendo a reta orc¸amenta´ria em func¸a˜o do bem 2, obtemos que x2 = m/p2 − (p1/p2)x1. Substituindo esse valor de x2 na func¸a˜o utilidade, obtemos: max x1 g(x1) +m/p2 − (p1/p2)x1, um problema sem restric¸a˜o expl´ıcita. Vamos assumir que a renda e´ grande o suficiente para que o consumo de x2 seja positivo. Nesse caso a soluc¸a˜o e´ interior 2 e a CPO e´ dada por: g′(x∗1) = p1 p2 Note que a CPO diz que a demanda do bem 1 depende apenas da relac¸a˜o de prec¸os. A CSO e´ satisfeita se a func¸a˜o g e´ estritamente coˆncava (g′′(x∗1) < 0). Nesse caso, podemos inverter a func¸a˜o g ′. Denote por (g′)−1 a func¸a˜o inversa de g′. Enta˜o: x∗1 = (g ′)−1 ( p1 p2 ) 2ou seja, os dois bens sa˜o consumidos em quantidades positivas. 8 A demanda do outro bem e´ obtida substituindo a demanda do bem 1 na restric¸a˜o orc¸amenta´ria: xM2 = m p2 − p1 p2 (g′)−1 ( p1 p2 ) . Portanto, a demanda Marshalliana do bem 1 na˜o depende da renda - depende apenas dos prec¸os. Essa e´ uma propriedade geral das func¸o˜es quaselineares. Pore´m, temos que ser cuidadosos nesse ponto: na verdade, a demanda do bem 1 na˜o sera´ independente da renda para todos os valores da renda: se a renda for muito baixa, o consumidor na˜o conseguira´ comprar nada do bem 1. Imagine, por exemplo, que a renda e´ zero (m = 0). Se aumentarmos a renda um pouco, a utilidade marginal l´ıquida (descontando a utilidade marginal do bem 2) de consumir o bem 1 e´ igual a` du = [g′(x1)− (p1/p2)] dx1. O consumidor vai comprar o bem 1 ate´ que g′(x1) − (p1/p2) = 0. Como g′ e´ decrescente (g′′ < 0), a partir desse momento, se a renda aumentar, o consumidor gastara´ essa renda adicional apenas com o bem 2. Portanto, a demanda gerada para o bem que entra de modo quaselinear na utilidade tem essa propriedade de na˜o depender mais da renda, a partir de um determinado n´ıvel de renda. Nesse caso, o efeito de uma alterac¸a˜o da renda sobre a demanda do bem 1 e´ nulo: uma variac¸a˜o na renda na˜o altera a quantidade consumida desse bem. Logo, qualquer alterac¸a˜o na renda afeta apenas a demanda do outro bem. Por exemplo, se a renda do consumidor aumentar, todo esse aumento sera´ gasto apenas com o bem 2. Graficamente, as curvas de indiferenc¸a de uma func¸a˜o de utilidade quaselinear sa˜o “verticalmente paralelas”: para qualquer quantidade do bem, as inclinac¸o˜es de duas curvas de indiferenc¸a diferentes sera˜o iguais. Isto e´ consequeˆncia do o efeito renda ser nulo, pois o valor marginal da quantidade consumida do bem na˜o depende da renda. 6 - x2 x1 ��� ������ ��� Curvas de Indiferenc¸a geradas por utilidade quaselinear 9 Exemplo: Seja u(x1, x2) = lnx1 + x2. Suponha que a renda seja grande o suficiente para que as soluc¸o˜es sejam interiores. O problema do consumidor e´: max x1 lnx1 +m/p2 − (p1/p2)x1 A CPO e´: 1 x∗1 = p1 p2 ⇒ xM1 (p1, p2,m) = p2 p1 A demanda do outro bem e´ encontrada substituindo a demanda do bem 1 na reta orc¸amenta´ria: x2 = m/p2 − (p1/p2)x∗1 = m/p2 − 1 ⇒ xM2 (p1, p2,m) = m/p2 − 1 Mais rigorosamente, note que se m < p2, o consumidor na˜o consegue comprar a quantidade p2/p1 do bem 1 (pois p1x ∗ 1 = p2 > m). Nesse caso, o consumidor compra apenas o bem 1 e, portanto, x ∗ 2 = 0, pois o acre´scimo de utilidade ao adquirir o bem 1 e´ maior do que o acre´scimo de utilidade em adquirir o bem 2 (g′(x1) > p1 p2 ⇒ g′(x1) − (p1/p2) > 0, se x1 < p2/p1, onde g(x1) = ln(x1)). Se a renda for igual ou maior do que p2, o consumidor consegue adquirir a quantidade o´tima x ∗ 1 = p2/p1, pois p1x ∗ 1 = p1(p2/p1) = p2. Logo, as demandas dos bens 1 e 2 sa˜o completamente definidas por: xM1 (p1, p2,m) = { p2 p1 se p2 ≤ m, m p1 se p2 > m. xM2 (p1, p2,m) = { m p2 − 1 se p2 ≤ m, 0 se p2 > m. As func¸o˜es de utilidade quaselineares, devido ao fato de gerarem demandas com uma estrutura relativamente simples, sa˜o muito usadas em economia, especialmente na ana´lise de bem-estar. Leitura Recomendada • Varian, cap. 5 - “Escolha”. • Nicholson e Snyder, cap. 4 - “Utility Maximization and Choice”. 10
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