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SUMÁRIO Aula 1: Integrais Duplas 11 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares . . . . . . . . 12 1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangulares Limitados 14 1.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Propriedades das Integrais Duplas . . . . . . . . . . 19 1.7 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 30 Aula 2: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 33 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas . . . . . 34 2.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 46 Aula 3: Algumas Aplicações da Integral Dupla 47 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla . . . . . . . . 52 3.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 60 Aula 4: Integrais triplas 63 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípedais . . . . 64 4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Li- mitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 Interpretação Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Integrais Iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.6 Propriedades das Integrais Triplas . . . . . . . . . . 68 4.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 81 Aula 5: Mudança de Variáveis em Integrais tríplas 83 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2 Mudança de Variáveis em Integrais Triplas . . . . . . 84 5.3 Alguns Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 104 Aula 6: Algumas Aplicações das Integrais tríplas 105 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 Algumas Aplicações da Integral Tripla . . . . . . . . 110 6.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 120 Aula 7: Integrais de Funções Vetoriais sobre Curvas em R3R3R3 123 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.2 Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.3 Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia de Curvas em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.4 Campos Vetoriais: Trabalho, Circulação e Fluxo . . . 128 7.5 Independência do Caminho . . . . . . . . . . . . . . 130 7.6 Algumas Aplicações das Integrais de Linha . . . . . 133 7.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 143 Aula 8: Integrais de Superfícies 145 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.2 Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.3 Área de Superfícies em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 147 8.4 Momento de massa e Momento de Inércia de Super- fícies de Casca Fina em R3R3R3 . . . . . . . . . . . . . . 151 8.5 Superfícies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . 155 8.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 165 Aula 9: Teorema de Green e Teorema de Stokes 167 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 9.3 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 9.4 Estendendo o Teorema de Green para Outras Regiões 175 9.5 Verificação do Teorema de Green . . . . . . . . . . 178 9.6 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.7 Aplicação do Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . 183 9.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 PRÓXIMA AULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 188 Aula 10: Teorema de Divergência 189 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.2 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.3 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . 191 10.4 Estendendo o Teorema da Divergência . . . . . . . . 194 10.5 Algumas Aplicações do Teorema da Divergência . . 196 10.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 ATIVIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 LEITURA COMPLEMENTAR . . . . . . . . . . . 203 AULA 1Integrais Duplas META: Apresentar integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir a integral dupla de funções de valores reais e domínio em R2. Calcular algumas integrais duplas de funções de valores reais e do- mínio em R2. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do- mínio em R, da disciplina Cálculo I. Integrais Duplas 1.1 Introdução Caros alunos iniciamos aqui nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Dupla”. A integração dupla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração dupla é dada por duas integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que de- nominamos de integrais interadas. Suas características e detalhes próprios serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas duas aulas. 1.2 Integral Dupla: Domínios Retangulares Começamos por considerar uma função f definida em um do- mínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a≤ x ≤ b∧c ≤ y ≤ d}. Formal- mente f : [a, b]× [c, d] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas paralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos retângulos (Fig. 1.1) . Oficialmente, con- sideraremos duas partições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d} onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xj < xj+1 < · · · < xm e y0 < y1 < · · · < yk < yk+1 < · · · < yn. Desta forma cada um dos Ij = [xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] pe- quenos subintervalos têm comprimentos ∆xj = xj −xj−1 e ∆yk = yk−yk−1, respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o retângulo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto carte- siano das partições P [a, b] e P [c, d]. As retas retalham a região R em uma série de retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤ 12 Cálculo III AULA 1 Figura 1.1: Partição de R = [a, b]× [c, d] j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. A area de cada pequeno retângulo é dada por ∆Ajk = ∆xj∆yk. Como tanto ∆xj quanto ∆yk são dife- rentes de zero, a área de cada pequeno retângulo é também di- ferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max 1≤j≤m 1≤k≤n (∆Ajk), que corresponde a maior área entre todos os pequeno retângulo. Pausa para respirar que já vamos definir a integral dupla sobre domínios retangulares. Para isto tomamos um ponto (ξj , ζk) ∈ BIOGRAFIA Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Breselenz, Reino de Hanôver, 17 de Setembro de 1826 e morreu em Selasca, Itália, 20 de Junho de 1866, foi um matemático alemão, com contribuições fundamentais para a análise e a geometria diferencial. Wikipedia [xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a se- guinte soma de Riemann: Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 f(ξj , ζk)∆Ajk A integral dupla da função f(x, y) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫ R f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: ∫ ∫ R f(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn 13 Integrais Duplas Figura 1.2: Soma de Riemann para f(x, y) em R = [a, b]× [c, d] 1.3 Integral Dupla: Domínios Não Retangula- res Limitados Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co- meçamos por considerar uma função F definida em um domí- nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal que D ⊂ R e F (x, y) = f(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D . Formalmente F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de retas pa- ralelas aos eixos coordenados e que dividem R em pequenos re- tângulos e procedemos como na integral dupla sobre domínios re- tangulares, considerando a uma partição para o retângulo R por 14 Cálculo III AULA 1P = P [R] = P [a, b] × P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max 1≤j≤m 1≤k≤n (∆Ajk) onde ∆Ajk = ∆xj∆yk, ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1. To- mamos um ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida F (x, y): Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 F (ξj , ζk)∆Ajk A integral dupla da função f(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, deno- tada ∫ ∫ D f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn Observem na partição (Fig. 1.3) que apenas os pequenos retân- gulos cinza claro contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto F (ξj , ζk) = 0. 1.4 Interpretação Geométrica Quando a função f(x, y) é positiva na região R, como a da (Fig. 1.2), vemos que a soma de Riemann aproxima o volume do prisma sólido reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f(x, y) e quanto maior for o refinamento da par- tição de R melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral dupla ∫ ∫ R f(x, y)dxdy como o volume do prisma sólido 15 Integrais Duplas Figura 1.3: Partição para F (x, y) em R = [a, b]× [c, d] reto limitado inferiormente por R e superiormente pela superfície z = f(x, y). 1.5 Integrais Iteradas Do mesmo modo que para a integral simples, na integral dupla a soma de Riemann não é um modo prático de se calcular uma integral dupla. Vejamos agora um procedimento que facilitará o cálculo de integrais duplas. Vamos exemplificar calculando o vo- lume de um prisma reto de base retangular, limitado inferiormente por [a, b] × [c, d] e superiormente pela função de valores positivos f(x, y). para cada valor fixo de x no intervalo [a, b] consideremos o perfil A(x) (área da seção transversal em x) (Fig. 1.4) fazemos o produto por dx e integramos no intervalo [a, b]. Isto resulta no 16 Cálculo III AULA 1 Figura 1.4: A(x), x fixo, integramos em relação a y volume do citado prisma. V = ∫ b a A(x)dx Por outro lado o perfil A(x) é dada pela área abaixo da curva f(x, y), fixado o x, entre os valores de y no intervalo [c, d]. E como vimos em Cálculo I A(x) = ∫ d c f(x, y)dy. O volume do prisma pode ser então escrito como: V = ∫ b a [∫ d c f(x, y)dy ] dx . Podemos alternativamente calcular o mesmo volume considerando os perfis A(y) (área da seção transversal em y) (Fig. 1.5) fazemos o produto por dy e integramos no intervalo [c, d]. Isto resulta no volume do citado prisma. 17 Integrais Duplas Figura 1.5: A(y), y fixo, integramos em relação a x V = ∫ d c A(y)dy Da mesma forma como vimos em Cálculo I A(y) = ∫ b a f(x, y)dx. O volume do prisma pode ser então escrito como: V = ∫ d c [∫ b a f(x, y)dx ] dy . Como o volume dado pelas duas expressões é o mesmo temos que: ∫ d c [∫ b a f(x, y)dx ] dy = ∫ b a [∫ d c f(x, y)dy ] dx ou seja a ordem em que as integrais simples são executadas não altera o resultado final da integração dupla em domínios retangu- lares. Este procedimento e conhecido como integrais iteradas. 18 Cálculo III AULA 11.6 Propriedades das Integrais Duplas Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de- monstração, alguma das propriedades das integrais duplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio- grafia abaixo. Propriedade 1.1. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: ∫ ∫ D cf(x, y)dxdy = c ∫ ∫ D f(x, y)dxdy Propriedade 1.2. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: ∫ ∫ D (f + g)(x, y)dxdy = ∫ ∫ D f(x, y)dxdy + ∫ ∫ D g(x, y)dxdy Propriedade 1.3. Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥ 0 Propriedade 1.4. Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de va- lores reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y),∀(x, y) ∈ D, então vale: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥ ∫ ∫ D g(x, y)dxdy Propriedade 1.5. Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um 19 Integrais Duplas número finito de curvas em R2, então vale: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ ∫ A f(x, y)dxdy + ∫ ∫ B f(x, y)dxdy OBS 1.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line- aridade” do operador integral dupla. As terceira e quarta pro- priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”. 1.7 Alguns ExemplosNada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem- plos e, vamos aqui fazer exatamente isto, ilustrar o conceito de integral dupla com dois exemplos. Antes porém, vale observar que a na prática uma integral dupla equivale a duas integrais simples e neste caso uma pergunta fica no ar e não deixaremos sem resposta. Qual das duas variáveis x ou y integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral dupla. Isto é, na integral ∫ ∫ R f(x, y)dxdy primeiramente integramos na va- riável x e depois na variável y. Já na integral ∫ ∫ R f(x, y)dydx primeiramente integramos na variável y e depois na variável x. Vamos diretamente para o primeiro exemplo de integral dupla so- bre domínios retangulares. A saber: Exemplo 1.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig. 1.6) dada por f(x, y) = exp(−x− y) e determine a integral dupla I = ∫ ∫ R f(x, y)dxdy sobre a região R = {(x, y) ∈ R2|0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1}. 20 Cálculo III AULA 1 Figura 1.6: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = exp(−x− y) SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: I = ∫ 1 0 ∫ 1 0 exp(−x− y)dxdy Lembrando que: exp(−x− y) = exp(−x) exp(−y) temos: I = ∫ 1 0 ∫ 1 0 exp(−x) exp(−y)dxdy Passo 2 integraremos na variável x considerando a variável y como uma constante: I = ∫ 1 0 ( − exp(−x) ∣∣∣1 0 ) exp(−y)dy Substituindo os limites de integração temos: I = ∫ 1 0 (− exp(−1)− (− exp(−0))) exp(−y)dy Efetuando os cálculos temos: I = ∫ 1 0 (1− exp(−1)) exp(−y)dy Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável: I = (1− exp(−1)) ( − exp(−y) ∣∣∣1 0 ) Substituindo os limites de integração temos: I = (1− exp(−1)) (− exp(−1)− (− exp(−0))) Efetuando os cálculos temos: 21 Integrais Duplas I = (1− exp(−1))2 � OBS 1.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re- tangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na Figura 1.7: Determinação prática dos limites para D direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7). Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg- 22 Cálculo III AULA 1mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ b(x) a(x) f(x, y)dydx Exemplo 1.2. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] 7→ R (Fig. 1.8) dada por f(x, y) = y(3x− x2 − y) e determine a integral du- pla I = ∫ ∫ R f(x, y)dxdy sobre a região D ∈ R2 interseção das curvas y = 0 e y = 3x− x2. Figura 1.8: Função f : [0, 1]× [0, 1] 7→ R: f(x, y) = x.y SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das duas curvas que determinam os limites para a região D. A saber y = 0 e y = 3x− x2 (Fig. 1.9). Passo 2 usando o processo prático exposto acima determinamos os limites de integração. A saber: a = 0, b = 3, a(x) = 0 e b(x) = 3x− x2. 23 Integrais Duplas Figura 1.9: Limites para o domínio D A integral passa a ser escrita como: I = ∫ ∫ f(x, y)dxdy = ∫ 3 0 ∫ 3x−x2 0 y(3x− x2 − y)dydx Operando no integrando fazendo o produto por y temos: I = ∫ 3 0 ∫ 3x−x2 0 (y(3x− x2)− y2)dydx Passo 3 efetuando a integração em y temos: I = ∫ 3 0 ( y2 2 (3x− x2)− y 3 3 ) ∣∣∣3x−x2 0 dx Substituindo os limit3es de integração temos: I = ∫ 3 0 ( (3x− x2)2 2 (3x− x2)− (3x− x 2)3 3 )dx Efetuando as simplificações teremos: I = ∫ 3 0 (3x− x2)3 6 dx Expandindo o binômio de Newton temos: I = 1 6 ∫ 3 0 (27x3 − 27x4 + 9x5 − x6)dx Passo 4 efetuando a integração em x temos: I = 1 6 (27 x4 4 − 27x 5 5 + 9 x6 6 − x 7 7 ) ∣∣∣3 0 Substituindo os limit3es de integração temos: I = 1 6 (27 34 4 − 273 5 5 + 9 36 6 − 3 7 7 ) Efetuando os cálculos, garantido muito trabalho, temos: 24 Cálculo III AULA 1 I = 729 280 � 1.8 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita pela função a ser integrada, a integral dupla pode ser vista como o volume sob a superfície descrita pela função a ser duplamente integrada. RESUMO No nosso resumo da Aula 01 constam os seguintes tópicos: Integração Dupla: Domínios retangulares Considerando uma função f : R 7→ R onde R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} é um retângulo em R2. Podemos cobri-lo com uma malha de retas formada pela partição: P = P [R] = P [a, b]× P [c, d] onde cada P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xn = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , ym = d} são partições dos intervalos [a, b] em x e [c, d] em y respectivamente. A ma- lha divide R nos retângulos Ajk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], 1 ≤ j ≤ n, 1 ≤ k ≤ m de área ∆Ajk = ∆xj∆yk onde ∆xj = xj − xj−1 e ∆yk = yk − yk−1 são os comprimentos dos subintervalos Ij = [xj−1, xj ] e Jk = [yk−1, yk] respectivamente. Defini-se a norma da partição por: |P | = max 1≤j≤n 1≤k≤m (∆Ajk). Toma-se um ponto (ξj , ζk) ∈ 25 Integrais Duplas [xj−1, xj ]× [yk−1, yk] em cada retângulo Ajk e definimos a seguinte soma de Riemann: Snm = n∑ j=1 m∑ k=1 f(ξj , ζk)∆Ajk A integral dupla da função f(x, ) sobre o retângulo R, denotada∫ ∫ R f(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite:∫ ∫ R f(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Snm Integração Dupla: Domínios não Retangulares Para definir a integral dupla de uma função f : D ⊂ R2 7→ R onde D é não é uma região retangular, porém é limitada, co- meçamos por considerar uma função F definida em um domí- nio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal que D ⊂ R e F (x, y) = f(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D . Formalmente F : [a, b] × [c, d] 7→ R é uma extensão da função f(x, y). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da inte- gral dupla em domínios retangulares. Podemos definir a integral dupla de uma função f(x, y) em um domínio não retangular D por: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn onde: Smn = ∑m j=1 ∑n k=1 F (ξj , ζk)∆Ajk. é a soma de Riemann para F (x, y) Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R = 26 Cálculo III AULA 1[a, b]× [c, d] a ordem de execução das integrais simples não alteram o valor da integral dupla, que pode ser representada por: ∫ d c [∫ b a f(x, y)dx ] dy = ∫ b a [∫ d c f(x, y)dy ] dx . Propriedades das Integrais Duplas As integrais duplas são de certo modo semelhantes às propriedades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais duplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R,então vale: ∫ ∫ D cf(x, y)dxdy = c ∫ ∫ D f(x, y)dxdy Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: ∫ ∫ D (f + g)(x, y)dxdy = ∫ ∫ D f(x, y)dxdy + ∫ ∫ D g(x, y)dxdy Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D, então vale: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥ 0 27 Integrais Duplas Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R2 7→ R duas funções de valo- res reais integráveis em D tais que f(x, y) ≥ g(x, y), ∀(x, y) ∈ D, então vale: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy ≥ ∫ ∫ D g(x, y)dxdy Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R2 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de curvas em R2, então vale: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ ∫ A f(x, y)dxdy + ∫ ∫ B f(x, y)dxdy Determinação dos Limites de Integração Para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D seguimos os seguintes passos: Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 1.7) identificando as curvas inferior a(x) e superior b(x) que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmento AB na Fig. 1.7) Passo 3 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 1.7). 28 Cálculo III AULA 1Passo 4 Deslocar o segmento de reta AB paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 1.7). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg- mento de reta AB através da região D. O limite inferior para a variável y será a função a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ b(x) a(x) f(x, y)dydx PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos mudança de variáveis na in- tegração dupla. O objetivo da mudança de variáveis em uma in- tegral dupla será a de facilitar esta integração de uma de duas formas. A primeira será tornando o integrando mais simples. A segunda transformando o domínioD do integrando em um domínio de forma geométrica mais simples. ATIVIDADES Deixamos como atividades o cálculo de algumas integrais du- plas. ATIV. 1.1. Seja f : [−1,+1]× [−1,+1] 7→ R dada por f(x, y) = 29 Integrais Duplas x2 + y2. Determine a integral dupla ∫ ∫ R f(x, y)dxdy. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. ATIV. 1.2. Seja f : D ⊂ R2 7→ R dada por f(x, y) = x2 + y2, onde D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ 0 ≤ y ≤ 1− x2}. • Determine os limites da integral dupla ∫ ∫ D f(x, y)dxdy, • esboce a região de integração e • calcule a integral dupla ∫ ∫ D f(x, y)dxdy. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção o cálculo de integrais duplas dos exemplos acima, elas lhe servirão de guia. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN- GAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 30 Cálculo III AULA 12003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 31 AULA 2Mudança de Variáveis emIntegrais Duplas META: Introduzir mudança de variáveis em integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Calcular o jacobiano de aplicações de R2 em R2. Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 utilizando mudança de variáveis. Calcular integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2 em coordenadas polares. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do- mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01. Mudança de Variáveis em Integrais Duplas 2.1 Introdução Caros alunos a segunda aula do nosso curso de Cálculo III tem com o tema “Mudança de Variáveis em Integrais Duplas”. As vezes, na integral dupla ∫ ∫ D f(x, y)dxdy, dada a natureza ou de HISTÓRIA O teorema de mu- dança de variáveis em integrais duplas foi primeiro proposto por Euler quando ele desenvolveu a noção de integral dupla em 1769. Usado por Legendre, Laplace e Gauss, foi primeira- mente generalizado para n variáveis por Mikhail Ostrogradski em 1836, resistiu a uma demonstração mais rigorosa por longo tempo (cerca de 125 anos). E foi satisfató- riamente demonstrado por Elie Cartan em uma série de artigos nos anos 1890. f(x, y) ao do seu domínio D, fica mais fácil integrar se fizermos uma mudança nas variáveis de integração, como quando D é uma disco, um semi-disco, um setor circular ou mesmo uma faixa de disco, usando-se o sistema de coordenadas polares de modo geral a integral dupla é mais fácil de se determinar que em coordenadas cartesianas. 2.2 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Caros alunos começaremos revendo mudança de variáveis em integrais simples. Considere uma função f : [a, b] 7→ R. A idéia é mudar a variável inicial x para uma nova variável ξ relaciona- das por x = g(ξ), onde g(ξ) é uma função biunívoca estritamente crescente ou estritamente decrescente em [a, b]. Isto garante que podemos inverter a mudança de variáveis. Seja F (x) uma anti-derivada de f(x) tal que F ′(x) = f(x). Então, da regra da cadeia temos: d dξ F (g(ξ)) = F ′(g(ξ))g′(ξ) = f(g(ξ))g′(ξ). Integrando com respeito a ξ temos:∫ d dξ F (g(ξ))dξ = ∫ f(g(ξ))g′(ξ)dξ Das propriedades da integral temos: F (g(ξ)) + C = ∫ f(g(ξ))g′(ξ)dξ Como x = g(ξ) temos: F (x) + C = ∫ f(g(ξ))g′(ξ)dξ 34 Cálculo III AULA 2Como F (x) é uma primitiva de f(x) a primeira expressão é a in- tegral indefinida de f(x) com respeito a x e temos:∫ f(x)dx = ∫ f(g(ξ))g′(ξ)dξ Que representa a mudança de variáveis em uma integral simples. Para integrais definidas, se c = g(a) e d = g(b) então:∫ b a f(x)dx = ∫ d c f(g(ξ))g′(ξ)dξ A expressão acima funciona bem quando g(ξ) é crescente neste caso a < b e c < d. Porém, no caso de g(ξ) decrescente (g′(ξ) < 0) pois neste caso a < b e d < c e portanto o limite inferior da se- gunda integral não conhecide com o limite inferior do intervalo da imagem de g(ξ) o mesmo acontecendo com o limite superior. Neste caso, usando as propriedades da integral simples temos:∫ b a f(x)dx = − ∫ c d f(g(ξ))g′(ξ)dξ De outra forma escrevemos:∫ b a f(x)dx = ∫ c d f(g(ξ))|g′(ξ)|dξ. e operaremos os limites inferiores e superiors das integrais como os limites inferiores e superiores dos domínios (intervalos) e a expres- são acima vale tanto pra g(ξ) crescente quanto decrescente. Vamos OBSERVAÇÃO heurística heu.rís.ti.ca sf (gr heuristiké) 1 Ciência ou arte do pro- cedimento heurístico. 2 Método de ensino que consiste em que o educando chegue à verdade por seus pró- prios meios. 3 Ramo da ciência histórica que consistena pesquisa dos documentos do passado. agora diretamente ao assunto dando uma argumentação heurística para a expressão da mudança de variáveis em integrais duplas. Para isto, consideremos a integral dupla ∫ ∫ D f(x, y)dxdy sobre uma região D ∈ R2 do plano (x, y) e a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja a imagem do domínio D′ do plano (u, v) (podemos expressar este fato como D = T (D′)). Mais especificamente podemos escrever: x = xˆ(u, v) e y = yˆ(u, v) tomando uma partição para o domínio D′ no plano (u, v) cobrindo-o com pequenos retângulos e usando a transforma- ção T podemos levar o pequeno retângulo A′jk na pequena figura 35 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas plana Ajk = T (A′jk) (ver Fig 2.1 e Fig 2.2). A área do pequeno retângulo no plano (u, v) é ∆A′jk a área da pequena figura Ajk no plano (x, j), e ai é que reside a argumentação heurística, será apro- ximada pela área do paralelogramo formado pelos vetores ∂T ∂v ∆vk e ∂T ∂u ∆uj e pelas linhas tracejadas (paralelas aos respectivos veto- res). Do calculo vetorial temos: ∂T ∂u ∆uj = ∂xˆ ∂u ∆uj~i+ ∂yˆ ∂u ∆uj~j + 0~k. ∂T ∂v ∆vk = ∂xˆ ∂v ∆vk~i+ ∂yˆ ∂v ∆vk~j + 0~k Vistos como vetores de R3 e a área do paralelogramo (ver Vetores e Geometria Analítica) dada pelo módulo do seguinte produto ve- torial: ∆Ajk = ∣∣∣∂T ∂u ∆uj × ∂T ∂v ∆vk ∣∣∣. Fazendo o cálculo do produto vetorial temos: ∂T ∂u ∆uj × ∂T ∂v ∆vk = det ~i ~j ~k ∂xˆ ∂u ∆uj ∂yˆ ∂u ∆uj 0 ∂xˆ ∂v ∆vk ∂yˆ ∂v ∆vk 0 Fazendo os cálculos temos: ∂T ∂u ∆uj × ∂T ∂v ∆vk = (∂xˆ ∂u ∂yˆ ∂v − ∂xˆ ∂v ∂yˆ ∂u ) ∆uj∆vk~k. Tomando o módulo da expressão acima, para a área de Ajk, temos: ∆Ajk ≈ ∣∣∣∂xˆ ∂u ∂yˆ ∂v − ∂xˆ ∂v ∂yˆ ∂u ∣∣∣∆uj∆vk. A expressão dentro do módulo é o determinante de uma matrix 2 × 2 conhecida como jacobiano da transformação x = xˆ(u, v) e y = yˆ(u, v) e denotado: ∂(x, y) ∂(u, v) = det ∂xˆ∂u ∂yˆ∂u∂xˆ ∂v ∂yˆ ∂v = ∂xˆ ∂u ∂yˆ ∂v − ∂xˆ ∂v ∂yˆ ∂u . Como a área do pequeno retânguloA′jk é dada por ∆A ′ jk = ∆uj∆vk temos: ∆Ajk ≈ ∣∣∣∂(x, y) ∂(u, v) ∣∣∣∆A′jk. 36 Cálculo III AULA 2 Figura 2.1: Plano (u, v) Figura 2.2: Plano (x, y) O que nos leva a considerar a seguinte fórmula para a mudança de variáveis em integrais duplas:∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ ∫ D′ f(xˆ(u, v), yˆ(u, v)) ∣∣∣∂(x, y) ∂(u, v) ∣∣∣dudv. Que representa a mudança de variáveis na integral dupla pela transformação (x, y) = T (u, v). OBS 2.1. Para o caso particular da mudança de variáveis do sis- tema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = xˆ(r, ϑ) = r cos(ϑ) e y = yˆ(r, ϑ) = r sin(ϑ), o jacobiano é dado por: ∂(x, y) ∂(r, ϑ) = det ∂xˆ∂r ∂yˆ∂r∂xˆ ∂ϑ ∂yˆ ∂ϑ = det cos(ϑ) sin(ϑ) −r sin(ϑ) r cos(ϑ) = r. Portanto o jacobiano da transformação ∂(x, y) ∂(r, ϑ) = r a mudança de variáveis na integral dupla toma a forma:∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ ∫ D′ f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. OBS 2.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não re- tangular da forma: D em coordenadas polares. 37 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di- NOTA Por convenção a medida de ângulo tem sinal positivo quando o deslocamento é feito na direção anti-horária, direção contrária ao movimento dos pon- teiros do relógio e tem sinal negativo quando o deslocamento é feito na direção horária, direção do movimento dos ponteiros do relógio. reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando Figura 2.3: Determinação prática dos limites para D o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar- cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio ~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ β α ∫ β(ϑ) α(ϑ) f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ 38 Cálculo III AULA 22.3 Alguns Exemplos Caros alunos, nesta seção ilustraremos, com dois exemplos, a mudança de variáveis em integrais duplas. A rigor, trataremos apenas de exemplos em coordenadas polares. Exemplo 2.1. Determinar a integral dupla ∫ ∫ D f(x, y)dxdy onde D = {(x, y) ∈ R2|x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x2 + y2 ≤ 1} e f(x, y) = exp(−x2 − y2). O domínio da função representa um quarto de disco (Fig 2.4). Figura 2.4: Gráfico do exemplo 1 SOLUÇÃO: Passo 1 Como o domínio D é um quarto de disco, o mais ade- quado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Podemos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla em coordenadas polares (Fig 2.5) e verificar que: α = 0, β = pi 2 , α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = 1. Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈ R2|0 ≤ r ≤ 1∧0 ≤ ϑ ≤ pi/2}. E como x = r cos(ϑ) e y = r sin(ϑ) e 39 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Figura 2.5: Gráfico do exemplo 1 o módulo do jacobiano da transformação é dado por: ∣∣∣∣∂(x, y)∂(r, ϑ) ∣∣∣∣ = r. Quanto a variável r varia no intervalo [0, 1] independentemente de ϑ e a variável ϑ varia no intervalo [0, pi/2] ( a variação de ângulo no primeiro quadrante). Podemos reescrever a integral dupla como: I = ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ 1 0 ∫ pi/2 0 f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdϑdr Subs- tituindo f(x, y) temos: I = ∫ 1 0 ∫ pi/2 0 exp(−(r cos(ϑ))2 − (r sin(ϑ))2)rdϑdr Efetuando as simplificações temos: I = ∫ 1 0 ∫ pi/2 0 exp(−r2)rdϑdr Passo 2 Integrando primeiramente na variável ϑ e como o inte- grando não depende de ϑ temos: I = ∫ 1 0 exp(−r2)ϑ ∣∣∣pi/2 0 rdr Substituindo os limites de integração temos: I = pi/2 ∫ 1 0 exp(−r2)rdr Passo 3 A última integral (variável r) podemos efetuar por mu- dança de variáveis pondo ξ = r2 deste modo temos: dξ = 2rdr ou seja rdr = −1 2 dξ e os limites r 10 e ξ 10 . Daí, a integral 40 Cálculo III AULA 2passará a forma: I = pi/4 ∫ 1 0 exp(−ξ)dξ Cuja integração é fácil e da forma: I = pi/4− exp(−ξ) ∣∣∣1 0 Efetuando os cálculo temos: I = pi 4 (1− exp(−1)) � Vamos agora, diretamente ao nosso segundo exemplo. Trata-se de uma curva já conhecida de vocês (Cálculo II) a lemniscata. Exemplo 2.2. Determinar a área da região D, a parte da lemnis- cata, r = √ cos(2ϑ), que situa-se no primeiro quadrante. ver parte cinza da (Fig 2.6). Figura 2.6: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1 Como o domínio D é um quarto de uma lemniscata, o mais adequado é utilizar o sistema de coordenadas polares. Pode- mos usar o método prático de determinação dos limites da integral dupla em coordenadas polares (Fig 2.7) e verificar que: α = 0, 41 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas β = pi 4 , α(ϑ) = 0 e β(ϑ) = √ cos(2ϑ). Figura 2.7: Gráfico do exemplo 2 Neste caso podemos descrever o domínio como: D′ = {(r, ϑ) ∈ R2|0 ≤ ϑ ≤ pi/4 ∧ 0 ≤ r ≤ √cos(2ϑ)}. E como, neste exemplo, queremos calcular área temos que f(x, y) = 1 e em coordenadaspolares podemos escrever na forma da seguinte integral dupla: A = ∫ ∫ D dxdy = ∫ pi/4 0 ∫ √cos(2ϑ) 0 rdrdϑ Integrando em r temos: A = ∫ pi/4 0 r2 2 ∣∣∣√cos(2ϑ) 0 dϑ Substituindo os limites de integração temos: A = ∫ pi/4 0 (√ cos(2ϑ) )2 2 dϑ Simplificando o integrando temos: A = ∫ pi/4 0 cos(2ϑ) 2 dϑ Integrando na variável ϑ temos: A = sin(2ϑ) 4 ∣∣∣pi/4 0 Substituindo os limites de integração temos: A = sin(pi/2)− sin(0) 4 Portanto: A = 1 4 � 42 Cálculo III AULA 2 OBS 2.3. Caros alunos, é muito importante neste ponto uma revi- são cuidadosa e detalhada dos dois exemplos dados acima. Efetuar uma mudança de varáveis em integrais duplas não é tão simples quanto efetuar uma mudança de variáveis em integrais simples. 2.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a mudança de variáveis em integrais dupla, nos permite, facilitar o cálculo das ditas integrais quando trabalhamos com domínios de integração de geometrias específicas, como a induzida pelas coordenadas polares. RESUMO No nosso resumo da Aula 02 constam os seguintes tópicos: Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Consideramos a transformação (x, y) = T (u, v) tal que o domínio D do plano (x, y) seja transformado no domínio D′ do plano (u, v) (D = T (D′)) e mais especificamente x = xˆ(u, v) e y = yˆ(u, v). Definindo o jacobiano da transformação, denotado ∂(x, y) ∂(u, v) , por: ∂(x, y) ∂(u, v) = det ∂xˆ∂u ∂yˆ∂u∂xˆ ∂v ∂yˆ ∂v = ∂xˆ ∂u ∂yˆ ∂v − ∂xˆ ∂v ∂yˆ ∂u . Vale então,a seguinte fórmula para a mudança de variáveis en in- tegrais duplas: 43 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ ∫ D′ f(xˆ(u, v), yˆ(u, v)) ∣∣∣∂(x, y) ∂(u, v) ∣∣∣dudv. Sistema de Coordenadas Polares Para o caso particular da mudança de variáveis do sistema de co- ordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas polares no cálculo de integrais duplas temos: (x, y) = T (r, ϑ) = (r cos(ϑ), r sin(ϑ)) onde x = xˆ(r, ϑ) = r cos(ϑ) e y = yˆ(r, ϑ) = r sin(ϑ). Vale a seguinte transformação de variáveis: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ ∫ D′ f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ. Determinação dos Limites de Integração em Coordena- das Polares Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral dupla sobre domínio não retangular da forma: D em coordenadas polares. Passo 1 Fazer um desenho da região D (Fig. 2.3), identificando as curvas que limitam a região D. Passo 2 Atravessar toda a região D com um raio ~rrr(ϑ) orientado na direção positiva (Fig. 2.3) Passo 3 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção negativa do ângulo ϑ (di- reção horária) até tocar o ponto mais à negativa de D marcando o limite inferior de ϑ (ângulo α na Fig. 2.3). Passo 4 Deslocar o raio ~rrr(ϑ) na direção positiva do ângulo ϑ (direção anti-horária) até tocar o ponto mais à positiva de D mar- cando o limite inferior de ϑ (ângulo β na Fig. 2.3). Passo 5 Tomando um ponto qualquer ϑ ∈ (α, β) passamos o raio 44 Cálculo III AULA 2~rrr(ϑ) através de D o limite inferior para a variável r será a função α(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) entra na região D e o limite superior para a variável r será β(ϑ), ponto da curva onde o raio ~rrr(ϑ) sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ β α ∫ β(ϑ) α(ϑ) f(r cos(ϑ), r sin(ϑ))rdrdϑ PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos algumas das inúmeras aplica- ções da integral dupla. Nossa atenção estará voltada para o cálculo do centro de massa de perfis planos bem como no cálculo de seus momentos de inércia. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões. ATIV. 2.1. Determine a área da parte da cardióide r(ϑ) = 1 + cos(ϑ) que fica acima do eixo dos x (Fig 2.8) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia. ATIV. 2.2. Determine a área entre a cardióide r(ϑ) = 1+cos(ϑ) e o círculo r(ϑ) = 1 acima do eixo do x (Fig 2.9) que está em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos acima, eles lhe servirão de guia. 45 Mudança de Variáveis em Integrais Duplas Figura 2.8: Atividade 1 Figura 2.9: Atividade 2 LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN- GAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 46 AULA 3Algumas Aplicações daIntegral Dupla META: Apresentar algumas aplicações das integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Determinar área, massa, centro de massa, momento de massa e momento de inércia de figuras planas usando integrais duplas de funções de valores reais e domínio em R2. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do- mínio em R, da disciplina Cálculo I, curvas em R2 e coordenadas polares da disciplina Cálculo II e integrais duplas aula 01 e aula 02. Algumas Aplicações da Integral Dupla 3.1 Introdução Caros alunos nesta terceira aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Algumas Aplicações das Integrais Duplas”. Dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, veremos apenas duas pelo pouco tempo que dispomos. Veremos apenas como usar as inte- grais duplas para calcular a massa de uma região plana dada sua distribuição de densidade e como calcular seu centro de gravidade. Para outras aplicações recomendo uma busca na INTERNET 3.2 Preliminares Consideraremos uma região D ⊂ R2 finita, com uma distri- buição de densidade mássica superficial (massa por unidade de superfície) %(x, y),∀(x, y) ∈ D. Determinação da massa Para determinar a massa consideremos uma função Φ definida em um domínio retangular R = {(x, y) ∈ R2|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d} tal que D ⊂ R e Φ(x, y) = %(x, y) , (x, y) ∈ D0 , (x, y) /∈ D . Considerando a uma partição para o retângulo R dada por P = P [R] = P [a, b]×P [c, d], o produto cartesiano das partições P [a, b] e P [c, d] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xj , xj+1, . . . , xm = b} e P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yk, yk+1, . . . , yn = d}. Tomamos um ponto (ξj , ζk) ∈ [xj−1, xj ] × [yk−1, yk] em cada pequeno retângulo e definimos a seguinte soma de Riemann: Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 Φ(ξj , ζk)∆Ajk. 48 Cálculo III AULA 3A massa da regiãoD, denotadam(D), será a integral dupla da fun- ção %(x, y) sobre o domínio D ⊂ R2, denotada ∫ ∫ D %(x, y)dxdy será então definida como o seguinte limite: m(D) = ∫ ∫ D %(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn . OBS 3.1. Para a determinação do peso da região D toma-se a seguinte soma de Riemann: Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 g(ξj , ζk)Φ(ξj , ζk)∆Ajk onde g(ξj , ζk) é a aceleração da gravidade no ponto (ξj , ζk). E o peso da região D, denotado p(D), será dado pela integral dupla: p(D) = ∫ ∫ D g(x, y)%(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn . Determinação do Momento de Massa Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y). Para calcular o momento de massade um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O momento de massa total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 ξjΦ(ξj , ζk)∆Ajk . O momento de massa da região D em relação ao eixo y será dada 49 Algumas Aplicações da Integral Dupla pelo limite: My(D) = ∫ ∫ D x%(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn . De forma semelhante chega-se ao momento de massa da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 ζkΦ(ξj , ζk)∆Ajk . O momento de massa da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: Mx(D) = ∫ ∫ D y%(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn . Determinação do Centro de Massa O centro de massa de uma região plana D ⊂ R2 finita, com uma distribuição de densidade mássica superficial %(x, y), ∀(x, y) ∈ D, é o ponto (x¯, y¯) definido por: x¯ = My(D) m(d) = ∫ ∫ D x%(x, y)dxdy∫ ∫ D %(x, y)dxdy y¯ = Mx(D) m(d) = ∫ ∫ D y%(x, y)dxdy∫ ∫ D %(x, y)dxdy Determinação do Momento de Inércia Usando as mesmas considerações acima para o cálculo da massa 50 Cálculo III AULA 3de uma região D limitada com distribuição de densidade %(x, y). Para calcular o momento de inércia de um pequeno retângulo com relação ao eixo y tomamos o seguinte produto ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk. O momento de inércia total em relação ao eixo y para a região D será aproximado pelo limite da soma de Riemann: Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 ξ2jΦ(ξj , ζk)∆Ajk . O momento de inércia da região D em relação ao eixo y será dada pelo limite: Iy(D) = ∫ ∫ D x2%(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn . De forma semelhante chega-se ao momento de inércia da região D em relação ao eixo x tomando-se a seguinte soma de Riemann: Smn = m∑ j=1 n∑ k=1 ζ2kΦ(ξj , ζk)∆Ajk . O momento da região D em relação ao eixo x será dada pelo limite: Ix(D) = ∫ ∫ D y2%(x, y)dxdy def= lim |P |→0 Smn . O momento de inércia em relação a origem é dado pela seguinte integral dupla: 51 Algumas Aplicações da Integral Dupla I0(D) = ∫ ∫ D (x2 + y2)%(x, y)dxdy . 3.3 Algumas Aplicações da Integral Dupla Faremos duas aplicações da integral dupla ao cálculo do centro de massa de duas figuras planas. Na primeira usaremos o sistema de coordenadas cartesiano. Na segunda usaremos uma mudança de variáveis para o sistema de coordenadas polares. Vamos aos nossos exemplos. Exemplo 3.1. Para o primeiro exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região triangular D dada pela interseção das retas x = 0, y = 0 e a reta que passa pelos pontos (0, a) e (b, 0) com a, b > 0 (Fig 3.1), cuja densidade superficial de massa é constante %(x, y) = %. Figura 3.1: Gráfico do exemplo 1 52 Cálculo III AULA 3SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecio- nando a (Fig 3.1) e verificando que 0 ≤ x ≤ a e 0 ≤ y ≤ b(1− x a ) . Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec- tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D) e My(D) respectivamente. Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: m(D) = ∫ ∫ D %(x, y)dxdy = ∫ a 0 ∫ b(1−x/a) 0 %dydx Integrando em y temos: m(D) = % ∫ a 0 y ∣∣∣b(1−x/a) 0 dx Substituindo os limites de integração temos: m(D) = % ∫ a 0 b ( 1− x a ) dx Integrando em x temos: m(D) = %b ( x− x 2 2a )∣∣∣a 0 Substituindo os limites de integração temos: m(D) = %b ( a− a 2 2a ) Simplificando temos: m(D) = % ab 2 Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral dupla: Mx(D) = ∫ ∫ D %(x, y)ydxdy Substituindo os limites temos: Mx(D) = ∫ ∫ D %(x, y)ydxdy = ∫ a 0 ∫ b(1−x/a) 0 %ydydx Integrando em y teremos: Mx(D) = ∫ a 0 % y2 2 ∣∣∣b(1−x/a) 0 dx Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = ∫ a 0 (b(1− x/a))2 2 dx Simplificando o integrando temos: 53 Algumas Aplicações da Integral Dupla Mx(D) = % ∫ a 0 (b2 2 − b 2x a + b2x2 2a2 ) dx Integrando em x teremos: Mx(D) = % (b2x 2 − b 2x2 2a + b2x3 6a2 )∣∣∣a 0 Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % (b2a 2 − b 2a2 2a + b2a3 6a2 ) Simplificando as frações temos: Mx(D) = % b2a 6 Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral dupla: My(D) = ∫ ∫ D %(x, y)xdxdy My(D) = ∫ ∫ D %(x, y)xdxdy Substituindo os limites temos: My(D) = ∫ ∫ D %(x, y)xdxdy = ∫ a 0 ∫ b(1−x/a) 0 %xdydx Integrando em y teremos: My(D) = ∫ a 0 %xy ∣∣∣b(1−x/a) 0 dx Substituindo os limites de integração temos: My(D) = ∫ a 0 %bx ( 1− x a ) dx Integrando em x teremos: My(D) = %b (x2 2 − x 3 3a )∣∣∣a 0 Substituindo os limites de integração temos: My(D) = %b (a2 2 − a 3 3a ) Simplificando as frações temos: My(D) = % ba2 6 Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: x¯ = My(D) m(D) e y¯ = Mx(D) m(D) . Usando os resultados anteriores temos: 54 Cálculo III AULA 3 x¯ = % ba2 6 % ab 2 e y¯ = % b2a 6 % ab 2 Simplificando temos: x¯ = a 3 e y¯ = b 3 � Como segundo exemplo usaremos uma região em que o sistema de coordenadas polares facilita os cálculos. Exemplo 3.2. Para o segundo exemplo desejamos determinar o centro de massa de uma região D dada pelo quarto da coroa cir- cular de raio interno a e raio externo b que situa-se no primeiro quadrante (Fig 3.2), cuja densidade superficial de massa é cons- tante %(x, y) = %. Figura 3.2: Gráfico do exemplo 2 SOLUÇÃO: Começaremos por determinar os limites de integração inspecio- nando a (Fig 3.2) e verificando que 0 ≤ ϑ ≤ pi/2 e a ≤ r ≤ b. Em segundo calcularemos a massa da região D, m(D) e os respec- tivos momentos de massa com relação ao eixo x e ao eixo y Mx(D) e My(D) respectivamente. 55 Algumas Aplicações da Integral Dupla Passo 1 determinar a massa m(D), dada pela integral dupla: m(D) = ∫ ∫ D %(x, y)dxdy = ∫ pi/2 0 ∫ b a %rdrdϑ Integrando em r temos: m(D) = ∫ pi/2 0 % r2 2 ∣∣∣b a dϑ Substituindo os limites de integração temos: m(D) = % ∫ pi/2 0 (b2 2 − a 2 2 ) dϑ Integrando em ϑ temos: m(D) = % (b2 2 − a 2 2 ) ϑ ∣∣∣pi/2 0 Substituindo os limites de integração temos: m(D) = 1 4 %pi(b2 − a2) Passo 2 calcular o momento de massa Mx(D) dado pela integral dupla: Mx(D) = ∫ ∫ D %(x, y)ydxdy Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que y = r sin(ϑ) temos: Mx(D) = ∫ ∫ D %(x, y)ydxdy = ∫ pi/2 0 ∫ b a %r sin(ϑ)rdrdϑ Integrando em r temos: Mx(D) = % ∫ pi/2 0 sin(ϑ) r3 3 ∣∣∣b a dϑ Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % ∫ pi/2 0 sin(ϑ) (b3 3 − a 3 3 ) dϑ Integrando em ϑ temos: Mx(D) = % (b3 3 − a 3 3 ) (− cos(ϑ)) ∣∣∣pi/2 0 Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % (b3 3 − a 3 3 ) (− cos(pi/2)−− cos(0)) Simplificando temos: Mx(D) = 1 3 %(b3 − a3) Passo 3 calcular o momento de massa My(D) dado pela integral dupla: 56 Cálculo III AULA 3 My(D) = ∫ ∫ D %(x, y)xdxdy My(D) = ∫ ∫ D %(x, y)xdxdy Substituindo os limites em coordenadas polares e sabendo que x = r cos(ϑ) temos: Mx(D) = ∫ ∫ D %(x, y)ydxdy = ∫ pi/2 0 ∫ b a %r cos(ϑ)rdrdϑ Integrando em r temos: Mx(D) = % ∫ pi/2 0 cos(ϑ) r3 3 ∣∣∣b a dϑ Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % ∫ pi/2 0 cos(ϑ) (b3 3 −a 3 3 ) dϑ Integrando em ϑ temos: Mx(D) = % (b3 3 − a 3 3 ) (sin(ϑ)) ∣∣∣pi/2 0 Substituindo os limites de integração temos: Mx(D) = % (b3 3 − a 3 3 ) (sin(pi/2)− sin(0)) Simplificando temos: Mx(D) = 1 3 %(b3 − a3) Passo 4 Determinar o centro de massa de D pelas fórmulas: x¯ = My(D) m(D) e y¯ = Mx(D) m(D) . Usando os resultados anteriores temos: x¯ = y¯ = 1 3 %(b3 − a3) 1 4 %pi(b2 − a2) Levando em conta que b3 − a3 = (b− a)(b2 + ba+ a2) e b2 − a2 = (b− a)(b+ a) temos: x¯ = y¯ = 1 3 %(b− a)(b2 + ba+ a2) 1 4 %pi(b− a)(b+ a) Simplificando temos: x¯ = y¯ = 4 3pi . b2 + ba+ a2 b+ a � 57 Algumas Aplicações da Integral Dupla 3.4 Conclusão Na aula de hoje, vimos que dentre as inúmeras aplicações da integral dupla, dentro da área da física destacamos, entre outras, algumas das mais importantes que são: a determinação da massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o cálculo do momento de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade, o mo- mento de inércia de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade e o cálculo do centro de massa de uma região plana limitada por curvas, dada sua distribuição de densidade. RESUMO Massa, Momento de Massa e Momento de Inércia Dada uma regiãoD ∈ R2 plana limitada com distribuição de densi- dade superficial %(x, y) podemos calcular a massa deD, o momento de massa em relação ao eixo x, o momento de massa relativo ao eixo y, o momento de inércia em relação ao eixo x, o momento de inércia relativo ao eixo y e momento de inércia relativo a origem, denotados respectivamente m(D), Mx(D), My(D), Ix(D), Iy(D) e I0(D), pelas integrais duplas: m(D) = ∫ ∫ D %(x, y)dxdy Mx(D) = ∫ ∫ D %(x, y)ydxdy My(D) = ∫ ∫ D %(x, y)xdxdy Ix(D) = ∫ ∫ D %(x, y)y2dxdy 58 Cálculo III AULA 3 Iy(D) = ∫ ∫ D %(x, y)x2dxdy e I0(D) = ∫ ∫ D %(x, y)(x2 + y2)dxdy Centro de Massa Podemos também calcular o centro de massa, denotado (x¯, y¯) usando as seguintes fórmulas: x¯ = My(D) m(d) = ∫ ∫ D x%(x, y)dxdy∫ ∫ D %(x, y)dxdy y¯ = Mx(D) m(d) = ∫ ∫ D y%(x, y)dxdy∫ ∫ D %(x, y)dxdy PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula veremos as integrais triplas. Primeira- mente definindo-as para funções de domínios retangulares através do limite de somas de riemann estendendo a definição para funções definidas em domínios não retangulares porém limitados. ATIVIDADES Deixamos como atividades dois problemas de determinação do centro de massa. ATIV. 3.1. Determine o centro de massa da região D dada pela interseção das retas y = 0, x = 1 e y = ax2 (Fig 3.3) região em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as 59 Algumas Aplicações da Integral Dupla Figura 3.3: Atividade 1 Figura 3.4: Atividade 2 demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas cartesianas. ATIV. 3.2. Determine o centro de massa da região D dada pelo semi-círculo superior x2 + y2 = a2 (Fig 3.4) região em cinza. Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção as demonstrações acima, elas lhe servirão de guia. Use para este caso coordenadas polares. LEITURA COMPLEMENTAR ÁVILA, Geraldo, Cálculo 3: Funções de Várias Variáveis, Livros Técnicos e Científicos Editora, São Paulo, 3a edição, 1982. LEITHOLD, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica. Volume 2, Editora Harbra, 1994. STEWART, James,Cálculo. Volume 3, 5a edição, Editora CEN- GAGE Learning, 2009. SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2a edição, Makron Books do Brásil SP, 1994. 60 Cálculo III AULA 3THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003. KAPLAN, Wilfred, Cálculo Avançado Vol.1 e vol.2 Editora Edgard Blücher 1991.// SPIEGEL, Murray R. Cálculo Avançado, Editora McGraw-Hill do Brasil, 1971. BOUCHARA, Jacques, Cálculo Integral Avançado, EDUSP, 2006. 61 AULA 4Integrais triplas META: Apresentar integrais triplas de funções de valores reais e domínio em R3. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir integral tripla e calcular algumas integrais triplas de fun- ções de valores reais e domínio em R3. PRÉ-REQUISITOS Os conhecimentos de integrais de funções de valores reais com do- mínio em R, da disciplina Cálculo I. Integrais triplas 4.1 Introdução Caros alunos a quarta aula do nosso curso de Cálculo III com o tema “Integrais Triplas”. Bem como a integral dupla, vista na nossa primeira aula, a integração tripla, em essência, é uma extensão natural da integral simples vista em Cálculo I e definida como limite de somas de Riemann. Na prática, a integração tripla é dada HISTÓRIA A primeira técnica sistemática documen- tada para o cálculo de integrais triplas no cálculo de volume foi o método da exaustão de Eudoxus cerca de 370AC. O maior avanço no cálculo de integrais triplas veio do Iraque, no século 11, na figura de Ibn AL-Haythan (conhecido na Europa por Alhazen ). En- quanto resolvia o que ficou conhecido como “Problema de Alhazen” (um problema de ótica) ele calculou o volume de um parabolsóide usando um método de indução. Wikipédia. por três integrações simples, cada uma efetuada sobre uma variável e considerando as demais como constantes. É o que denominamos de integrais interadas. As características e detalhes próprios das integrais triplas serão vistas ao longo do nosso curso, nas próximas três aulas. 4.2 Integração Tripla: Domínios Paralelepípe- dais Começamos por considerar uma função φ definida em um do- mínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f}. Formalmente φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R. Usando a imaginação, pensemos em R retalhada por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos. Oficialmente, consideraremos três par- tições P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f} onde como visto em Cálculo I temos: x0 < x1 < · · · < xi < xi+1 < · · · < xl, y0 < y1 < · · · < yj < yj+1 < · · · < ym e z0 < z1 < · · · < zk < zk+1 < · · · < zn. Desta forma cada um dos pequenos subintervalos Ii = [xi−1, xi], Jj = 64 Cálculo III AULA 4[yj−1, yj ] e Kk = [zk−1, zk] têm comprimentos ∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1, respectivamente. Definimos, agora, a uma partição para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ]. Os planos retalham a região R em uma série de pe- quenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ]× [zk−1, zk], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralele- pípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk. Como tanto ∆xi quanto ∆yj quanto ∆zk são diferentes de zero, o volume de cada pequeno paralelepípedo é também diferente de zero. Podemos então definir a norma da partição por: |P | = max 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n (∆Vijk), que corresponde ao maior volume entre todos os pequenos paralelepípedos. Pausa para respirar que já vamos definir a integral tripla sobre do- mínios paralelepípedais. Para isto tomemos um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann: Slmn = l∑ i=1 m∑ j=1 n∑ k=1 φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, denotada ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- guinte limite: ∫ ∫ ∫ R φ(x,y, z)dxdydz def= lim |P |→0 Slmn 65 Integrais triplas 4.3 Integração Tripla: Domínios Não Paralele- pípedais Limitados Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R onde D é limitado não paralelepipedal, começamos por con- siderar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) = φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D0 , (x, y, z) /∈ D . Formal- mente Φ : [a, b] × [c, d] × [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z). Usando a imaginação, pensemos em R coberta por uma rede de planos paralelos aos planos coordenados e que dividem R em pequenos paralelepípedos e procedemos como na integral tripla sobre domínios paralelepípedais, considerando a uma parti- ção para o paralelepípedo R por P = P [R] = P [a, b] × P [c, d] × P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Do mesmo modo definimos a norma da partição por: |P | = max 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n (∆Vijk) onde ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk, ∆xi = xi − xi−1, ∆yj = yj − yj−1 e ∆zk = zk − zk−1. Tomamos um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann para a função estendida Φ(x, y, z): Slmn = l∑ i=1 m∑ j=1 n∑ k=1 Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk 66 Cálculo III AULA 4A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o domínio D ⊂ R3, denotada ∫ ∫ ∫ D φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- guinte limite:∫ ∫ ∫ D φ(x, y, z)dxdydz def= lim |P |→0 Slmn. Observem que, semelhante ao caso das integrais duplas, apenas os pequenos paralelepípedos cujo ponto escolhido pertence ao domínio D ⊂ R3, contribuem para a soma de Riemann os demais têm contribuição nula visto que o ponto escolhido dentro destes estão fora de D ⊂ R2 e portanto Φ(ξi, ζj , ηk) = 0. 4.4 Interpretação Geométrica Quando a função φ : D ⊂ R3 7→ R é constante e igual a um (φ(x, y, z) = 1,∀(x, y, z) ∈ D) e a região domínio D é limitada, vemos que a soma de Riemann aproxima o volume da região D e quanto maior for o refinamento da partição de R3 ⊃ R ⊃ D melhor será a aproximação. Podemos então, interpretar a integral tripla∫ ∫ ∫ D dxdydz como o volume da região D ⊂ R3. 4.5 Integrais Iteradas Dada uma função φ : R 7→ R onde R = [a, b]× [c, d]× [e, f ], do mesmo modo que na integral dupla, valem as integrais interadas: 1. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ b a [ ∫ d c [ ∫ f e φ(x, y, z)dz ] dy ] dx 2. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ b a [ ∫ f e [ ∫ d c φ(x, y, z)dy ] dz ] dx 67 Integrais triplas 3. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ d c [ ∫ b a [ ∫ f e φ(x, y, z)dz ] dx ] dy 4. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ d c [ ∫ f e [ ∫ b a φ(x, y, z)dx ] dz ] dy 5. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ f e [ ∫ d c [ ∫ b a φ(x, y, z)dx ] dy ] dz 6. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ f e [ ∫ b a [ ∫ d c φ(x, y, z)dy ] dx ] dz Em outras palavras, quando o domínio da integral tripla é parale- lepipedal a ordem de integração não importa. 4.6 Propriedades das Integrais Triplas Como nosso curso é de Cálculo, apenas listaremos, sem de- monstração, alguma das propriedades das integrais triplas. Caso desejem conhecer a demonstração de algumas destas propriedades, recomendo livros de Cálculo Avançado como os citados na biblio- grafia abaixo. Propriedade 4.1. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: ∫ ∫ ∫ D cf(x, y, z)dxdydz = c ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz Propriedade 4.2. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: ∫ ∫ ∫ D (f + g)(x, y, z)dxdydz = ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz + ∫ ∫ ∫ D g(x, y, z)dxdydz 68 Cálculo III AULA 4Propriedade 4.3. Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0, ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz ≥ 0 Propriedade 4.4. Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valo- res reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ D, então vale: ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz ≥ ∫ ∫ ∫ D g(x, y, z)dxdydz Propriedade 4.5. Seja f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D onde D = A ∪ B e A ∩ B é a união de um número finito de superfícies em R3, então vale: ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz = ∫ ∫ ∫ A f(x, y, z)dxdydz + ∫ ∫ ∫ B f(x, y, z)dxdydz OBS 4.1. As duas primeiras propriedades diz respeito à “line- aridade” do operador integral tripla. As terceira e quarta pro- priedades são denominadas “dominação” enquanto que a quinta propriedade é denominada “aditividade”. 4.7 Exemplos Nada mais natural que ilustrar um novo conceito com exem- plos e, vamos aqui fazer exatamente isto. Ilustrar o conceito de integral tripla com dois exemplos. Antes porém, vale observar 69 Integrais triplas que a na prática uma integral tripla equivale a três integrais sim- ples e neste caso uma pergunta fica no ar. Qual das duas variá- veis x, y ou z integraremos primeiro? Muito bem, a resposta é dada pela propria expressão da integral tripla. Isto é, na integral∫ ∫ ∫ R f(x, y, z)dxdydz primeiramente integramos na variável x, depois na variável y e por último na variável z. Já na integral∫ ∫ ∫ R f(x, y, z)dzdydx primeiramente integramos na variável z, depois na variável y e por último na variável x. Exemplo 4.1. Considere a função f : [0, 1] × [0, 1] × [0, 1] 7→ R dada por f(x, y) = x2 + y2 + z2 e determine a integral tripla I = ∫ ∫ R f(x, y, z)dxdydz sobre a região R = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 1 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}. SOLUÇÃO: Passo 1 colocaremos os limites de integração que representam a região R dada, segundo a ordem de integração: I = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ∫ 1 0 (x2 + y2 + z2)dxdydz Passo 2 integraremos na variável x considerando as variáveis y e z como constantes: I = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ( x3 3 + y2x+ z2x ) dydz Substituindo os limites de integração temos: I = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ( 13 3 − 0 3 3 + y2(1− 0) + z2(1− 0) ) dydz Efetuando os cálculos temos: I = ∫ 1 0 ∫ 1 0 ( 1 3 + y2 + z2 ) dy Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x como constante: 70 Cálculo III AULA 4 I = ∫ 1 0 ( 1 3 y + y3 3 + z2y ) ∣∣∣1 0 dz Substituindo os limites de integração temos: I = ∫ 1 0 ( 1 3 (1− 0) + 1 3 3 − 0 3 3 + z2(1− 0) ) dz Efetuando os cálculos temos: I = ∫ 1 0 ( 1 3 + 1 3 + z2 ) dz Passo 4 último passo, integraremos na variável z: I = ( 1 3 z + 1 3 z + z3 3 ) ∣∣∣1 0 Substituindo os limites de integração temos: I = ( 1 3 (1− 0) + 1 3 (1− 0) + 1 3 3 − 0 3 3 ) Efetuando os cálculos temos: I = 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1 � Figura 4.1: Determinação prática dos limites para D OBS 4.2. Daremos aqui um método prático para determinar os limites de integração em uma integral tripla sobre domínio não re- tangular da forma: D. Passo 1 Fazer um desenho da região D. (Fig. 4.1) identificando as superfícies inferior a(x, y) e superior b(x, y) que limitam a região 71 Integrais triplas D, bem como a sombra projetada no plano xy por D, denotada D∗ e identificar as curvas limites da região D∗ a(x) curva inferior e b(x) curva superior, como na AULA01. Passo 2 Atravessar toda a região D∗ e o eixo x com um segmento de reta paralelo e orientado na direção positiva ao eixo y (segmentor na Fig. 4.1) Passo 3 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di- reção negativa do eixo x até tocar o ponto mais à esquerda de D∗ marcando o limite inferior de x (ponto a na Fig. 4.1). Passo 4 Deslocar o segmento de reta r paralelo ao eixo y na di- reção positiva do eixo x até tocar o ponto mais à direita de D∗ marcando o limite superior de x (ponto b na Fig. 4.1). Passo 5 Tomando um ponto qualquer x ∈ (a, b) passamos o seg- mento de reta r através da região D∗ paralelo ao eixo y na direção positiva do eixo x. O limite inferior para a variável y será a fun- ção a(x), ponto da curva onde o segmento entra na região D∗ e o limite superior para a variável y será b(x), ponto da curva onde o segmento de reta sai da região D∗. Passo 6 Tomando um ponto qualquer (x, y) ∈ D∗ passamos o segmento de reta s através da região D, paralelo ao eixo z orien- tado na direção positiva de z. O limite inferior para a variável z será a função a(x, y), ponto da superfície onde o segmento entra na região D e o limite superior para a variável z será b(x, y), ponto da superfície onde o segmento de reta sai da região D. Nossa integral será efetuada assim: ∫ ∫ ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ b a ∫ b(x) a(x) ∫ b(x,y) a(x,y) f(x, y, z)dzdydx 72 Cálculo III AULA 4 Vamos diretamente para um segundo exemplo de integral dupla sobre domínios não retangulares. A saber: Exemplo 4.2. Considere a função f : D ⊂ R3 7→ R dada por f(x, y) = xyz e determine a integral dupla ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz sobre a região D = {(x, y, z) ∈ R3|0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2 ∧ 0 ≤ z ≤ 1}, (Fig. 4.2). Figura 4.2: Domínio D para o exemplo 2 SOLUÇÃO: Passo 1 faremos o desenho das superfícies que determinam os limites para a região D. A saber x = 0, x = 1, y = x2, x = 0 e z = 1 (Fig. 4.2). Usando o processo prático exposto acima determinamos os limi- tes de integração. A saber: a = 0, b = 1, a(x) = 0, b(x) = x2, a(x, y) = 0 e b(x, y) = 1. I = ∫ 1 0 ∫ x2 0 ∫ 1 0 xyzdzdydx Passo 2 integraremos na variável z considerando a variável y 73 Integrais triplas e x como uma constante: I = ∫ 1 0 ∫ x2 0 ( xy z2 2 ∣∣∣1 0 ) dydx Substituindo os limites de integração temos: I = ∫ 1 0 ∫ x2 0 ( xy 12 2 − xy0 2 2 ) ) dydx Efetuando os cálculos temos: I = 1 2 ∫ 1 0 ∫ x2 0 xydydx Passo 3 integraremos na variável y considerando a variável x constante temos: I = ∫ 1 0 x y2 2 ∣∣∣x2 0 dx Substituindo os limites de integração temos: I = 1 2 ∫ 1 0 ( x (x2)2 2 − x0 2 2 ) dx Efetuando os cálculos temos: I = 1 4 ∫ 1 0 x5dx Integrando , finalmente , na variável x temos: I = 1 4 ( x6 6 ∣∣∣1 0 ) Substituindo os limites de integração temos: I = 1 4 ( 16 6 − 0 6 6 ) Efetuando os cálculos temos: I = 1 24 � 4.8 Conclusão Na aula de hoje, vimos que a integral tripla é uma extensão natural do conceito de integral simples visto em Cálculo I e também uma extensão natural do conceito de integral dupla, vista em nossa primeira aula do curso de Cálculo III. E se por um lado a integral simples pode ser interpretada como a área sob a curva descrita por 74 Cálculo III AULA 4função positiva f(x) em um domínio [a, b] e a integral dupla pode ser vista como o volume de um prisma reto limitado superiormente pela a superfície descrita por uma função positiva f(x, y) e limitado inferiormente pelo domínio [a, b] × [c, d], a integral tripla só tem interpretação geométrica no caso simples em que f(x, y, z) = 1. Neste caso a integral tripla representa o volume da região limitada D ⊂ R3. RESUMO Integração Tripla: Domínios Paralelepipedais Considerando uma função φ definida em um domínio paralelepi- pedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f}. Podemos dividir R em pequenos paralelepípedos considerando os planos paralelos ao planos cartesianos gerados pela partição P = P [R] = P [a, b]×P [c, d]×P [e, f ], o produto cartesiano das partições P [a, b], P [c, d] e P [e, f ] onde P [a, b] = {x0 = a, x1, . . . , xi, xi+1, . . . , xl = b}, P [c, d] = {y0 = c, y1, . . . , yj , yj+1, . . . , ym = d} e P [e, f ] = {z0 = e, z1, . . . , zk, zk+1, . . . , zn = f}. Os planos retalham a região R em uma série de pequenos paralelepípedos Vijk = [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk], 1 ≤ i ≤ l, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. O volume de cada pequeno paralelepípedo é dado por ∆Vijk = ∆xi∆yj∆zk. A norma da partição fica estabelecida como: |P | = max 1≤i≤l 1≤j≤m 1≤k≤n (∆Vijk). Toma-se um ponto (ξi, ζj , ηk) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk] em cada pequeno paralelepípedo e definimos a seguinte soma de Riemann: 75 Integrais triplas Slmn = l∑ i=1 m∑ j=1 n∑ k=1 φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk A integral tripla da função φ(x, y, z) sobre o paralelepípedo R, denotada ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz será então definida como o se- guinte limite:∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz def= lim |P |→0 Slmn Integração Tripla: Domínios Não Paralelepípedais Limi- tados Para definir a integral tripla de uma função φ : D ⊂ R3 7→ R onde D é não paralelepipedal limitado, começamos por conside- rar uma função Φ definida em um domínio paralelepipedal R = {(x, y, z) ∈ R3|a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d ∧ e ≤ z ≤ f} tal que D ⊂ R e Φ(x, y, z) = φ(x, y, z) , (x, y, z) ∈ D0 , (x, y, z) /∈ D . Formalmente Φ : [a, b]× [c, d]× [e, f ] 7→ R é uma extensão da função φ(x, y, z). A partir daqui todo o procedimento é semelhante ao da definição da integral tripla em domínios paralelepipedais. Podemos definir a integral tripla de uma função φ(x, y, z) em um domínio não re- tangular D por: ∫ ∫ ∫ D φ(x, y, z)dxdydz def= lim |P |→0 Slmn onde Slmn = ∑l i=1 ∑m j=1 ∑n k=1 Φ(ξi, ζj , ηk)∆Vijk é a soma de Rie- mann para Φ(x, y, z. Integrais Iteradas As integrais iteradas dizem que em um domínio retangular R = [a, b]× [c, d]× [e, f ] a ordem de execução das integrais simples não 76 Cálculo III AULA 4alteram o valor da integral tripla, que pode ser representada por: 1. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ b a [ ∫ d c [ ∫ f e φ(x, y, z)dz ] dy ] dx 2. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ b a [ ∫ f e [ ∫ d c φ(x, y, z)dy ] dz ] dx 3. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ d c [ ∫ b a [ ∫ f e φ(x, y, z)dz ] dx ] dy 4. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ d c [ ∫ f e [ ∫ b a φ(x, y, z)dx ] dz ] dy 5. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ f e [ ∫ d c [ ∫ b a φ(x, y, z)dx ] dy ] dz 6. ∫ ∫ ∫ R φ(x, y, z)dxdydz = ∫ f e [ ∫ b a [ ∫ d c φ(x, y, z)dy ] dx ] dz Propriedades das Integrais triplas As integrais triplas são, de certo modo, semelhantes às proprie- dades das integrais simples que vimos em Cálculo I sendo quase que uma extensão natural destas. As integrais triplas têm, entre outras, as seguintes propriedades: Propriedade 1 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D e c ∈ R, então vale: ∫ ∫ ∫ D cf(x, y, z)dxdydz = c ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz Propriedade 2 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D, então vale: ∫ ∫ ∫ D (f + g)(x, y, z)dxdydz = ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz + ∫ ∫ ∫ D g(x, y, z)dxdydz 77 Integrais triplas Propriedade 3 Sejam f : D ⊂ R3 7→ R uma função de valores reais integrável em D tal que f(x, y, z) ≥ 0,∀(x, y, z) ∈ D, então vale: ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz ≥ 0 Propriedade 4 Sejam f, g : D ⊂ R3 7→ R duas funções de valores reais integráveis em D tais que f(x, y, z) ≥ g(x, y, z),∀(x, y, z) ∈ D, então vale: ∫ ∫ ∫ D f(x, y, z)dxdydz ≥ ∫ ∫ ∫ D g(x, y, z)dxdydz Propriedade 5 Seja f : D ⊂ R3 7→
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