Oscilador Duffing

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Oscilador Harmoˆnico Amortecido
Drausio de Castro
Italo Jo´se Juliano
Millerlandy Cruz Go´mez
Maio de 2015
1. Introduc¸a˜o
Quando trata-se de um sistema de massa-mola-amortecedor e´ necessa´rio mo-
delar, para que possa achar os valores procurados, ale´m de distinguir qual tipo
de amortecimento possui. Soeiro (2008) explica que a modelagem matema´tica
e´ feita a partir de um conjunto de equac¸o˜es diferenciais que constituem um
sistema mecaˆnico. Para isso se utiliza a 2a Lei de Newton (Eq.1), Princ´ıpio de
D’Alembert (Eq.2), Conservac¸a˜o de Energia (Eq.3) e as Equac¸a˜o de Lagrange-
Euler (Eq.4). ∑
i
Fi = mx¨ (1)∑
i
(Fi −mx¨) δri = 0 (2)
4 Emec = 4 U +4 K = 0 (3)
S(q) =
∫ b
a
L(t, qt, q
′
t) = 0 (4)
Em geral estas equac¸o˜es sa˜o diferenciais ordina´rias lineares de 2a ordem e esta˜o
acopladas entre si, ou seja, as varia´veis dependentes e suas derivadas aparecem
em mais de uma equac¸a˜o. Sendo, para solucionar tal problema, sa˜o utilizados o
me´todo nume´rico, Transformada de Laplace e o Cla´ssico. Em sistemas mecaˆnicos
podem aparecer molas em paralelo ou em se´rie, sendo assim, sera´ definido o que
devera´ ser feito em cada circunstaˆncia.
2. Molas
2.1. Molas em paralelo
O sistema da Fig.1, tem molas em paralelo as quais sa˜o fixadas a um bloco
de massa m. A meta e´ definir qual a rigidez equivalente desta combinac¸a˜o de
molas visando modelar o sistema com uma u´nica mola.
Utilizando a segunda lei de Newton:
F = k1x+ k2 + ......+ knx (5)
1
Figura 1: . Molas paralelas.
2
Figura 2: . Molas em serie.
Colocando x em evideˆncia:
F = x(k1 + k2 + .......+ kn) (6)
Analisando a Equac¸a˜o observa-se que a rigidez equivalente para um sistema com
molas em paralelo e´ dada por:
keq =
n∑
i=1
ki (7)
2.2. Molas em serie
Ja´ o sistema da Figura 2. tem molas em se´rie que sa˜o fixadas a um bloco
de massa m. Novamente a meta e´ definir qual a rigidez equivalente desta com-
binac¸a˜o de molas. Novamente utilizando a 2a Lei de Newton e tendo em conta
que o deslocamento em cada mola e´ o mesmo, tem-se:
x = x1 + x2 + x3 + ......+ xn =
F
k1
=
F
k2
=
F
kn
(8)
Resolvendo a Equac¸a˜o (8), isolando F , chega-se em:
F =
x∑n
i=1
1
ki
(9)
Assim, pode-se concluir que para um sistema com molas em se´rie a rigidez
equivalente e´ descrita por:
keq =
1∑n
i=1
1
ki
(10)
3. Sistema Amortecido
De acordo com Halliday (2006) o amortecimento representa a capacidade
do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento
se apresenta o amortecimento viscoso, assim por representar a forc¸a dissipativa
proporcionada por um fluido viscoso. Esta forc¸a tem como caracter´ıstica prin-
cipal ser proporcional a` velocidade relativa entre as superf´ıcies em movimento
quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a
equac¸a˜o diferencial do movimento seja uma DCL.
A Figura 3 (a) mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com
amortecimento. Se a forc¸a de amortecimento for de natureza viscosa, o diagrama
3
Figura 3: Sistema amortecido de 1GDL (amortecimento viscoso).
de corpo livre da Figura 3 (b), ao se aplicar a 2a Lei de Newton, permite que
escreva a equac¸a˜o:
meqx¨+ ceqx˙+ keqx = Fexterna (11)
A frequeˆncia natural (ωn) do sistema e´ dada por:
ωn =
√
keq
meq
(12)
A constante da amortecimento cr´ıtico (cc) e´ definida como o valor de ceq que
faz con que o discriminante ∆ se anule, este que estara´ apresentado na equac¸a˜o
abaixo:
∆ =
( cc
2meq
)2 − ( keq
meq
) = 0 (13)
Isolando a constante de amortecimento cr´ıtico e substituindo a equac¸a˜o (12),
tem-se que:
cc = 2meqωn (14)
Conforme Abreu (2007), a constante de amortecimento cc da´ uma indicac¸a˜o da
relac¸a˜o entre a forc¸a de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes do
movimento. Ela, pore´m na˜o proporciona uma visa˜o da quantidade de amorteci-
mento que atua sobre o sistema real, uma vez que uma forc¸a de amortecimento
pode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, funda-
mentalmente das massas envolvidas e da rigidez.
Define-se enta˜o que factor de amortecimento e´ uma quantidade adimensional e
na˜o depende da ordem de grandeza do paraˆmetro do sistema, indicando expres-
samente o quanto o sistema esta´ sendo amortecido.
0 factor de amortecimento e´ definido como a relac¸a˜o entre a constante de amor-
tecimento do sistema e a constante de amortecimento cr´ıtica:
ξ =
c
cc
(15)
De acordo com o valor de ξ, se tem treˆs possibilidade de tipo de amortecimento:
4
Figura 4: Sistema sub-amortecido.
3.1. Caso I: Sub-amortecido 0 < ξ < 1
Abreu afirma que neste caso o efeito do amortecimento esta´ presente na
amplitude decrescente, representando a dissipac¸a˜o de energia vibrato´ria. A fre-
queˆncia de oscilac¸a˜o agora na˜o e´ mais frequeˆncia natural e sim a chamada
frequeˆncia da vibrac¸a˜o livre amortecida
ωd = ωn
√
1− ξ2 (16)
Havendo deslocamento,
x = A.e−ξωn (17)
3.2. Caso II: Criticamente amortecido ξ = 1
A constante de amortecimento c e´ igual a constante de amortecimento cr´ıtico
cc. Sendo assim a soluc¸a˜o do sistema e´ dada por:
xt = e
−ωnt[(x˙0 + wxx0)t+ x0] (18)
Na figura 5 e´ mostrada a resposta para va´rios valores da condic¸a˜o inicial dex˙0.
Silva (2008) explica que um sistema amortecido criticamente quando perturba-
do por certas condic¸o˜es iniciais, retorna a posic¸a˜o de equil´ıbrio no tempo mais
ra´pido sem oscilar. Um exemplo cla´ssico de aplicac¸a˜o deste sistema e´ o dispo-
sitivo amortecedor em portas de elevador, caso solte a porta bruscamente esta
na˜o bate violentamente, mas volta para a posic¸a˜o de equil´ıbrio suavemente.
3.3. Caso III:Super amortecido ξ > 1
Neste caso, a constante de amortecimento c e´ maior que a constante de
amortecimento cr´ıtico cc implicando que as ra´ızes da EDO sa˜o reais e diferentes.
5
Figura 5: Sistema criticamente amortecido.
Segundo Soeiro (2008) o movimento super amortecido na˜o e´ oscilato´rio. A figura
6 abaixo deixa isto claro.
4. ABSORVEDOR
.Absorvedores dinaˆmicos sa˜o dispositivos passivos que alteram as caracter´ısti-
cas dinaˆmicas de um sistema mecaˆnico, alterando as suas frequeˆncias naturais.”
(Campos) Estes que abordam sistemas massa-mola-amortecedor definidos os
paraˆmetros de montagem, assim permitindo reduzir a resposta forc¸ada de uma
ma´quina a uma dada frequeˆncia de excitac¸a˜o.
Alves complementa preferindo que os absorvedores t´ıpicos consistem de um dis-
positivo inercial, podendo ser um oscilador massa-mola, um oscilador pendular,
um fluido, uma estrutura ela´stica cont´ınua ou um sistema eletromecaˆnico. Em
1902, Frahm investigou a importaˆncia do estudo da vibrac¸a˜o torsional no proje-
to de eixos propulsores de barcos a vapor. O absorvedor dinaˆmico de vibrac¸a˜o,
que envolve a adic¸a˜o de um sistema massa-mola secunda´rio para eliminar as
vibrac¸o˜es de um sistema principal, foi tambe´m proposto por Frahm em 1909.
Fernandes cita que ha´ tempo e´ conhecida a` teoria dos Absorvedores Dinaˆmicos
de Vibrac¸o˜es (ADVs), pore´m e´ apenas recentemente, devido a` globalizac¸a˜o da
informa´tica, e´ que se tornou via´vel a aplicac¸a˜o de te´cnicas de controle para sua
utilizac¸a˜o na pra´tica.
6
Figura 6: Sistema super amortecido.
Pesquisas nesta a´rea teˆm sido motivadas devido a` crescente exigeˆncia de baixo
ru´ıdo e de precisa˜o dos equipamentos industriais, sobretudo no que diz respeito
a`s ma´quinas operatrizes e a` nanotecnologia. Por serem ativas nos mais diversos
tipos de equipamentos, encontra-se nas tubulac¸o˜es um ponto chave para a re-
duc¸a˜o dos n´ıveis globais de vibrac¸a˜o em tais ma´quinas.
Hartog (1956) explica que o funcionamento dos ADVs baseia-se no princ´ıpio
da antirressonaˆncia, ou seja, dado um sistema principal que vibra sob uma ex-
citac¸a˜o,acoplar a ele um sistema secunda´rio que gere uma forc¸a de mesma
amplitude, direc¸a˜o e frequeˆncia e em oposic¸a˜o de fase a` excitac¸a˜o. Diversos au-
tores mostraram analiticamente que isto ocorre quando a frequeˆncia natural da
estrutura secunda´ria e´ igual a` frequeˆncia de excitac¸a˜o. Bies (1996) recomenda os
ADVs quando ocorrem problemas de vibrac¸a˜o numa faixa estreita de vibrac¸a˜o.
Existem treˆs tipos de absorvedores dinaˆmicos de vibrac¸o˜es: passivos, semi-ativos
ou adaptativos e os ativos. Eles se distinguem justamente pela maneira como
geram tal forc¸a. Os passivos e os adaptativos na˜o utilizam fontes de energia
externa para gera´-la, se distinguem entre si pelo fato de que o adaptativo, como
o nome sugere, e´ capaz de se ajustar a diferentes frequeˆncias. Diferentemente,
os ativos utilizam atuadores, normalmente eletromecaˆnicos, para isso.
4.1. Absorvedores Dinaˆmicos sem amortecimento aplica-
dos a sistemas de um grau de liberdade
Os desenvolvimentos anal´ıticos apresentados a seguir, sa˜o baseados nos tra-
balhos de Den Hartog (1956), Dimaragonas (1996) e Cunha Jr. (1999). A Figura
7 ilustra um sistema vibrato´rio de dois graus de liberdade, sem amortecimento.
Deseja-se atenuar as vibrac¸o˜es do subsistema prima´rio (m1, k1) acoplando a este
sistema o absorvedor dinaˆmico de vibrac¸o˜es, que e´ o subsistema (m2, k2).
Introduz-se uma excitac¸a˜o harmoˆnica de amplitude F0 e frequeˆncia fixa Ω, apli-
7
Figura 7: Modelo de uma estrutura prima´ria com absorvedor dinaˆmico na˜o
amortecido.
cada a` massa m1, representada pela seguinte expressa˜o:
F(t) = F0e
iΩt (19)
As equac¸o˜es do movimento do sistema acoplado, representado na figura 7, sa˜o:
m1x¨1(t) + (k1 + k2)x1(t) − k2x2(t) = F(t) (20)
m2x¨2 + k2[x2(t) − x1(t)] = 0 (21)
Em regime permanente, as respostas harmoˆnicas sa˜o expressas segundo:
x1(t) = X1e
iΩt (22)
x2(t) = X2e
iΩt (23)
Fazendo as devidas diferenciac¸o˜es e substituindo as equac¸o˜es (20 e 22) na
equac¸a˜o (19), obteˆm-se as seguintes equac¸o˜es alge´bricas:
X1(−m1Ω2 + k1 + k2)− k2X2 = F0 (24)
k2X1 +X2(−m2Ω2 + k2) = 0 (25)
Deste modo conclui-se que:
X1
F0k
−1
1
=
[1− ( Ωωa )2]
[1 + k2k1 − ( Ωωa )2][1− ( Ωωa )2]− k2k1
(26)
Na equac¸a˜o (26), quando o numerador [1−( Ωωa )2] e´ zero, a amplitude da respos-
ta X1 do sistema prima´rio anula-se. Para isso, deve-se ter a condic¸a˜o Ω = ωA.
Isto explica o princ´ıpio ba´sico do funcionamento do ADV, que consiste no fato
que, escolhendo os valores dos paraˆmetros (m2, k2) de modo que Ω =
√
k2
m2
, a
8
Figura 8: FRF pontual na massa prima´ria m1, para m2/m1= 0,2.
resposta da massa prima´ria m1, tera´ amplitude nula para esta frequeˆncia de
excitac¸a˜o.
A Figura 8 mostra graficamente um exemplo da func¸a˜o representada na equac¸a˜o
(26). Nota-se a func¸a˜o resposta em frequeˆncia t´ıpica de um sistema de dois graus
de liberdade, com dois picos de ressonaˆncia referente a`s suas duas frequeˆncias
naturais. Ao introduzir-se o ADV, aparece uma antirressonaˆncia na FRF pon-
tual da massa m1, a` frequeˆncia Ω = ωA.
Assim nota-se que o sistema absorvedor exerce sobre o sistema prima´rio uma
forc¸a igual, pore´m oposta a` forc¸a de excitac¸a˜o, equilibrando, enta˜o, este u´lti-
mo sistema. Os ADVs sa˜o mais frequentemente utilizados para atuar de forma
a reduzir os n´ıveis de vibrac¸o˜es do sistema prima´rio quando este se encontra
operando com frequeˆncia de excitac¸a˜o igual ou muito pro´xima a` sua frequeˆncia
natural. Sendo assim, a frequeˆncia natural do sistema absorvedor deve coincidir
com frequeˆncia natural do sistema prima´rio, de modo a satisfazer:
k2
m2
=
k1
m1
−→ ωn = ωa (27)
Partindo das Equac¸o˜es 24 e 25, e reescrevendo-as em termos de paraˆmetros
adimensionais, as FRFs do sistema prima´rio e do ADV, se tem:
X1
F0k
−1
1
=
[1− g2]
[1 + µ− g2][1− g2]− µ (28)
X2
F0k
−1
1
=
[1− g2]
[1 + µ− g2][1− g2]− µ (29)
onde g = Ωωn ; µ =
m2
m1
; ω2n =
k1
m1
= k2m2 Igualando o denominador a` zero, este
se torna uma equac¸a˜o quadra´tica em g2 com duas ra´ızes distintas. Existem,
enta˜o, dois valores de Ω que anulam o denominador da equac¸a˜o (28), fazendo
com que as amplitudes X1 e X2 tendem ao infinito. Esse dois valores de as duas
9
Figura 9: Variac¸a˜o das frequeˆncias naturais do sistema acoplado em func¸a˜o de
µ, conforme a equac¸a˜o 30
frequeˆncias naturais do sistema acoplado, dadas pela reac¸a˜o:
g2 = 1 +
µ
2
±
√
(µ+
µ2
4
) (30)
Este ca´lculo permite prever as frequeˆncias naturais do sistema de dois graus de
liberdade. A figura 9 mostra um gra´fico da func¸a˜o expressa pela eq. (30) para
diversos valores da raza˜o de massas µ. Nota-se, para µ = 0, 1, o aparecimento de
duas frequeˆncias naturais do sistema acoplado em 0,85 e 1,17 vezes a frequeˆncia
natural do sistema prima´rio, considerado isoladamente. Observa-se tambe´m que
o afastamento entre as duas frequeˆncias naturais aumenta com o aumento da
raza˜o das massas.
De acordo com Dimaragonas (1996), a banda de frequeˆncias na qual o ADV na˜o
amortecido e´ eficiente e´ geralmente muito estreita. De fato, conforme pode ser
observado na figura 8, pequenas variac¸o˜es na frequeˆncia de excitac¸a˜o em torno
de g = 1 podem conduzir a reduc¸o˜es significativas da capacidade de absorc¸a˜o
do ADV.Ale´m disso, duas ressonaˆncias adjacentes a Ω = ωn, apresentando am-
plitudes de vibrac¸a˜o elevadas, continuam a existir. Assim, o projeto o´timo de
absorvedores dinaˆmicos de vibrac¸a˜o deve objetivar, principalmente, a ma´xima
absorc¸a˜o em uma dada banda de frequeˆncias a mais ampla poss´ıvel em torno de
uma frequeˆncia nominal. Isso pode ser conseguido com a introduc¸a˜o, no absorve-
dor, de mecanismos para a dissipac¸a˜o de energia. O amortecimento desempenha
ainda a importante func¸a˜o de limitar as amplitudes de vibrac¸a˜o do pro´prio ab-
sorvedor, o que permite atender a restric¸o˜es de projeto e limitar as tenso˜es de
fadiga. Den Hartog (1956) complementa com a teoria dos ADVs de um grau
de liberdade com amortecimento viscoso, acoplados a sistemas prima´rios na˜o
amortecidos.
10
4.2. Absorvedores Dinaˆmicos com Amortecimento Visco-
sos aplicados a sistemas de um grau de liberdade
Considere-se o ADV com amortecimento viscoso (m2, c2, k2) acoplado ao
sistema prima´rio na˜o amortecido (m1, k1), mostrado na figura 9, para o qual as
equac¸o˜es do movimento descrevem a seguinte:
m1x¨1(t) + k1x1(t) + k2[x1(t) − x2(t)] + c2[x˙1(t) − x˙2(t)] = F0eiΩt (31)
m2x¨2(t) + k2[x2(t) − x1(t)] + c2[x˙2(t) − x˙1(t)] = 0 (32)
Expressando as equac¸o˜es em notac¸a˜o complexa em regime harmoˆnico perma-
nente tem-se:
−m1Ω2X1 + k1X1 + k2(X1 −X2) + jΩc2(X1 −X2) = F0 (33)
−m2Ω2X2 + k2(X2 −X1) + jΩc2(X2 −X1) = F0 (34)
Resolvendo estas equac¸o˜es para X1 e X2, obte´m-se, para sistema prima´rio, a
seguinte expressa˜o:
X1 = F0
(k1 −m2Ω2) + jΩc2
[(−m1Ω2 + k1)(−m2Ω2 + k2)] + jΩc2(−m1Ω2 + k1 −m2Ω2) (35)
Onde X1 e X2 sa˜o quantidades complexas, as demais quantidades sa˜o reais e
j =
√−1 e´ a unidade imagina´ria. Pode-se reduzia a equac¸a˜o (35) a` seguinte
forma:
X1 = F0(A1 + jB1 (36)
Sendo A1 e B1 func¸o˜es reais. O significado associado a` equac¸a˜o (36) e´ o de que,
na representac¸a˜o vetorial, o deslocamento X1 consiste de duas componentes,
uma em fase com a forc¸a F0 e a outra com uma diferenc¸a de fase
Π
2 no plano
complexo. Adicionando geometricamente esses vetores, a magnitude de X1 pode
ser expressa por:
|X1| = F0
√
(A21 +B
2
1) (37)
Definindo os seguintes termos adimensionais:
Xest =
F0
k1
(38)
f =
ωa
ωn
(39)
Assim, da equac¸a˜o (33) obte´m-se a seguinte expressa˜o em termos dos paraˆmetros
adimensionais:
|X1|
Xest
=
√
(2µg)2 + (g2 − f2)2
(2ηg)2(g2 − 1 + µg2)2 + [µf2g2 − (g2 − 1)(g2 − f2)]2 (40)
A equac¸a˜o (40) representa a func¸a˜o resposta em frequeˆnciapontual relativa ao
sistema prima´rio. Ela esta´ mostrada graficamente na figura 10 para uma raza˜o
de massa µ = 120 e raza˜o de frequeˆncia unita´ria, fazendo-se variar o fator de
amortecimento η = ξ . Pode-se observar que para µ = 0, tem-se o caso sem
11
Figura 10: FRFs relativas a` massa m1, para diferentes valores do amortecedor
do ADV
amortecimento mostrado anteriormente, para o qual as amplitudes de desloca-
mento nas ressonaˆncias tornam-se infinitas. Por outro lado, quando se utiliza
um amortecimento alto (µ = 50), as duas massas ficam virtualmente ligadas en-
tre si, tendo-se essencialmente um sistema de um grau de liberdade com massa
m1 +m2, com uma amplitude de um grau de liberdade amortecido, ora a`quelas
de um sistema de dois graus de liberdade amortecido, cujas amplitudes ma´xi-
mas sa˜o definidas pelo valor do amortecimento. Tambe´m observado na figura
10, que a introduc¸a˜o do amortecimento no sistema absorvedor proporciona uma
diminuic¸a˜o nas amplitudes numa banda de frequeˆncias mais larga em torno de
Ω
ωn
= 1, em comparac¸a˜o com os ADVs sem amortecimento.
E´ importante destacar a presenc¸a dos pontos invariantes P e Q mostrados na
u´ltima figura, pelos quais sempre passa a FRF, independente do fator de amor-
tecimento η . Den Hartog (1956) propoˆs um procedimento de otimizac¸a˜o que
consiste na determinac¸a˜o de um conjunto o´timo de paraˆmetros f e η que conduz
os dois pontos invariantes a uma mesma amplitude, com a curva de resposta
possuindo inclinac¸a˜o nula em ambos os pontos.
5. Osciladores Harmoˆnicos: Aplicac¸o˜es Pra´ticas
1. Balanc¸as:Representa uma aplicac¸a˜o cla´ssica de osciladores harmoˆnicos
com amortecimento cr´ıtico. Ao efetuarmos um pesagem, espera-se que
a leitura estabilize-se no menor tempo poss´ıvel ao inve´s de ficar oscilando
por um longo per´ıodo.
2. Vibrac¸o˜es Mecaˆnicas: E´ o movimento de uma part´ıcula ou de um corpo que
12
oscila em torno de uma posic¸a˜o de equil´ıbrio. Uma vibrac¸a˜o mecaˆnica surge
geralmente quando um sistema e´ deslocado da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio
esta´vel. Em geral, quando o sistema tende voltar sob a acc¸a˜o de forc¸as de
restituic¸a˜o, ultrapassa esta posic¸a˜o. A repetic¸a˜o deste processo e´ chamado
movimento oscilato´rio. O intervalo de tempo necessa´rio para o sistema
completar um ciclo de movimento chama-se per´ıodo de vibrac¸a˜o. O nu´mero
de ciclos por unidade de tempo define a frequeˆncia, e o deslocamento
ma´ximo do sistema medido a partir da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio chama-se
amplitude de vibrac¸a˜o.
3. Fluxo de corrente em circuitos ele´tricos (vibrac¸o˜es ele´tricas): A ressonaˆncia
de um circuito ele´trico e´ que permite que um ra´dio seja sintonizado em
uma determinada esta c¸a˜o.
4. Oscilador Harmoˆnico Forc¸ado.
Batimentos: A nomenclatura batimento vem de acustica: cada nota
musical tem uma frequeˆncia propria; quando uma nota basica e a nota
correspondente do instrumento musical sa˜o tocadas simultaneamente,
havera´ batimento caso suas frequeˆncias divirjam ligeiramente. Afinar
o instrumento significa ajusta´-lo de modo a evitar batimentos.
Ressonaˆncia: frequeˆncia natural.
• Muralhas de Jerico´: A suposic¸a˜o de alguns estudios contem-
poraˆneos sa˜o as muralhas de Je´rico, onde a ressonaˆncia acu´stica
causou o desmoronamento delas ” Ergueu, pois, o povo o grito de
guerra e fizeram ressoar as trompas. Logo que o som da trompa
chegou aos ouvidos da multida˜o, levantou-se enorme clamor e as
muralhas ca´ıram sobre si mesmas. . . Josue´ 6:20 ”
• Tac¸as de cristal:vibrac¸o˜es acu´sticas podem ser ta˜o destrutivas
quanto grandes oscilac¸o˜es mecaˆnicas. Cantores de o´pera conse-
guem quebrar um ca´lice com o poder de suas vozes. Sons emitidos
por orga˜os e flautins sa˜o capazes de quebrar janelas.
• Marchar sobre pontes suspensas (Franc¸a – 1850):Os soldados ge-
ralmente na˜o passam marchando sobre uma ponte. A raza˜o disso
e´ simplemente evitar qualquer possibilidade de ressonaˆncia.
• Queda de avio˜es comerciais (1959 – 1960): Um avia˜o comercial
ultrapassou uma velocidade cr´ıtica provocando trepidac¸a˜o exces-
siva da he´lice e do motor; essa vibrac¸a˜o externa foi enta˜o trans-
ferida para a asa, que ja apresentava seu pro´prio movimento os-
cilatorio de modo que a amplitude de movimento foi tamanha
que a asa partiu-se.
• Colapso da Ponte Tacoma (USA - 1940): O fenoˆmeno da res-
sonaˆncia desempenha um papel importante no projeto de sis-
temas mecaˆnicos nos quas ha´ forc¸as vibrato´rias, pois a grandes
amplitudes previstas podem ocasionar uma ruptura do sistema.
A ponte Tacoma foi um exemplo deste fenoˆmeno aqui a forc¸a ex-
terna apareceu como conseque¨ncia da ma´ aerodinaˆmica da ponte.
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Referencias
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University – Engineering Department.2000.
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