CALCULO I Aula3

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0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 13
0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais
Definic¸a˜o 0.2.1. Uma func¸a˜o f e´ uma regra que associa a cada elemento de um
conjunto A a um u´nico elemento de um conjunto B.
f : A→ B
• A e´ o domı´nio da func¸a˜o (A ⊆ R);
• B e´ o contradomı´nio da func¸a˜o (B ⊆ R);
• O conjunto de todos os valores assumidos por y = f(x), ∀x ∈ A e´ chamado
imagem da func¸a˜o.
Exemplo 0.2.2. Considere uma regra que associa cada objeto x de uma papelaria a
seu prec¸o y.
Figura 14: Representac¸a˜o por diagrama de uma func¸a˜o
• x1 =caneta azul bic, x2 =la´pis de escrever Faber Castell, x3 =folha sulfite
Chamex, x4 = borracha,
• y1 = prec¸o de x1, y2 = prec¸o de x2, y3 = prec¸o de x3.
Observac¸a˜o 0.2.3. Na˜o existe a possibilidade de ser encontrada, em uma papelaria,
uma caneta azul Bic com o prec¸o de R$3.00 e R$4.00 ao mesmo tempo, mas um la´pis
e uma borracha podem custar o mesmo valor.
Figura 15: Representac¸a˜o por diagrama de uma func¸a˜o e na˜o func¸a˜o
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Figura 16: Representac¸a˜o por diagrama de uma func¸a˜o e na˜o func¸a˜o
Um elemento de A na˜o pode ser levado em dois elemento do conjunto B, mas dois
elementos de B podem ser levados em um u´nico do conjunto A.
O me´todo mais comum de visualizar uma func¸a˜o e´ pelo seu gra´fico. Se f e´ uma
func¸a˜o com domı´nio em A, enta˜o seu gra´fico sera´ o conjunto dos pares ordenados
Gr = {(x, f(x))/x ∈ A}.
Figura 17: Representac¸a˜o gra´fica de uma func¸a˜o e na˜o func¸a˜o
Exemplo 0.2.4. Considere a func¸a˜o f : A→ B definida pela regra f(x) = 2x2−x+1,
com A = [−1, 1] e B = R. Construa o gra´fico da func¸a˜o.
Figura 18: Representac¸a˜o gra´fica da func¸a˜o f(x) = 2x2 − x+ 1
0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 15
0.2.1 Determinar o dom´ınio de uma func¸a˜o
Para determinarmos o domı´nio de uma func¸a˜o, precisamos encontrar quais restric¸o˜es
devem ser colocadas sobre a varia´vel x, caso existam. Em muitas aplicac¸o˜es pra´ticas,
o domı´nio de uma func¸a˜o e´ ditado pela natureza do problema.
Exemplo 0.2.5. Determine o domı´nio da func¸a˜o que representa o volume da caixa
abaixo e encontre x para que o volume da caixa seja de 32cm3.
Figura 19: Caixa do Exemplo 0.2.5
Os lados de uma caixa devem ser sempre positivos. Dessa forma, temos as seguintes
restric¸o˜es
10− 2x > 0 e x > 0.
−2x > −10 e x > 0
(−1)− 2x < (−1)− 10 e x > 0
x < 5 e x > 0.
Portanto, a func¸a˜o volume da caixa e´ dada por V (x) = (10− 2x)4x = 40x− 8x2 e seu
domı´nio e´ dado por DV = {x ∈ R/0 < x < 5}. Fazendo V (x) = 32, tem-se
40x− 8x2 = 32
−8x2 + 40x− 32 = 0.
Resolvendo o Ba´skara, temos que x1 = 1 e x2 = 4. Portanto, para esses valores de x
teremos V (x) = 32, ou seja, V (1) = 32 e V (4) = 32.
Exemplo 0.2.6. Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
√
5x− 2.
Sabemos que 5x − 2 ≥ 0, enta˜o x ≥ 2
5
. Portanto, o domı´nio da func¸a˜o sera´
Df = {x ∈ R/x ≥ 25}.
Exemplo 0.2.7. Encontre o domı´nio da func¸a˜o g(x) = 1
x−2 .
Sabemos que x− 2 6= 0, enta˜o x 6= 2. Portanto, o domı´nio da func¸a˜o e´ Dg = {x ∈
R/x 6= 0}.
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Exemplo 0.2.8. Encontre o domı´nio da func¸a˜o h(x) =
√
5x−2
x−2 .
Temos duas restric¸o˜es nessa func¸a˜o
R1 : 5x− 2 ≥ 0 e R2 : x− 2 6= 0.
Enta˜o, o domı´nio da func¸a˜o h sera´ a intersec¸a˜o entre R1 e R2. Como R1 = {x ∈ R/x ≥
2
5
} e R2 = {x ∈ R/x 6= 2}, enta˜o Dh = R1 ∩R2 = {x ∈ R/x ≥ 25 e x 6= 2}.
Exemplo 0.2.9. Determine o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
√
x
3
√
x−1 .
Temos duas restric¸o˜es nessa func¸a˜o
R1 : x ≥ 0 e R2 : x− 1 6= 0.
Enta˜o, o domı´nio da func¸a˜o f sera´ a intersec¸a˜o entre R1 e R2. Como R1 = {x ∈ R/x ≥
0} e R2 = {x ∈ R/x 6= 1}, enta˜o Dh = R1 ∩R2 = {x ∈ R/x ≥ 0 e x 6= 1}.
Exemplo 0.2.10. Encontre o domı´nio da func¸a˜o g(x) =
√
x−1
x+2
.
Sabemos que x−1
x+2
≥ 0. Enta˜o, estudando o sinal dessa frac¸a˜o podemos dizer que
Figura 20: Estudo do sinal de x−1
x+2
Dg = {x ∈ R : x < −2} ∪ {x ∈ R/x ≥ 1}. Note que x = 2 na˜o entra no conjunto do
domı´nio pois este valor causa uma indeterminac¸a˜o (divisa˜o por zero), ja´ o x = 1 entra
no conjunto do domı´nio pois estamos interessados nos valores de x que tornam a frac¸a˜o
ser nula.
Exerc´ıcios
1- Calcule f(−1) e f(1
2
) sendo f(x) = −x2 + 2x.
2- Calcule g(0), g(2) e g(
√
2) sendo g(x) = x
x2−1 .
3- Calcule f(a+b)−f(a−b)
ab
sendo f(x) = 3x+ 1.
4- Simplifique f(x)−f(p)
x−p (x 6= p) sendo dados:
(a)f(x) = 2x+ 1, (b)f(x) = 1
x
.
5- Deˆ o domı´nio das func¸o˜es abaixo:
(a)f(x) = 3x, (b)g(x) = −x, (c)h(x) = −x+ 1,
(d)f(x) = 2x+ 1, (e)f(x) = −2, (f)h(x) = 1
3
x+ 5
3
,
(g)h(x) = x
2−1
x−1 , (h)f(x) = |x+ 2|, (i)g(x) = x
2−2x+1
x−1 ,
(j)g(x) = |x|
x
, (k)f(x) = |x−1|
x−1 , (l)h(x) =
|2x+1|
2x+1
,
(m)f(x) = 1
x−1 , (n)y =
x
x2−1 , (o)y =
2x
x2+1
,
0.2 Func¸o˜es de uma varia´vel real a valores reais 17
(p)f(x) = x
x+2
, (q)h(x) =
√
x+ 2, (r)g(x) = x+1
x2+x
,
(s)y =
√
x−1
x+1
, (t)y = 3
√
x2 − x, (u)f(x) = 2x+1
x−2 ,
(v)y = 6
√
x−3
x+2
, (x)y = 4
√
x
x+3
, (z)y =
√
x
3
√
x−1 .
6- Considere a func¸a˜o f(x) = |x− 1|+ |x− 2|. Mostre que
f(x) =


−2x+ 3, x ≤ 1
1, 1 < x < 2
2x− 3 x ≥ 2
Gabarito
1- f(−1) = −3 e f(1
2
) = 3
4
.
2- g(0) = 0, g(2) = 2
3
, g(
√
2) =
√
2.
3- 6
a
.
4- (a)2, (b)−1
xp
.
5- (a)Df = R (b)Dg = R (c)Dh = R,
(d)Df = R (e)Df = R (f)Dh = R,
(g)Dh = {x ∈ R/x 6= 1} (h)Df = R (i)Dg = {x ∈ R/x 6= 1},
(j)Dg = {x ∈ R/x 6= 0} (k)Df = {x ∈ R/x 6= 1} (l)Dg = {x ∈ R/x 6= −12 },
(m)Df = {x ∈ R/x 6= 1} (n)Dy = {x ∈ R/x 6= ±1 (o)Dy = R,
(p)Df = {x ∈ R/x 6= −2} (q)Dh = {x ∈ R/x ≥ −2 (r)Dg = {x ∈ R/x 6= 0 e x 6=
−1},
(s)Dy = {x ∈ R/x < −1 ou x ≥ 1} (t)Dy = R (u)Df = {x ∈ R/x 6= 2},
(v)Dy = {x ∈ R/x < −2 ou x ≥ 3}, (x)Dy = {x ∈ R/x < −3 ou x ≥ 0} (z)Dy =
{x ∈ R/x > 0 e x 6= 1},
———————————————————————-
	Introdução a teoria dos conjuntos
	Primeiros conceitos 
	Relação entre conjuntos
	Operação entre conjuntos
	Conjunto dos números reais
	Módulo de um número real
	Existência de raízes
	Funções de uma variável real a valores reais
	Determinar o domínio de uma função