P3 Equações Diferenciais 2016 UFRGS

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P3 Equa��es Diferenciais 2016 1/1 - Quest�o 1.pdf
P3 Equa��es Diferenciais 2016 1/2 - Quest�es 2, 3 e 4.pdf
P3 Equa��es Diferenciais 2016 1/3 - Quest�o 5.pdf
P3 Equa��es Diferenciais 2016 1/4 - Quest�es 6 e 7 ( sem resolu��o. n�o recebi o rascunho de vo.pdf
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Disciplina - MAT01167
Equac¸o˜es diferenciais II/ Turma E1
Prova 3 - 14/07/2017
Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Total
Nome: Nu´mero do carta˜o:
Interpretac¸a˜o do enunciado faz parte da avaliac¸a˜o. Na˜o sera˜o tiradas du´vidas durante a prova.
Questo˜es:
1. (1,5pt) Considere o seguinte problema de valor de contorno:{
y′′ = 0
y(0) = pi, y(pi) = 2pi
Assinale e complete (se necessa´rio) a alternativa correta.
a. ( ) O problema na˜o possui soluc¸a˜o.
b. ( ) O problema possui uma u´nica soluc¸a˜o,
que e´ dada por
azxzxzxzxzwewewasasdadsasdasdasdasdasdaasdads .
c. ( ) O problema possui infinitas soluc¸o˜es,
que sa˜o dadas por
assdsdsdsdsfdfdfdfsdsddasdasdasdasdasdas .
2. (2,5pt) Encontre todos os valores de λ para os quais o problema abaixo tenha soluc¸o˜es na˜o
triviais e exiba as correspondentes soluc¸o˜es.{
y′′ − λy = 0
y(0) = 0, y(pi) = 0
3. (3pt) Pelo me´todo da separac¸a˜o de varia´veis, resolva a EDP
ut = uxx (0 < x < pi, 0 < t < +∞)
u(0, t) = 0 , u(pi, t) = 0 (0 < t < +∞)
u(x, 0) = 7 sen(3x) + 3 sen(7x) (0 < x < pi)
4. (2pt) Resolva o seguinte problema que tem uma condic¸a˜o de fronteira na˜o homogeˆnea
ut = uxx (0 < x < pi, 0 < t < +∞)
u(0, t) = pi , u(pi, t) = 2pi (0 < t < +∞)
u(x, 0) = x+ pi + 7 sen(3x) + 3 sen(7x) (0 < x < pi)
1
5. (1pt) Considere o seguinte problema de Dirichlet:

urr +
1
r
ur +
1
r2
uθθ = 0, r > 1, 0 < θ < pi
u(r, 0) = u(r, pi) = 0, r > 1
u(1, θ) = f(θ) 0 < θ < pi
na regia˜o ilimitada D = {(r, θ) : r > 1, 0 < θ < pi}.
Calcule a soluc¸a˜o limitada deste problema.
2
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