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UNIDADE IV: INTEGRAIS MÚLTIPLAS 4.1. SOMAS DE RIEMANN. PROPRIEDADES DA INTEGRAL MÚLTIPLA. O TEOREMA DE FUBINI. (INTEGRAIS REPETIDAS) 4.2. SISTEMAS DE COORDENADAS. O TEOREMA DE MUDANÇA DE VARIÁVEL 4.3. COORDENADAS POLARES. COORDENADAS CILÍNDRICAS. COORDENADAS ESFÉRICAS 4.4. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 4.5. CÁLCULO DE ÁREAS. VOLUMES. MASSAS. CARGAS ELÉTRICAS. CENTRO DE MASSA. MOMENTO DE INÉRCIA. ETC. Integrais Múltiplas Integrais Duplas Suponha que seja definida em uma região retangular dada por Imaginamos como estando coberto por uma rede de retas paralelas aos eixos x e y. A região assim é dividida em pequenos retângulos de área Formamos a soma f(x, y) R R : a � x � b, c � y � d R �A = �x�y Sn = n� k=1 f(xk, yk)Ak Se é contínua em , então, à medida que refinamos a largura da rede para fazermos tanto quanto tenderem a zero, as somas na equação aproximam um limite chamado de Integral Dupla de em . ou Assim, f R �x �y f R� � R f(x, y)dA � � R f(x, y)dxdy ⇥ ⇥ R f(x, y)dA = lim �A�0 n� k=1 f(xk, yk)�Ak 1. Múltiplo constante : 2. Soma e Diferença 3. Dominação se em se em 4.Aditividade se for a união de dois retângulos não sobrepostos e � � R kf(x, y)dA = k � � R f(x, y)dA � � R (f(x, y)± g(x, y))dA = � � R f(x, y)dA± � � R g(x, y)dA� � R f(x, y)dA � 0 f(x, y) � 0 R� � R f(x, y)dA � � � R g(x, y)dA f(x, y) � g(x, y) R � � R f(x, y)dA = � � R1 f(x, y)dA+ � � R2 f(x, y)dA R R1 R2 R1 R2 Quando é positiva, podemos interpretar a integral dupla de em uma região retangular como o volume do prisma sólido limitado inferiormente por e superiormente pela superfície . Integrais Duplas como Volume f(x, y) f R R z = f(x, y) V olume = limSn = � � R f(x, y)dA Definimos o Volume de sólidos com base curva da mesma maneira que definimos o volume de sólidos com base retangular. Teorema de Fubini Se for contínua na região retangular Então f(x, y) R : a � x � b, c � y � d � � R f(x, y)dA = � d c � b a f(x, y)dxdy = � b a � d c f(x, y)dydx Teorema de Fubini 2 Seja contínua em uma região . 1. Se for definida por , com e contínuas em , então f(x, y) R R a � x � b g1(x) � y � g2(x) g1 g2 [a, b]� � R f(x, y)dA = � b a � g2(x) g1(x) f(x, y)dydx Teorema de Fubini 2 Seja contínua em uma região . 2. Se for definida por , com e contínuas em , então f(x, y) R R c � y � d h1(y) � x � h2(y) h1 h2 [c, d]� � R f(x, y)dA = � d c � h2(y) h1(y) f(x, y)dxdy Área, Momento e Centro de Massa A área de uma região plana fechada e limitada éR A = � � R dA Massa e primeiros momentos para placas finas que cobrem regiões no plano xy Densidade massa primeiros momentos centro de massa M = � � R �(x, y)dA �(x, y) Mx = � � R y�(x, y)dA My = � � R x�(x, y)dA x¯ = My M y¯ = Mx M Momentos de inércia para placas finas no plano xy Em relação ao eixo x Em relação ao eixo y Em relação à origem (momento polar) Em relação a uma reta onde é a distância de até Ix = � � R y2�(x, y)dA Iy = � � R x2�(x, y)dA I0 = � � R (x2 + y2)�(x, y)dA = Ix + Iy IL = � � R r2(x, y)�(x, y)dA L r(x, y) (x, y) L Raios de rotação Em relação ao eixo x Em relação ao eixo y Em relação a origem Rx = � Ix M Ry = � Iy M R0 = � I0 M Integrais triplas : Volume de uma região no espaço O volume de uma região D fechada e limitada no espaço é V = � � � D dV Massa e momentos para objetos no espaço massa densidade primeiros momentos em relacão aos planos coordenados centro de massa M = � � � D �dV � = �(x, y, z) Myz = � � � D x � dV Mxz = � � � D y � dV Mxy = � � � D z � dV x¯ = Myz M y¯ = Mxz M z¯ = Mxy M Momento de Inércia com relação aos eixos coordenados Momento de Inércia com relação a uma reta é a distância do ponto à reta Raio de rotação em relação a uma reta Ix = � � � D (y2 + z2)�dV Iy = � � � D (x2 + z2)�dV Iz = � � � D (x2 + y2)�dV L IL = � � � D r2 � dV r(x, y, z) (x, y, z) L L RL = � IL M
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