Calc2 lista07

Prévia do material em texto

Se´tima lista de exerc´ıcios de MA211 – Ca´lculo II
Exerc´ıcios do livro: J. Stewart, Ca´lculo Vol. II , Pioneira Thompson Learning, 2001.
Todos os exerc´ıcios das Sec¸o˜es 15.1, 15.2 e 15.3, indicados na pa´gina
http://www.ime.unicamp.br/˜ma211/antiga/exercicios.html
Quarta ou Quinta edic¸a˜o do livro.
Exerc´ıcio 1. Este exerc´ıcio nos mostra que pode acontecer que as integrais iteradas existam, sem que
exista a integral mu´ltipla. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =
{
1, se x e´ irracional,
2y, se x e´ irracional,
definida em R = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. Mostre que∫ 1
0
∫ 1
0
f(x, y)dxdy = 1,
mas que ∫∫
R
f(x, y)dA,
(definida atrave´s das somas de Riemann), na˜o existe. Explique porque este fato na˜o contradiz o Teorema
de Fubini (note que f e´ limitada).
Sugesta˜o: Considere somas de Riemann com pontos (xi, xj) racionais e prove que nesse caso o limite
e´ 1. Em seguida, escolha ate´ y = 1/2 pontos (xi, xj) de tal forma que xi e´ irracional e, para y > 1/2,
escolha (xi, yj) racionais.
Exerc´ıcio 2. Calcule as integrais:
a)
∫ ∞
1
∫ 1
e−x
1
x3y
dydx b)
∫ 1
−1
∫ 1/√1−x2
−1/√1−x2
(2y + 1)dydx c)
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
1
(x2 + 1)(y2 + 1)
dydx
Exerc´ıcio 3. Integre a func¸a˜o f(x, y) =
1
(x2 − x)(y − 1)2/3 no retaˆngulo infinito 2 ≤ x ≤ ∞, 0 ≤ y ≤ 2.
Exerc´ıcio 4. Qual a regia˜o R do plano xy que maximiza o valor de∫∫
R
(4− x2 − 2y2)dxdy?
(Na˜o e´ necessa´rio calcular a integral para responder a esta questa˜o!)
Exerc´ıcio 5. Calcule a integral ∫ 2
0
(arctanpix− arctanx)dx.
Sugesta˜o: Encontre uma func¸a˜o f(y) tal que
arctanpix− arctanx =
∫ pix
x
f(y)dy.
Substitua tal expressa˜o na integral. Apo´s isso, mude a ordem de integrac¸a˜o, tomando o cuidado de mudar
os limites de integrac¸a˜o da maneira correta. O resultado devera´ ser∫ 2
0
(arctanpix− arctanx)dx = 2 arctan 2pi − 2 arctan 2− 1
2pi
ln(1 + 4pi2) +
ln 5
2