INTEGRAL DEFINIDA

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Profª. Silviane Rodrigues 
Disciplina: CCE0115 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
2018/1º 
 
Aula 5: Integrais Múltiplas 
Integral Definida (recordando) 
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um 
número real, e é indicada pelo símbolo: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
onde: 
 a é o limite inferior de integração; 
 b é o limite superior de integração; 
 f(x) é o integrando. 
Se representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se representa a área entre as curvas, para 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela de Algumas Integrais Indefinidas 
 
Exemplos: 
 
 
Integrais Múltiplas 
Assim como a integral definida de uma função positiva de uma variável representa a área entre o gráfico e 
o eixo x, a integral dupla de uma função de duas variáveis representa o volume entre o gráfico e o plano 
que contém seu domínio. Se houver mais de duas variáveis, a integral representa o volume de funções 
multidimensionais, como, por exemplo, no retângulo. 
 
Integrais Duplas Sobre Retângulos 
Começamos nosso estudo de integrais duplas abordando o tipo mais simples de região plana: um 
retângulo 
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Integrais Duplas Como Volume 
 
 
 
Observação: 
Em matemática, uma soma de Riemann é um método para aproximação da área total inferior à curva em 
um gráfico, de outro modo conhecida como uma integral. 
 
 
 
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Teorema de Fubini (primeira forma) para o Cálculo de Integrais Duplas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo1: 
 
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Exemplo 2: Calcule ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑹 para f(x,y) = 100 – 6x
2y e R: 0 ≤ x  2, -1  y  1. Resp: 400 
Exemplo 3: Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo paraboloide elíptico z = 10 + x2 + 
3y2 e inferiormente pelo retângulo R: 0 ≤ x  1, 0  y  2. Resp: 86/3. 
 
Integrais Duplas sobre Regiões Não Retangulares Limitadas 
Volume 
Se f(x,y) é positiva e contínua sobre R, definimos o volume da região sólida entre R e a superfície z = f(x,y) 
como ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅 . 
Se R é uma região delimitada “acima” e “abaixo” pelas curvas y=g1(x) e y = 
g2(x) e nos lados pelas retas x = a e x = b, podemos calcular o volume pelo 
Teorema de Fubini (forma mais forte). 
 
 
 
De maneira similar, se R é uma região delimitada pelas curvas x = h2(y) 
e x = h1(y) e pelas retas y = c e y = d. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: 
 
 
 
 
Encontrando Limites de Integração 
 
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Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia: 
Cálculo – Volume 2. George B. Thomas. Pearson. 12ª Edição 
Cálculo – Volume2 – 5ª Edição. Stewart, James. Ed. Thomson, 2006.