Lista 7 campos vetorias

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Lista 7 - Campos Vetoriais
CA´LCULO III
7a LISTA DE EXERCI´CIOS
Prof. Aˆnderson Vieira
Campos Vetoriais
1. Considere a transformac¸a˜o (x, y) = ϕ(θ, ρ) dada por x = ρ cos(θ) e y = ρ sin(θ). Desenhe o
conjunto ϕ(B), onde B = {(ρ, θ)|1 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
2. Considere a transformac¸a˜o ϕ : R2 → R2 dada por x = u+ v e y = u− v. Desenhe ϕ(B)
(a) sendo B a reta v = 0
(b) sendo B o quadrado 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1.
3. Mostre que a transformac¸a˜o ϕ do exerc´ıcio anterior transforma o c´ırculo u2+v2 ≤ r2 no c´ırculo
x2 + y2 ≤ 2r2.
4. Desenhe a imagem de σ(u, v) = (cos v, sin v, u), com 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ 2π.
5. (Coordenadas esfe´ricas) Seja P = (x, y, z) e considere a terna (θ, ρ, ϕ), onde θ e´ o aˆngulo entre
o semieixo positivo Ox e o vetor
−−→
OP1 = (x, y, 0), ρ o comprimento do vetor
−→
OP e ϕ o aˆngulo
entre o semieixo positivo Oz e o vetor
−→
OP . Os nu´meros θ, ρ e ϕ sa˜o as coordenadas esfe´ricas
do ponto P .
x
y
z
b
P
P1
θ
ϕ
O
Verifique que as coordenadas esfe´ricas (θ, ρ, ϕ) relacionam-se com as cartesianas do seguinte
modo: 

x = ρ sinϕ cos θ
y = ρ sinϕ sin θ
z = ρ cosϕ.
6. Represente geometricamente o campo vetorial dado
(a) ~v(x, y) = x2~j
(b) ~h(x, y) =~i+~j
(c)
−→
F (x, y) = −y~i+ x~j
(d) ~v(x, y) = (1− x2)~j, |x| < 1
(e)
−→
F (x, y) = −
x√
x2 + y2
~i+
y√
x2 + y2
~j
(f)
−→
F (x, y) = −
y√
x2 + y2
~i+
x√
x2 + y2
~j
(g)
−→
F (x, y) =
x√
x2 + y2
~i+
y√
x2 + y2
~j
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Lista 7 - Campos Vetoriais
7. Considere o campo vetorial ~f(x, y) =~i+ (x− y)~j. Desenhe ~f(x, y) nos pontos da reta
(a) y = x
(b) y = x− 1
(c) y = x− 2
8. Considere o campo vetorial ~g(x, y)~i + xy~j. Desenhe ~g(x, y) nos pontos da hipe´rbole xy = 1,
com x > 0.
9. Seja
−→
F = ∇f , onde f(x, y) = x+ 2y. Desenhe
−→
F (x, y), com (x, y) na reta x+ 2y = 1.
10. Seja
−→
F = ∇f , onde f(x, y, z) = x2 + y2+ z2. Desenhe
−→
F (x, y, z), com x2 + y2 + z2 = 1, x > 0,
y > 0 e z > 0.
11. Seja
−→
F = ∇f , onde f(x, y, z) = x+ y+ z. Desenhe
−→
F (x, y, z), com x+ y+ z = 1, x > 0, y > 0
e z > 0.
12. Seja V (x, y) = x2+y2. Desenhe um campo
−→
F (x, y) para o qual se tenha ∇V (x, y)·
−→
F (x, y) ≤ 0.
13. Calcule o rotacional
(a)
−→
F (x, y, z) = −y~i+ x~j + z~k
(b)
−→
F (x, y, z) = x~i+ y~j + xz~k
(c)
−→
F (x, y, z) = yz~i+ xz~j + xy~k
(d)
−→
F (x, y) = (x2 + y2)~i
14. Considere o campo de forc¸a central ~g(x, y) = f (‖~r‖)~r, onde f : R→ R e´ uma func¸a˜o deriva´vel
e ~r = x~i+ y~j. Calcule o rot~g.
15. Seja ϕ : Ω ⊂ R2 → R2, Ω aberto, de classe C2. Verifique que o campo vetorial
−→
F = ∇ϕ e´
irrotacional.
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