Geometria Vetores no plano e espaço

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
CAPÍTULO 2 
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
1 Vetores no plano 
 
O plano geométrico, também chamado de ℜ2, simbolicamente escrevemos: 
}yex),y,x{(x2 ℜ∈∀=ℜℜ=ℜ , é o conjunto de todos os pares ordenados de 
números reais. Ele é representado através do sistema de coordenadas cartesianas, 
o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é o par 
ordenado O(0,0), chamado de origem do sistema. Esses eixos são denotados por 
Ox (eixo das abscissas) e Oy (eixo das ordenadas) e ambos chamados de eixos 
coordenados, orientados como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todo ponto P do plano é representado como na figura acima, onde x e y são 
as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Na 
representação de um ponto do plano, dentro do par ordenado a coordenada x é 
sempre a primeira e y a segunda coordenada, assim, P(x,y). Note que os eixos 
coordenados dividem o plano em 4 regiões iguais (I, II, III e IV), cada uma delas 
chamadas de quadrante. O que distingue um quadrante do outro são os sinais das 
coordenadas (x,y) de um ponto qualquer do 2ℜ . Assim: 
- Se (x,y) pertence ao I quadrante, então x>0 e y>0. Simbolicamente: (+,+); 
- Se (x,y) pertence ao II quadrante, então x<0 e y>0. Simbolicamente: (-,+); 
- Se (x,y) pertence ao III quadrante, então x<0 e y<0. Simbolicamente: (-,-); 
- Se (x,y) pertence ao e IV quadrante, então x>0 e y<0. Simbolicamente (+,-). 
Qualquer vetor do ℜ2 pode ser escrito em função de dois versores jei
rr
, com 
1|j||i| ==
rr
, cada um deles situados sobre os eixos coordenados Ox e Oy, 
y 
x 
P(x,y) 
(0,0) 
(–) 
(–) 
Oy (+) 
(+) 
Ox 
I 
II 
IV III 
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respectivamente, como mostra a figura abaixo. Futuramente o conjunto dos 
versores { }j,i rr será chamado de uma base do ℜ2. 
 
 
 
 
 
 
 
Pela figura acima, podemos ver que jyixv
rrr
+= , ou seja, o vetor v
r
 é escrito 
em função da base { }j,i rr . A expressão jyixv rrr += é chamada de expressão 
cartesiana de um vetor do ℜ2 e seu módulo é determinado por 22 yx|v| +=
r
. 
Todo vetor do plano será representado a partir da origem do sistema, ou seja, 
a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade coincide 
com algum ponto P(x,y), do mesmo plano. Assim podemos identificar um vetor 
com um ponto do plano e simplesmente escrever que )y,x(v =
r
. 
Por exemplo: Para o vetor ji3v
rrr
−= podemos escrever )1,3(v −=
r
 e 
representá-lo no ℜ2, marcando o ponto P(3,-1) e unindo este ponto à origem do 
sistema, sempre fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a 
extremidade do vetor com o ponto P(3,-1), como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
1.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ2 na forma cartesiana 
Sejam jyixvejyixv 222111
rrrrrr
+=+= dois vetores quaisquer do ℜ2 e um 
escalar qualquer ℜ∈α . Então: 
- Adição: j)yy(i)xx(vv 212121
rrrr
+++=+ 
- Subtração: j)yy(i)xx(vv 212121
rrrr
−+−=− 
- Multiplicação por escalar: j)y(i)x(v 111
rrr
α+α=⋅α 
 
Exemplo (1): Sejam iweji3v,j4i2u
rrrrrrr
=+−=+= . Determine o módulo do vetor 
w2v3u
2
1
R
rrr
+−= . 
v
r
 
-1 
3 
P(3,-1) 
y 
x 
O 
j
r
 
jy
r
 
i
r
 ix
r
 
v
r
 
y 
x 
P(x,y) 
Oy 
Ox 
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Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação 
vem: )0,1(we)1,3(v,)4,2(u =−==
rrr
. Vamos primeiro determinar o vetor R . 
)1,12()032,291()0,2()3,9()2,1()0,1(2)1,3(3)4,2(
2
1
R −=+−++=+−−=+−−= 
Logo, ji12R
rr
−= . Portanto, 1451144)1(12|R| 22 =+=−+= 
 
1.2 Cossenos diretores de um vetor 
Seja jyixv
rrr
+= um vetor qualquer do ℜ2. Então v
r
 forma um ângulo com 
cada eixo coordenado. Sejam α e β os ângulos que o vetor v
r
 forma com os eixos 
Ox e Oy, respectivamente. Pela figura abaixo temos: 
|v|
x
)cos( r=α e 
|v|
y
)cos( r=β , 
chamados cossenos diretores do vetor .v
r
 Note que: 1)(cos)(cos 22 =β+α , pois: 
 1
|v|
y
|v|
x
22
=





+





rr e 222 yx|v| +=
r
, então 22 yx|v| +=
r
. 
 
 
 
 
Definição: Considere o vetor jyixv
rrr
+= . Então o versor do vetor v
r
, denotado 
por ov
r
, é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v
r
 e unitário, ou seja, 1vo =
r
, 
definido por 
|v|
v
vo r
r
r
= . 
Como jyixv
rrr
+= ⇒ )y,x(v =
r
 ⇒ 





=⋅=
|v|
y
,
|v|
x
)y,x(
|v|
1
vo rrr
r
 ⇒ )cos,(cosvo βα=
r
. 
 
Exemplo (2): Dados os pontos A(2,4) e B(-1,3), determine: 
a) Os cossenos diretores do vetor AB . 
b) Um vetor w
r
 de módulo 40 e paralelo ao vetor AB . 
Solução: a) )1,3()4,2()3,1(ABAB −−=−−=−= , 10)1()3(|AB| 22 =−+−= . Então: 
10
1
|AB|
y
)cos(e
10
3
|AB|
x
)cos(
−
==β
−
==α 
b) Seja )y,x(w =
r
. Se w
r
 é paralelo ao vetor AB , então existe um escalar ℜ∈m tal 
que: ABmw ⋅=
r
. Então: 



−=
−=
=−−⋅=
my
m3x
)1,3(m)y,x( . Por outro lado 40|w| =
r
, 
α
 
β 
O 
v
r
 
y 
x 
P(x,y) 
Oy 
Ox 
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então: 40yx 22 =+ ⇒ ( )2
2
22 40yx =




 + ⇒ 40yx 22 =+ ⇒ 
40)m()m3( 22 =−+− ⇒ 2m40m10 2 ±=⇒= . Assim, há duas soluções: para m = 2 
⇒ )2,6(w −−=
r
 ou para m = -2 ⇒ )2,6(w =
r
 o seu oposto. Logo, )2,6(w −−=
r
 ou 
)2,6(w =
r
. 
 
Exemplo (3): Sejam )1m2,2(we)m,m3(v −−=+=
rr
. Determine os valores de m 
para que o vetor wv
rr
− tenha módulo igual a 6. 
Solução: )1m,5m()1m2,2()m,m3(wv +−+=−−−+=−
rr
 
626m8m2)1m()5m(|wv| 222 =++=+−++=−
rr
 
05m4m626m8m2 22
2
2 =−+⇒=




 ++ ⇒ 



−=
=
5m
1m
2
1 
Logo para 



−−=−−=⇒−=
−==⇒=
)11,2(we)5,2(v5m
)1,2(we)1,4(v1m
2
1
rr
rr
 
 
Exemplo (4): Seja )4,3(v =
r
. Ao projetarmos o vetor v
r
 sobre o eixo Ox, obtemos 
um vetor u
r
. Determine o vetor w
r
 que é a projeção do vetor u
r
 na direção do vetor 
v
r
. 
Solução: Temos que )0,3(u =
r
 e w
r
 é paralelo ao vetor v
r
. Então vw
rr
α= . Seja 
)y,x(w =
r
. Então: 



α=
α=
⇒α==
4y
3x
)4,3()y,x(w
r
. Por construção temos: 
5
3
|w|
|v|
|u|
|u|
|w|
cos =⇒==θ
r
r
r
r
r
. Mas ⇒α+α=+= 2222 )4()3(yx|w|
r
 
25
9
5
9
25
5
3
)4()3(|w| 222 =α⇒=α⇒=α+α=
r
 
Portanto: 





=⇒==
25
36
,
25
27
w)4,3(
25
9
)y,x(w
rr
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
θ 
x 
4 
3 u
r
 
w
r
 
v
r
 
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Exercícios Propostos: 
1) Dados os vetores )3,4(ue)4,2(v −==
rr
, determine os vetores bea
rr
 sabendo que 
bav
rrr
+= e que b
r
 é o triplo do versor do vetor u
r
. 
Resp: 





=





−=
5
11
,
5
22
ae
5
9
,
5
12
b
rr
 
2) Determine t para que )t2,t(u =
r
 tenha módulo igual a 53 . Resp: t = ± 3 
3) O vetor )8,2(v =
r
 é a soma de um vetor a
r
 que está sobre o eixo Ox com um 
vetor b
r
, cujo módulo é 73 . Determine as possibilidades para os vetores a
r
 e b
r
. 
Resp: 




−==
=−=
)8,3(be)0,5(a
ou)8,3(be)0,1(a
rr
rr
 
4) Três pontos do plano A(1,3), B(5,1) e C(2,7), determinam um triângulo ABC. 
a) Mostre que 0BACBAC =++ . 
b) Determine o perímetro do triângulo ABC. Resp: 5517p2 += 
5) Sejam A, B, C e D, vértices de um paralelogramo ABCD. Sendo A(-1,0) e 
)4,3(BDe)4,7(AC −== suas diagonais, determine os outros vértices B, C e D. 
Resp: B(1,4), C(6,4) e D(4,0) 
 
2 Vetores no espaço 
O espaço, também chamado de 3ℜ , onde ℜ×ℜ×ℜ=ℜ3 , é o conjunto de 
todas as ternas (x,y,z) que, simbolicamente escrevemos { }ℜ∈=ℜ z,y,x/)z,y,x(3 . 
Logo, todo ponto P do 3ℜ é representado por uma terna de números reais P(x,y,z). 
O 3ℜ é representado através do sistema decoordenadas cartesianas, o qual é 
constituído por três eixos perpendiculares entre si, cuja interseção é a terna 
O(0,0,0), chamada de origem do sistema. Esses eixos são denotados por Ox (eixo 
das abscissas), Oy (eixo das ordenadas) e Oz (eixo das cotas), ambos chamados de 
eixos coordenados, orientados como mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(–) 
(–) 
(–) 
(+) 
(+) 
(+) 
Oy 
Oz 
Ox 
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Note que os eixos coordenados dividem o espaço e 8 regiões iguais, cada uma 
delas chamadas de octantes. O que distingue um octante do outro são os sinais das 
coordenadas (x,y,z) de um ponto qualquer do 3ℜ . Assim: 
 
- Se (x,y,z) pertence ao 1º octante, então x>0, y>0 e z>0. Em símbolos: (+,+,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 2º octante, então x<0, y>0 e z>0. Em símbolos: (–,+,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 3º octante, então x<0, y<0 e z>0. Em símbolos: (–,–,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 4º octante, então x>0, y<0 e z>0. Em símbolos: (+,–,+); 
- Se (x,y,z) pertence ao 5º octante, então x>0, y>0 e z<0. Em símbolos: (+,+,–); 
- Se (x,y,z) pertence ao 6º octante, então x<0, y>0 e z<0. Em símbolos: (–,+,–); 
- Se (x,y,z) pertence ao 7º octante, então x<0, y<0 e z<0. Em símbolos: (–,–,–); 
- Se (x,y,z) pertence ao 8º octante, então x>0, y<0 e z<0. Em símbolos: (+,–,–). 
 
Apesar do 3ℜ ter a representação como acima, para fins de simplificar a 
representação ou a construção geométrica de algo, por convenção, adota-se uma 
representação simplificada do 3ℜ , representando apenas um ou o octante 
desejado. Todo ponto P(x,y,z) do espaço é representado como na figura abaixo, 
onde x, y e z são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox, 
Oy e Oz e esta ordem esta fixada. 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que desejamos representar os pontos P(3,5,6) e Q(-3,5,6). Note 
que P pertence ao 1º octante e Q pertence ao 2º octante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A representação do ponto P(3,5,6) é relativamente simples quando 
trabalhamos com o 1º octante, o que não ocorre com a representação do ponto Q(-
3,5,6). As representações no 2º ao 8º octantes são complicadas, exigem técnicas 
Oz 
3 
Ox 
6 
5 
P(3,5,6) 
1º octante 
Oy 
Oy 
x 
Ox 
z 
y 
P(x,y,z) 
Oz 
Oz 
–3 
Ox 
6 
5 
Q(-3,5,6) 
Oy 
1º octante 
2º octante 
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do desenho geométrico como noção de profundidade e perspectiva e, nem sempre 
a visualização do que se pretende representar é evidente aos nossos olhos. 
Como estamos interessados em fazer as representações no ℜ3 através de um 
esboço, ou seja, algo simples e não pretendemos realizar construções difíceis e 
nem representações elaboras, o que se adota como convenção é representar o 
octante desejado como se fosse sempre o 1º octante. Por exemplo, poderíamos 
representar o ponto Q(-3,5,6) da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer vetor do ℜ3 pode ser escrito em função três versores kej,i
rrr
, cada 
um deles situados sobre os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, respectivamente. 
Futuramente o conjunto de versores { }k,j,i rrr será chamado de uma base do ℜ3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela figura acima podemos ver que kzjyixv
rrrr
++= , ou seja, o vetor v
r
 é 
escrito em função da base { }k,j,i rrr . A expressão kzjyixv rrrr ++= é chamada de 
expressão cartesiana. Note também que, o módulo de um vetor é dado por 
222 zyx|v| ++=
r
, pois: 
 
Do triângulo OQR vem: 222 yxw += 
Do triângulo POR vem: 222 zw|v| +=
r
 
Então: 2222 zyx|v| ++=
r
 
Portanto: 222 zyx|v| ++=
r
 
Oz 
-3 
Ox 6 
5 
Q(-3,5,6) 
2º octante 
Oy 
Oy 
x 
kz
r
 
k
r
 
Ox 
j
r
 
jy
r
 
i
r
 
ix
r
 
v
r
 
z 
y 
P(x,y,z) 
Oz 
jyix
rr
+ 
w 
v
r
 
R 
Q 
P 
O z 
z 
y 
y 
x 
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Todo vetor do espaço será representado a partir da origem do sistema, ou 
seja, a origem do vetor coincide com a origem do sistema e sua extremidade 
coincide com algum ponto P(x,y,z). Assim, podemos identificar um vetor com um 
ponto do espaço e simplesmente escrever que )z,y,x(v =
r
. 
Por exemplo: O vetor k6j5i3v
rrrr
++= é escrito como )6,5,3(v =
r
 e representá-
lo no ℜ3, marcando o ponto P e unindo este ponto à origem do sistema, sempre 
fazendo coincidir a origem do vetor com a origem do sistema e a extremidade do 
vetor com o ponto P. Veja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1 Operações com vetores do ℜℜℜℜ3 na forma cartesiana 
Sejam kzjyixvekzjyixv 22221111
rrrrrrrr
++=++= dois vetores quaisquer do ℜ3 e 
um escalar qualquer ℜ∈α . Então: 
- Adição: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121
rrrrr
+++++=+ 
- Subtração: k)zz(j)yy(i)xx(vv 21212121
rrrrr
−+−+−=− 
- Produto por escalar: k)z(j)y(i)x(v 1111
rrrr
α+α+α=⋅α 
 
Exemplo (5): Sejam jwek2ji3v,j4i2u
rrrrrrrr
−=++−=+= , três vetores do espaço. 
Determine o módulo do vetor w2v3u
2
1
R
rrr
+−= . 
Solução: Considerando as coordenadas dos vetores para simplificar a notação, 
escrevemos: )0,1,0(we)2,1,3(v,)0,4,2(u −=−==
rrr
. Determinando o vetor R vem: 
)0,2,0()6,3,9()0,2,1()0,1,0(2)2,1,3(3)0,4,2(
2
1
R −+−−=−+−−= ⇒ 
)6,3,10()060,232,091(R −−=+−−−++= . Logo, k6j3i10R
rrr
−−= 
Portanto, 145369100)6()3(10|R| 222 =++=−+−+= . 
 
Oz 
3 
Ox 
v
r
6 
5 
P(3,5,6) 
Oy 
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2.2 Cossenos diretores de um vetor 
Seja kzjyixv
rrrr
++= um vetor qualquer do ℜ3. Então v
r
 forma um ângulo com 
cada eixo coordenado. Sejam α, β e γ os ângulos que o vetor forma com os eixos 
Ox, Oy e Oz, respectivamente. Pela figura abaixo temos: 
 
|v|
x
)cos( r=α , 
|v|
y
)cos( r=β , 
|v|
z
)cos( r=γ 
 
chamados de co-senos diretores do vetor .v
r
 
 
Note que: 1)(cos)(cos)(cos 222 =γ+β+α 
 
 
 
 
Definição: Considere o vetor kzjyixv
rrrr
++= . Então o versor do vetor v
r
, 
denotado por ov
r
, é um vetor paralelo, de mesmo sentido de v
r
 e unitário, ou seja, 
1vo =
r
, definido por 
|v|
v
vo r
r
r
= . 
Como kzjyixv
rrrr
++= ⇒ )z,y,x(v =
r
 ⇒ 





=⋅=
|v|
z
,
|v|
y
,
|v|
x
)z,y,x(
|v|
1
vo rrrr
r
 ⇒ 
)cos,cos,(cosvo γβα=
r
. 
 
2.3 Condição de paralelismo entre dois vetores. 
Sejam )z,y,x(ve)z,y,x(u 222111 ==
rr
 dois vetores paralelos, ou seja, eles têm 
a mesma direção, então existe um escalar m∈ℜ tal que vmu
rr
⋅= . Logo: 









=⇒=
=⇒=
=⇒=
⇒⋅=
2
1
21
2
1
21
2
1
21
222111
z
z
mmzz
y
y
mmyy
x
x
mmxx
)z,y,x(m)z,y,x( ⇒ 
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
m === , 
0ze0y,0xcom 222 ≠≠≠ . Portanto, para que dois vetores sejam paralelos é 
necessário que haja uma proporção entre suas coordenadas, isto é, eles são 
múltiplos escalares. 
y 
γ 
β 
Ox 
x 
α 
|v|
r
 
z 
P(x,y,z) Oz 
Oy 
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Por exemplo: considere os vetores )2,4,1(u =
r
, )4,8,2(v =
r
 e )4,6,2(w =
r
. 
Temos que u
r
 e v
r
são paralelos, pois u2v
rr
⋅= e 2
2
4
4
8
1
2
=== . Note que u
r
 e w
r
 
não são paralelos, pois 
2
4
4
6
1
2
≠≠ , ou seja, não existe nenhum escalar m∈ℜ tal 
umw
rr
⋅= . 
 
2.4 Condição de coplanaridade entre três vetores 
Sejam )z,y,x(u 111=
r
, )z,y,x(v 222=
r
 e )z,y,x(w 333=
r
 vetores coplanares, 
ou seja, vetores que estão no mesmo plano, então existem escalares m, n ∈ℜ tais 
que wnvmu
rrr
+= . 
 
 
 
 
 
Então: ⇒⋅+⋅= )z,y,x(n)z,y,x(m)z,y,x( 333222111 





=+
=+
=+
132
132
132
znzmz
ynymy
xnxmx
 
 Podemos associar a este sistema linear uma matriz dos coeficientes, cujo 
determinante é igual a zero, pois existe uma combinação linear entre suas linhas, 
ou seja, a primeira linha é m vezes a segundamais n vezes a terceira. Portanto, a 
condição para que três vetores sejam coplanares é verificada quando 
0
zyx
zyx
zyx
333
222
111
= . 
 
Exemplo (6): Dados os pontos P(2,4,5) e Q(1,2,3) determine um vetor w
r
 paralelo 
ao vetor PQ e que tenha módulo igual a 6. 
Solução: Sejam )z,y,x(w =
r
. Como w
r
 é paralelo a PQ , então PQw α=
r
 ⇒ 
)2,2,1()z,y,x( −−−α= . Então: 





α−=
α−=
α−=
2z
2y
x
. O módulo de )z,y,x(w =
r
 é igual 
6zyx 222 =++ ⇒ 2696)2()2()( 2222 ±=α⇒=α⇒=α−+α−+α− . Portanto, 
)4,4,2(wou)4,4,2(w −−−==
rr
. 
 
vm
r
 v
r
w
r
 
wn
r
 
u
r
 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
Exemplo (7): Os vetores )0,1,0(ve)2,1,2(v 21 =−=
rr
 estão aplicados no mesmo 
ponto A. Determine um vetor AB de módulo 32 , cuja direção é a direção da 
bissetriz do ângulo formado pelos vetores 21 vev
rr
. 
Solução: Para que )z,y,x(AB = esteja sobre a bissetriz do ângulo entre 21 vev
rr
, é 
necessário que |v||v| 2211
rr
α=α ⇒ 22
222
1 12)1(2 ⋅α=+−+⋅α ⇒ 12 3α±=α . 
Pela figura podemos ver que 2211 vvAB
rr
α+α= . Para 12 3α=α ⇒ 
2111 v3vAB
rr
α+α= ⇒ )v3v(AB 211
rr
+α= ⇒ [ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 +−⋅α= ⇒ 





α=
α=
α=
1
1
1
2z
2y
2x
. Como 32zyx32|AB| 222 =++⇒= ⇒ 
32)2()2()2( 21
2
1
2
1 =α+α+α ⇒ 132323212 11
2
1 ±=α⇒±=α⇒=α . 
Portanto, )2,2,2(ABou)2,2,2(AB −−−== . 
Para 12 3α−=α ⇒ 2111 v3vAB
rr
α−α= ⇒ )v3v(AB 211
rr
−α= ⇒ 
[ ])0,1,0(3)2,1,2()z,y,x( 1 −−⋅α= ⇒ 





α=
α−=
α=
1
1
1
2z
4y
2x
. 
 Como 32)2()4()2(32zyx32|AB| 21
2
1
2
1
222 =α+α−+α⇒=++⇒= ⇒ 
2
2
12243224 1
2
1
2
1 ±=α⇒=α⇒=α . 
 Portanto, ( ) ( )2,22,2ABou2,22,2AB −+−=−= 
 
 
Exemplo (8): Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de 
reta de extremidades )z,y,x(A 111 e )z,y,x(B 222 . 
Solução: Seja M(x,y,z) o ponto médio do segmento AB . O ponto M é tal que 
MBAM = ou M-A = B-M. Então: 










+=
+=
+=
⇒
−=−
−=−
−=−
⇒−−−=−−−
21
21
21
21
21
21
222111
zzz2
yyy2
xxx2
zzzz
yyyy
xxxx
)zz,yy,xx()zz,yy,xx( 
Portanto: Ponto médio 




 +++
2
zz
,
2
yy
,
2
xx
M 212121 
 
 
B 
A 
AB 
1v
r
 
2v
r
 
11v
r
α 
22v
r
α 
α 
α 
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
 
Exercícios Propostos: 
1) Encontrar os valores a e b tais que ubvaw
rrr
+= , sendo )14,4,4(w −−=
r
, 
)1,2,1(v −=
r
 e )4,0,2(u −=
r
. Resp: a =2 e b = -3 
2) Determine o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). 
Resp: Q(-5,-1,-4) 
3) Um vetor w
r
 do ℜ3 forma com os eixos Ox e Oy, ângulos de 60o e 1200, 
respectivamente. Determine w
r
 para que ele tenha módulo igual a 2. 
Resp: )2,1,1(wou)2,1,1(w −−=−=
rr
 
4) Sejam )0,1,1(be)0,0,1(a ==
rr
. O ângulo entre eles é 45o. Calcule o ângulo entre 
os vetores baeba
rrrr
−+ . Resp: 







−=θ
5
5
arccos 
5) Dados os pontos A(1,-1,3) e B(3,1,5) , até que ponto se deve prolongar o 
segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de 
valor? Resp: 
(9,7,11) 
 
COMENTÁRIOS IMPORTANTES 
1) Como podemos identificar um vetor kzjyixv
vrrr
++= com um ponto do ℜ3 e, a 
fim de simplificar a notação, escrevermos )z,y,x(v =
r
, é muito comum o aluno 
confundir as notações de um ponto P(x,y,z) com o vetor )z,y,x(v =
r
. Às vezes até, 
fazer operações que são permitidas somente entre vetores, aplicando-as aos 
pontos. Portanto, cuidado com as notações. 
2) A linguagem matemática é uma linguagem como outra qualquer, com suas 
regras e conectivos lógicos. As próprias línguas (português, inglês, alemão,...) 
possuem suas regras de construção (concordâncias, ortografia, conjugação 
verbal,...) as quais devem ser empregadas corretamente para que as frases e os 
parágrafos tenham sentido. Se por exemplo, em uma determinada linguagem 
computacional você esquecer-se de digitar um ponto ou uma vírgula, seu programa 
não “roda” e enviará uma mensagem de erro. Veja o que acontece quando nos 
esquecemos de digitar um ponto ou uma letra em um site da internet ou um e-
mail, não vamos conseguir navegar ou enviar uma mensagem. Assim também é 
linguagem matemática. Se você não escreve corretamente, seu desenvolvimento 
matemático ficará sem sentido e o professor, provavelmente, vai lhe enviar uma 
mensagem de erro que é a sua nota. Portanto, procure usar os símbolos de 
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru 
maneira correta e ordenada, para aqueles que lerem seu desenvolvimento 
matemático possa entender o seu raciocínio.