Aula 03 Princípio dos Trabalhos Virtuais

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PRINCÍPIO DOS TRABALHOS 
VIRTUAIS (PTV)
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
NOTAS DE AULA DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II
PROF.: ERIC MATEUS FERNANDES BEZERRA
E-MAIL: eric_mateusjes@hotmail.com 
Mossoró – RN
2016
• Embora simples e intuitivo, o princípio da conservação da energia
tem aplicação limitada no cálculo de deslocamentos em estruturas;
• Por esse princípio, só é possível determinar os deslocamentos em
situações onde há a atuação de apenas uma carga concentrada, e
o deslocamento calculado tem que ser na direção e sentido da
força, tendo em vista que o trabalho externo depende tanto da
força quanto do deslocamento correspondente;
• Analogamente, também é possível calcular a rotação na direção de
um momento concentrado aplicado.
I N T R O D U Ç Ã O
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) surge como uma
alternativa para corrigir a limitação do princípio da conservação da
energia;
• É uma ferramenta muita útil para obter as equações de equilíbrio
de sistemas mecânicos;
• Proporciona um meio de geral de se obter deslocamentos e
inclinações em um ponto específico em uma estrutura;
I N T R O D U Ç Ã O
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Considere uma partícula em equilíbrio, submetida a um deslocamento
virtual (entidade puramente matemática) arbitrário δr:
PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS
O trabalho virtual ( 𝑊) realizado pelas forças
atuantes é: rFrFrFW n   21~ rFFFW n  )(~ 21 
rRW ~
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Se a partícula está em equilíbrio, então R = 0. Portanto, neste caso, o
trabalho virtual realizado é nulo ( W = R ∙ δr = 0).
• De acordo com o PTV, se o trabalho virtual for nulo para todos os
deslocamentos virtuais admissíveis, então o sistema está em equilíbrio:
• Os deslocamentos virtuais não estão relacionados às forças atuantes e
nem aos deslocamentos reais (daí o nome virtual) do sistema
PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS
EquilíbrioW  0
~
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Em corpos deformáveis:
PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS
Reconhecendo o trabalho das forças 
internas e externas
Alternativamente, definindo-se:
0
~
 sFsFW e  FFsFFW ee  0)(~ 0~~~ int  WWW ext
int
~~
WsFU e  
extWU
~~

Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Para corpos rígidos:
▫ “ Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais
de todas as forças (reais) que sobre ele atuam é nula, para todos os
deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que
lhe imponhamos.”
• Para corpos deformáveis:
▫ “Para um corpo deformável, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o
trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao
trabalho virtual das forças internas nele atuantes, para todos os
deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que
lhe imponhamos.”
PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Nos corpos deformáveis, pontos do interior do corpo podem
mover-se uns em relação aos outros sem violar as condições de
restrição. Portanto, neste caso, tanto as forças externas quanto as
internas (esforços solicitantes) realizam trabalho.
• Considere:
▫ (FA , σA) → sistema de forças A, com campo de forças externas (FA) e
tensões internas (σA) em equilíbrio entre si;
▫ (DB , εB) → configuração deformada B, com campo de deslocamentos
externos (DB) e deformações internas (εB) compatíveis entre si.
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• A generalização feita em relação ao princípio de conservação de
energia é que, agora, não existe qualquer ligação entre o sistema de
forças e a configuração deformada, a não ser que atuam em uma
mesma estrutura, isto é, não existe relação causa-efeito entre o
sistema de forças A e a configuração deformada B. As únicas
restrições são: (FA, σA) tem de satisfazer o equilíbrio e (DB, εB) tem de
satisfazer a compatibilidade, isoladamente.
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
iUW  BABAF  EM EQUILÍBRIO
COMPATÍVEIS
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Salienta-se que o termo “1/2” não aparece nas expressões, já que
as forças e deslocamentos não estão associados, diferentemente
do caso da conservação da energia;
• No trabalho externo virtual, as forças não são a causa ou o efeito dos
deslocamentos, assim como na energia interna virtual as tensões internas
não são a causa ou o efeito das deformações internas. Devido
justamente a essa independência entre forças e deslocamentos, o termo
virtual se aplica;
• O trabalho e a energia de deformação são virtuais porque são meras
abstrações de cálculo.
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Podem ser utilizadas resultantes de tensão sob forma dos esforços
internos em vez de componentes de tensão, quando, então, as
correspondentes deformações são os deslocamentos relativos de
seções transversais adjacentes divididos pela distância infinitesimal
entre essas seções.
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
   dTdVdMdNU i
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Relações causas x deslocamento
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
dx
EA
N
d 
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
dxd   EA
N
E



Para um comportamento elástico linear
• Relações causas x deslocamento
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
dx
EI
M
d 
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
EI
Mc
E



Para um comportamento elástico linear
dxcd  
• Relações causas x deslocamento
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
dx
GA
V
fsd 
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
GA
V
fs
G


Para um comportamento elástico linear
dxd  
• Relações causas x deslocamento
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
dx
GJ
T
d 
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
GJ
Tc
G



Para um comportamento elástico linear
dxdc  
• “Se a um corpo deformável que sujeito a deslocamentos reais
provocados por um sistema de forças em equilíbrio é aplicado um
sistema equilibrado de forças virtuais, o trabalho virtual externo
(produzido pelas forças virtuais externas quando ocorrem os
deslocamentos reais) é igual ao trabalho virtual interno (produzido
pelos esforços virtuais internos quando ocorrem as deformações
reais das barras)”.
PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS
  dLuP 
~
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• De forma análoga ao princípio dos deslocamentos virtuais,
podemos escrever a tensão em função dos esforços internos, de
tal modo que o trabalho virtual interno provocado por uma carga
virtual externa pode ser dado por:
• Com base nas relações causa x deslocamento mostradas
anteriormente, obtem-se:
PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS
   dTdVdMdNU i ~~~~~ dxGJ
TT
dx
GA
VV
fdx
EI
MM
dx
EA
NN
U
LL
S
LL
i  












0000
~~~~~
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Considerando as estruturas abaixo:
• Os deslocamentos que definem a deformada da viga original (A) podem
ser considerados como deslocamentos virtuais na viga auto-equilibrada
(B). Por outro lado, como o sistema auto-equilibrado é qualquer, pode
ser chamado de virtual, e os deslocamentos de A de reais.
PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS
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• Aplicando o PTV, tem-se:
PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS
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iext UW
~~

dx
GJ
TT
dx
GA
VV
fdx
EI
MM
dx
EA
NN
P
LL
S
LL
ii  












0000
~~~~
~
• Particularizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais)
para o caso em que a força virtual tem valor unitário, tem-se:
• A equação acima (fórmula de Mohr) representa o método da força
unitária ou método de Maxwell-Mohr, em homenagem a James
Clerk Maxwell e a Otto Mohr que o desenvolveram em trabalhos
independentes.
MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA
dx
GJ
TT
dx
GA
VV
fdx
EI
MM
dx
EA
NN
LL
S
LL
 












0000
~~~~
1 
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• Para determinar o deslocamento em um determinado ponto da
estrutura, basta criar um novo estado de carregamento na mesma
estrutura composto por uma força virtual unitária aplicada no
ponto e direção do deslocamento desejado.
• Pode-se, assim, calcular o deslocamento em qualquer ponto da
estrutura. Basta, para tanto, conhecer os diagramas de esforços
para o caso do carregamento real e o do carregamento virtual
unitário.
MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA
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• Considerações práticas:
▫ Para treliças com cargas nodais, o esforço normal é constante.
MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA  
L
dx
EA
NN
dN
0
~
~
1 
EA
NLN
~
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• Considerações práticas:
▫ Para vigas e pórticos, o efeito do esforço cortante pode ser
negligenciado, exceto para vãos curtos e cargas muito elevadas.
MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA  
L
dx
EI
MM
dM
0
~
~
1 
L
dx
EI
MM
0
~
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• Considerações práticas:
▫ Em pórticos planos, pode-se desprezar o efeito do esforço normal,
principalmente quanto sujeitos a forças laterais;
▫ A parcela do esforço normal pode ser desprezada em estruturas que
não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal;
▫ Não deve, desse modo, ser desprezado na análise de:
 Arcos (depende da forma);
 Tirantes;
 Barras de treliça;
 Pilares esbeltos;
 Peças protendidas.
MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Como as forças virtuais são independentes das condições de apoio
da estrutura, desde que equilibradas, a estrutura em que se deseja
calcular deslocamento pode ser hiperestática, e o modelo com a
força unitária pode ser isostático, obtido pela retirada dos vínculos
superabundantes da estrutura hiperestática. Com essa concepção,
o presente método costuma ser denominado Teorema de
Pasternak.
MÉTODO DA CARGA UNITÁRIA
Princípio dos Trabalhos Virtuais - Eric Mateus Fernandes Bezerra
• Calcule o deslocamento transversal e a rotação da extremidade livre da viga em
balanço representada abaixo e avalie a influência do esforço cortante frente à
influência do momento fletor no cálculo do referido deslocamento. A viga tem
seção transversal retangular de base 20 cm e altura 60 cm, E = 20 GPa e υ = 0,2.
Faz-se idêntica a avalição, modificando a altura para 40 cm.
E X E M P L O 0 1
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• Calcule o deslocamento transversal em C da treliça abaixo. Considere a área e o
módulo de elasticidade longitudinal constantes e iguais em todas as barras.
E X E M P L O 0 2
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• HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 8ª ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2012.
• MARTHA, L. F. Análise de Estruturas: conceitos e métodos básicos. 1ª ed. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2010.
• SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: método das forças e método dos
deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
• SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 6ª ed. Rio de janeiro: Globo, 1981.
R E F E R Ê N C I A S
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