Aula 07 - Deformação em estruturas isostáticas - Corrigida

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TEORIA DAS ESTRUTURAS II 
Docente: Eng.º Civil Gean Carlos S. Militão 
Especialista em Segurança do Trabalho 
2 
 Nessa aula temos por objetivo estudar as deformações sofridas pelas 
estruturas isostáticas provocadas por cada um dos agentes deformantes a 
que podem estar submetidas, como: 
 Carregamentos externos; 
 Variação de temperatura; 
 Recalques dos Apoios; 
 Modificações executivas. 
Esse estudo é feito utilizando o teorema dos trabalhos virtuais. 
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 Qual o objetivo da análise estrutural? 
Encontrar as tensões resultantes, deslocamentos e reações de vários tipo de 
estruturas, especialmente aquelas que são estaticamente indeterminadas. 
 
 
Qual a importância de se avaliar os deslocamentos e deformações? 
Limitá-los dentro da estrutura, visando o bom desempenho da mesma. 
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A Análise Estrutural se dá com a observação dos Esforços e 
Deslocamentos existentes na estrutura. 
 
 
Para o inicio do Estudo do Principio do Trabalho Virtual, é necessário 
conhecermos alguns conceitos: 
 
 
5 
Considere um ponto m em equilíbrio, submetido 
a um conjunto de forças Pi, onde a resultante R 
seja nula, conforme imagem ao lado. 
Considere ainda que esteja sendo aplicado um 
deslocamento δ sem a adição de nenhuma nova 
força real, mantendo o R = 0. 
O deslocamento aplicado não pode ser atribuído 
a nenhuma causa física real, pois não houve 
alteração na vetor resultante existente, a esse 
deslocamento dar-se o nome de Deslocamento 
Virtual. 
Deslocamento Virtual 
6 
Considera-se que uma força realiza trabalho quando seu ponto de 
aplicação se movimenta, de modo que exista um deslocamento 
paralelo à linha de ação da força. 
 
Trabalho Virtual 
7 
A natureza da Força e Deslocamento devem ser afins: 
 
 Força axial e cisalhamento devem sofrer deslocamento Linear. (figura 01) 
 Momento Fletor e Torçor devem sofrer deslocamento Angular. (figura 02) 
 
figura 01 figura 02 
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As figuras abaixo mostram em cada caso o deslocamento do plano X para 
a nova posição X’. 
 A figura 01 apresenta deformação (δ) na mesma direção da força F e o 
trabalho realizado é positivo. 
 A figura 02 apresenta trabalho (ω) negativo, visto que o sentido da 
rotação é anti-horário e M é horário. 
 
figura 01 figura 02 
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A quantidade de trabalho realizado depende da relação existente entre a 
força e seu deslocamento correspondente. A figura abaixo mostra três 
possibilidades. 
 
A B C 
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As figuras (a) e (b) mostram respectivamente o comportamento não-linear 
e linear com uma crescente força F produzindo um crescente 
deslocamento δ, enquanto, a figura (c) registrar o movimento do ponto de 
aplicação para uma força constante. 
 
Em cada caso o trabalho realizado quando o valor da força é F1 e o 
deslocamento correspondente é δ1 será dado pela área hachurada sob o 
gráfico. 
 
Para a figura(c) F=cte, teremos para trabalho: 
ω = F1. δ1 
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Consideremos a treliça da figura ao lado 
representada: 
Após a aplicação das cargas ωi, ω1 e ωr, a 
treliça distorce para uma nova posição como 
mostrado pela linha tracejada. 
Cada nó livre da estrutura move da sua 
posição original e portanto, há trabalho 
executado pelas forças externas ao produzir os 
deslocamentos afins, como exemplo tem-se 
δ1 gerado por ω1. 
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Para que haja compatibilidade com a nova geometria, o comprimento 
deve mudar e portanto devem ser realizados trabalhos pelas forças 
atuantes dentro de cada membro da estrutura. 
Quando as cargas são aplicadas gradualmente, não existe perda de 
energia devido ao efeito dinâmico, calor, etc, e portanto, todo trabalho 
realizado pelas forças externas são utilizadas para reformar os membros 
da estrutura enquanto mantem sua forma. 
Ʃ Trabalho externo aplicado = Ʃ Trabalho interno aplicado 
ω interno = ω externo 
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 Trabalho Real – Interno e Externo: 
Para uma estrutura, o trabalho real pode ser 
definido como aquele trabalho realizado no 
instante da aplicação das forças reais 
computando o valor e os deslocamentos reais 
associados. 
 
 Trabalho Virtual 
Consideremos a partícula da figura submetida a 
um sistema de forças irreais em equilíbrio 
estático, isto é, resultante nula. 
R = ƩP1 = 0 
δ = Deslocamento Virtual 
ω = Trabalho Virtual 
ω = R. δ 
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Se R=0 então ω = 0 
 
Pelas condições de equilíbrio de um ponto 
material: 
 Condição Estática: R = 0 
 Condição Energética: ω = 0 
 
 
 
R = ƩP = 0 
δ = Deslocamento Virtual 
ω = Trabalho Virtual 
ω = R. δ 
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Ainda observando o sistema de forças demostrado, pode se verificar que o 
trabalho virtual ω realizado pelo conjuntos de forças Pi (reais) que atuam 
sobre o ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual δ vale ω = R.δ = 
0, com isso pode-se afirmar que para um ponto em equilíbrio, o trabalho 
virtual realizado pelo sistema de forças reais, que também estão em 
equilíbrio, é nulo (Princípio de D’Alembert). 
 
 
16 
“Para um corpo rígido em equilíbrio, a soma algébrica dos trabalhos virtuais 
de todas as forças (reais) que sobre ele atuam é nula para todos os 
deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis como vínculo do corpo) que 
lhe imponhamos” 
 
TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS APLICADOS 
AOS CORPOS RÍGIDOS 
17 
“Para um corpo elástico, que atingiu sua configuração de equilíbrio, o 
trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam, é igual ao 
trabalho virtual das forças internas (esforços simples) nele atuantes, para 
todos os deslocamentos virtuais arbitrários (compatíveis com os vínculos 
dos corpos) que lhe imponhamos” 
 
TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS APLICADOS AOS CORPOS 
ELÁSTICOS: 
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Trabalho Virtual Externo (ωext): É dado pala carga e reações de apoio 
ωext é o produto da carga pelo deslocamento relativo. 
 
Trabalho Virtual Interno (ωint): É relativo as ações internas (N,Q,M,T) 
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Como as cargas atuantes com seus valores integrais quando o 
deslocamento virtual é imposto, o Trabalho virtual realizado será 
simultaneamente o produto da carga pelo deslocamento. 
 
A avaliação do trabalho virtual interno, ωint, é um pouco mais complicado. 
O trabalho virtual realizado pelas resultantes de tensões atuantes no 
elemento, depende da deformação do elemento durante o deslocamento 
virtual. 
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a) Axial b) Flexão c) Cisalhamento d) Torção 
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Na figura ao lado é mostrada a deformação virtual que consiste 
na deformação axial uniforme do elemento, portanto, o 
comprimento do elemento aumentou de uma quantidade “dδ”. 
Essa deformação virtual resulta no Trabalho Virtual (N+dN)dδ 
que é realizado força axial, porém nenhum trabalho virtual 
realizado pelo momento fletor, cortante ou momento torçor. 
 
 Força Axial:(N + dN)dδ dδ = 
𝑁.𝑑𝑥
𝐸.𝐴
 
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De forma análoga, podemos determinar que: 
 
 Momento Fletor: (M + dM)dӨ d Ө = 
𝑀.𝑑𝑥
𝐸.𝐼
 
 
Esforço Cortante: (Q + dQ)dλ d λ = 
𝑥𝑄.𝑑𝑥
𝐺.𝐴
 
 
Momento Torçor: (T + dT)dΦ d Φ = 
𝑇.𝑑𝑥
𝐺.𝐽
 
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Para o elemento “dx”, desprezando o produto de duas 
diferenciais em comparação com o produto do termo finito e a 
diferencial termo que o trabalho interno (ωint) é: 
 
ωint = Ndδ + MdӨ + Qdλ + TdΦ 
 
Integrando temos a expressão completa do trabalho virtual 
interno: 
 
ωint = ∫ Ndδ + ∫ MdӨ + ∫ Qdλ + ∫ TdΦ 
 
 
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Onde: 
 N, M, Q e T: São os esforços seccionados; e 
 
 dδ, dӨ, dλ, dΦ: São diferenciais fictícias associadas com o 
deslocamento virtual da estrutura 
 
 
 
 
 
25 
 
 Devem ser considerado no uso do processo de Mohr ou carga fictícia: 
 O primeiro consiste em considerar a estrutura sujeita ao carregamento dado. 
 O segundo sistema consiste de uma carga fictícia atuante na estrutura. A 
carga unitária é uma carga fictícia utilizada apenas para determinação do 
deslocamento “δ” da estrutura devido ao carregamento dado. 
 
 
 
 
CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDO À ATUAÇÃO DE 
CARREGAMENTOEXTERNO → FÓRMULA DE MOHR 
 
 
 
 
26 
 
 1º Sistema 
 Estado de deformação N,M,Q,T 
 Deformações: dδ, dӨ, dλ, dΦ 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDO À ATUAÇÃO DE 
CARREGAMENTO EXTERNO → FÓRMULA DE MOHR 
 
 
 
 
 
 2º Sistema 
 Estado de deformação Nu,Mu,Qu,Tu 
 Deformações: dδu, dӨu, dλu, dΦu 
 
 
 
 
27 
Se tomarmos as deformações reais da estrutura 
causada pelo 1º sistema de carregamento como 
as deformações virtuais a serem impostas sobre o 
2º sistema (cargas unitárias), e como durante 
estas deformações virtuais o único trabalho virtual 
externo é realizado pela carga unitária 
(ωext.=1×δ) podemos escrever: 
 
 
 
 
CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDO À ATUAÇÃO DE 
CARREGAMENTO EXTERNO → FÓRMULA DE MOHR 
 
 
 
 
ωext = ωint 
ωext = Pu. δ 
ωint = ∫ Nudδ + ∫ MudӨ + ∫ Qudλ + ∫ TudΦ 
 
Pu. δ = ∫ Nudδ + ∫ MudӨ + ∫ Qudλ + ∫ TudΦ 
 
 
 
28 
Considerando que Pu = 1 e sabendo que 
 
dδ = 
𝑁.𝑑𝑥
𝐸.𝐴
, d Ө = 
𝑀.𝑑𝑥
𝐸.𝐼
, d λ = 
𝑥𝑄.𝑑𝑥
𝐺.𝐴
, d Φ = 
𝑇.𝑑𝑥
𝐺.𝐽
 
 
 
Podemos escrever que: 
 
 
 
 
CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDO À ATUAÇÃO DE 
CARREGAMENTO EXTERNO → FÓRMULA DE MOHR 
 
 
 
 
 
 
δ = ∫ 
𝑵.𝑵𝒖.𝒅𝒙
𝑬.𝑨
, + ∫ 
𝑴.𝑴𝒖.𝒅𝒙
𝑬.𝑰
, + ∫
 𝒙𝑸.𝑸𝒖.𝒅𝒙
𝑮.𝑨
 + ∫ 
𝑻.𝑻𝒖.𝒅𝒙
𝑮.𝑱
 
 
 
 
Onde: 
 
E = Módulo de elasticidade longitudinal 
G = Módulo de elasticidade transversal 
I = Momento de inércia da seção 
transversal relativo a linha neutra; 
J = Momento de inércia polar 
A = Área da seção transversal 
x = Coeficiente de redução da distribuição 
não uniforme das tensões de 
cisalhamento, cujo valor varia com o tipo 
de seção 
 
29 
Considerando as estruturas usualmente utilizadas em nossos cálculos, podemos 
acrescentar as seguintes informações, a fim de simplificar o método de calculo: 
 
 A parcela referente a deformação ocasionada pela cortante (∫
 𝒙𝑸.𝑸𝒖.𝒅𝒙
𝑮.𝑨
) pode ser 
desprezada, visto a sua pequena influencia. Isso não ocorrerá apenas em casos 
onde o vão é muito curto e a carga é muito elevada. 
Pode-se desprezar a parcela referente ao esforço normal (∫ 
𝑵.𝑵𝒖.𝒅𝒙
𝑬.𝑨
) em estruturas 
que não trabalham esse esforço. 
Em estruturas que não apresentam momento torçor, pode-se desprezar a parcela 
∫ 
𝑻.𝑻𝒖.𝒅𝒙
𝑮.𝑱
 
Então, em estruturas que são composta por barras retas e de inércia constante, 
podemos utilizar apenas a parcela ∫ 
𝑴.𝑴𝒖.𝒅𝒙
𝑬.𝑰
. 
 
 
CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES DEVIDO À ATUAÇÃO DE 
CARREGAMENTO EXTERNO → FÓRMULA DE MOHR 
 
 
 
 
 
 
δ = ∫ 
𝑵.𝑵𝒖.𝒅𝒙
𝑬.𝑨
, + ∫ 
𝑴.𝑴𝒖.𝒅𝒙
𝑬.𝑰
, + ∫
 𝒙𝑸.𝑸𝒖.𝒅𝒙
𝑮.𝑨
 + ∫ 
𝑻.𝑻𝒖.𝒅𝒙
𝑮.𝑱