Integração e função de varias variaveis

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Coleção Lições de Matemática
C Á L C U L O
I N T E G R A L
e
F U N Ç Õ E S D E
V Á R I A S V A R I A V É I S
Christian Q. Pinedo
Milagros Q. Castillo
ii Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
“nas questões matemáticas não se compreende a incer-
teza nem a dúvida, assim como tampouco se podem estabe-
lecer distinções entre verdades médias e verdades de grau
superior.”
D. Hilbert (1862− 1943)
iii
iv Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Título do original
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis
Março de 2012
Direitos exclusivos para língua portuguesa:
UFT - CAMPUS DE PALMAS
Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica - UFT
Departamento de Matemática - UDESC
512.8
Pinedo. Christian Quintana, 1954 - Castillo. Milagros Quintana 1983
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis / Christian José
Quintana Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Pal-
mas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica, 2009. Milagros Q. Castillo:
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC 211
390 p. il. 297mm
I. Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis. Christian Q. Pinedo.
II. Série. III. Título
CDD 512.8 ed. CDU
SUMÁRIO
PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1 ANTIDERIVADAS 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Propriedades da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Integral imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Fórmulas elementares de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Métodos de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Integração por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Método de integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.3 Integração de funções trigonométricas e hiperbólicas . . . . . . . . . 41
1.3.4 Integração por substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.5 Integração de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercícios 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.6 Integração de funções racionais trigonométricas . . . . . . . . . . . 75
1.3.7 Integração de funções irracionais elementares . . . . . . . . . . . . . 78
Exercícios 1-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.4 Outros métodos de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.4.1 Integrais do tipo:
∫
Pn(x)√
px2 + qx+ r
dx (1o de Ostrogradski) . . . . 90
1.4.2 Integrais do tipo:
∫
P (x)
Q(x)
dx (2o de Ostrogradski) . . . . . . . . . 91
1.4.3 Integração de diferenças binômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.4.4 Integrais do tipo:
∫
P (x) exdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.4.5 Integrais dos tipos:
∫
P (x)sen bx dx e
∫
P (x) cos bx dx . . . . . . 93
v
vi Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exercícios 1-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 INTEGRAL DEFINIDA 101
2.1 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2 Cálculo da área de uma região plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.1 Partição de um intervalo fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.2 Aproximação da área de uma região por áreas de retângulos . . . . 109
Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.3 Significado geométrico das somas: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . 119
2.3.1 Propriedades das somas: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . . . 119
2.4 Integrais: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.4.1 Propriedades da integral: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . . 121
2.5 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.5.1 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.5.2 Teorema do Valor Médio para integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.5.3 Teorema fundamental do cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . 126
Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.6 Mudança de variável em uma integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7 Integração por partes em uma integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.8 Integração de funções descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.9 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.9.1 Integrais impróprias com limites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . 153
2.9.2 Integrais impróprias com limites finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.10 Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Miscelânea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 173
3.1 Aplicações geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.1.1 Área de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.1.2 Comprimento de arco de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.1.3 Área de superfície de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Exercícios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.1.4 Volume de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Exercícios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis vii
3.2 Aplicações à mecânica e física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2.1 Momentos e centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Exercícios 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.2.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.2.3 Problemas na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Exercícios 3-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Miscelânea 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 235
4.1 O espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.1.1 Vetores no espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.2 O espaço n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.3 Superfícies quadráticas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.3.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.3.2 Parabolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.3.3 Hiperbolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.3.4 O cone elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.3.5 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.4 Superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.5 Pares de planos e superfícies imaginárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.5.1 Geometria das funções com valores reais . . . . . . . . . . . . . . . 251
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.6 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.6.1 Gráfico de funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.6.2 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.6.3 Conjuntos de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.7 Conjunto aberto. Conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.7.1 Ponto de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.8 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.8.1 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.8.2 Limites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.9 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.9.1 Teorema de continuidade da função composta . . . . . . . . . . . . 274
Exercícios 4-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5 DERIVADAS 281
5.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.1.1 Incremento da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
viii Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
5.1.2 A técnica de derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.2 Funções homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.2.1 Propriedades das funções homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.3 Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Exercícios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.4 Interpretação geométrica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.4.1 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.5 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.6 Derivadas parciais como taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.7 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.8 Diferenciabilidade, linearização e plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.9 Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.10 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.11 Diferencial exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.12 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.13 Derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis . . . . . . . . 323
5.13.1 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Exercícios 5-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.14 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.14.1 Propriedades da derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.14.2 Máximo da Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.15 Gradiente de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.15.1 O Gradiente como vetor de incremento rápido . . . . . . . . . . . . 334
5.16 Plano tangente e reta normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Exercícios 5-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Miscelânea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6 Aplicações das derivadas parciais 345
6.1 Máximos e Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.1.1 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto. . . . . . . . . . . . . 352
Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.2 Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.2.1 Para funções de duas variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.2.2 Para funções de várias variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Exercícios 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Miscelânea 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis ix
Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
x Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
PREFÁCIO
Estas notas de aula de Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis é a continuação
e abordagem de conceitos e teorias novas, tais como “Integração em R” e o “Cálculo dife-
rencial com funções de várias variáveis” com aplicações aos diferentes ramos das ciências
úteis no estudo das equações diferenciais.
Esta obra é continuação do estudo do “Cálculo Diferencial em R” disciplina básica para
cursos de Engenharia, Matemática, Física, Química entre outros, este volume representa
o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de problemas e temas que, com frequência
se apresenta quando um estudante continua com o estudo do cálculo diferencial. Estas
notas estão divididas em seis capítulos.
No primeiro capítulo, apresenta-se os métodos para o cálculo de integrais, faz-se uma
abordagem prática com grande variedade de exemplos e técnicas para a solução das mes-
mas.
No segundo capítulo, apresenta-se os conceitos de integral definida no estilo da “Inte-
gral de Riemann”, inicia-se os estudos com os conceito de somatório como interpretação
geométrica da integral.
O terceiro capítulo, está reservado para múltiplas aplicações em diferentes ramos do
conhecimento científico.
No quarto capítulo se apresenta o estudo das funções de várias variáveis, incluindo uma
pincelada ao estudo das quádricas, este capítulo termina com o estudo dos limites, conti-
xi
xii Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
nuidade e derivadas de funções. O penúltimo capítulo estuda as derivadas e diferenciais
com funções de várias variáveis.
O último capítulo está destinado à aplicação do cálculo diferencial, na procura de
pontos de extremo para funções de várias variáveis.
O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e
construir um modelo matemático e logo resolvê-lo. A esta obra acompanha “Suplementos
II” (em edição) aqui se apresenta a solução integral de todos os exercíciospropostos nesta
obra.
Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar, os exercícios apre-
sentados em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade.
A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir a experiência
dos autores com atuação profissional em diversas instituições do Brasil e do exterior.
Ficamos profundamente gratos pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e
sugestões dos leitores, as respostas ou indicações para a solução dos exercícios propostos
podem ser obtidos no endereço christianjqp@yahoo.com.br.
Christian Quintana Pinedo.
Brasil, março de 2012
“A Matemática é a honra do espírito humano”
Leibnitz
Capítulo 1
ANTIDERIVADAS
Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Brese-
lenz, Hanover (Alemanha) em 17 de setembro de 1826 e morreu
em Selasca (Itália) em 20 de Julho de 1866.
Em 1840 entrou diretamente na terceira classe ao Lyceum em
Hannover. Trabalhou duro nos assuntos clássicos como o hebreu
e teologia. Riemann mostrou interesse particular pela matemá-
tica e o diretor do Ginásio permitiu Bernhard estudar textos de
matemática em sua biblioteca particular.
Em 1846 Riemann se matriculou na Universidade de Göt-
tingen para estudar teologia. Porém assistiu a algumas aulas de
matemática.
Riemann mudou-se de Göttingen para Universidade de Ber-
lin pela primavera de 1847 para estudar trabalhos de Jakob Stei-
ner, Carl G. Jacobi, Johann P. Dirichlet e Gotthold M. Eisenstein.
Em 1849 defendeu em Göttingen sua tese de doutorado supervisionada por Gauss. Nesta tese
estudou a teoria de variáveis complexas e, em particular, o que agora chamamos superfícies de
Riemann. Introduziu métodos de topologia em teoria de função complexa. O trabalho constrói
nas bases de Cauchy a teoria de variáveis complexas construídas durante muitos anos e também
nas idéias de Puiseux de pontos fixos. A tese de Riemann é notavelmente um trabalho original
que examinou propriedades geométricas das funções analíticas, além disso é um dos trabalhos
mais notáveis e originais a aparecer em uma tese doutoral. Foi examinado em 16 de dezembro
de 1851.
Recomendado por de Gauss, Riemann foi designado a um posto em Göttingen. Nomeado pro-
fessor nesta Universidade em 1854 apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou
na mais célebre conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão
da Geometria e seus fundamentos que até então permanecia desconhecidos.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise,
onde encontramos também a equação de Cauchy-Riemann que é uma concepção intuitiva e geo-
métrica da Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass. Um de seus brilhantes
resultados foi perceber que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Göttingen já ocupada
por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer de tuberculose.
1
2 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
1.1 Introdução
Todo cálculo de uma derivada proporciona, devido ao segundo teorema fundamental do
cálculo infinitesimal [10], uma fórmula para integrais. Por exemplo, se f(x) = x(Lnx−1),
então f ′(x) = Lnx.
O conceito intuitivo de integrar corresponde a os seguintes significados:
• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A ⊆ R, determinar uma função
F (x) de modo que a derivada de F (x) seja a função f(x); isto é F ′(x) = f(x) ∀x ∈
A.
• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A ⊆ R, calcular o limite das
somas de determinado tipo, construídas para f(x) no intervalo A.
A operação em qualquer dos casos chama-se “integração”. No sentido matemático o
segundo caso é amplamente ilustrado para o cálculo de áreas limitadas por curvas, volume
do sólidos, comprimento de curva, trabalho de uma força e outras múltiplas aplicações.
Os dois tipos de integração são conhecidas como “integral indefinida” e “integral definida”
respectivamente.
1.2 Integral indefinida
Definição 1.1. Funções elementares.
São chamadas de “funções elementares” as três funções seguintes:
(1) y = x (2) y = ax, a > 0 (3) y = sen x
Elas se dizem elementares porque grande número de funções podem se expressar como
suas combinações, mediante as operações simples da aritmética ou da inversão (função
inversa!).
Exemplo 1.1.
1. A função y = xm provêem de (1), pois pode considerar-se como o produto de funções
do tipo (1). Um polinômio inteiro em x é uma combinação linear de funções do
tipo (1).
2. A função y = cosx provêem de (1) e (3), pois temos que cos x = sen (
pi
2
− x), e o
cosseno será o seno de certo polinômio em x
3. Por inversão, (2) e (3) dão ainda as funções da qual provêem novas funções como:
y = loga x, y = arctanx, y = arcsen
x√
1 + x2
, . . . etc.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 3
Definição 1.2.
Sejam f : A ⊆ R −→ R uma função. A função F : A −→ R tal que F ′(x) =
f(x) ∀ x ∈ A é chamada “Primitiva” ou “Antiderivada de f(x) em A” e escreve-se
F (x) = Ant(f(x)) em A.
Exemplo 1.2.
Se f(x) = 7x6 + 8 , então a função F (x) = x7 + 8x é uma antiderivada de f(x); isto
é F (x) = Ant(7x6 + 8).
Observe que outras antiderivadas para f(x) são: x7 + 8x + 3; x7 + 8x − 6; x7 +
8x− 8, . . . etc.
Observação 1.1.
• Se F (x) = Ant(f(x)) num intervalo A ⊆ R, então F (x)+C, onde C é uma constante
real é também antiderivada de f(x) em A. Logo a função f(x) tem um conjunto
infinito de primitivas [4]. Logicamente, uma função contínua f(x) sempre tem uma
primitiva.
• Em geral, não existe um método para o cálculo de primitivas das “funções elemen-
tares” ou das combinações destas. É incluso fácil formar funções cujas primitivas
não sejam expressas mediante “funções elementares‘ ”.
• Em geral não é possível achar primitivas elementares; por exemplo, não existe al-
guma função elementar F (x) de modo que F ′(x) = e−x2 para todo x.
A preocupação por funções elementares está justificado pelo seguinte:
a) A integração é um tema clássico do cálculo infinitesimal.
b) Pode acontecer que seja necessário calcular uma integral, em condições em que não
seja possível consultar tabelas de integração.
c) Os métodos mais úteis de integração são na verdade teoremas importantes (aplicáveis
a todas as funções, não somente as elementares).
Propriedade 1.1.
Considera as funções f : A −→ R e F : A −→ R, onde A ⊆ R e F (x) uma
antiderivada de f(x). Se F1 : A −→ R é também uma antiderivada de f(x), então
F1(x) = F (x) + C para alguma constante C
Demonstração.
Seja H(x) = F1(x) − F (x); derivando esta função temos: H ′(x) = F ′1(x) − F ′(x) =
f(x)− f(x) = 0; então H ′(x) = 0 logo H(x) = C.
Portanto F1(x) = F (x) + C.
4 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Definição 1.3.
Se F (x) é antiderivada de f(x) em A ⊆ R, a integral indefinida de f(x) é o conjunto
das antiderivadas de f(x) no intervalo A, denotado por
∫
f(x)dx ; isto é:
∫
f(x)dx = F (x) + C
onde C é uma constante que assume qualquer valor, o número C é chamado constante de
integração.
No que segue, escreveremos
∫
f(x)dx = F (x) + C, onde F ′(x) = f(x), a expressão
f(x) chama-se “integrando”, f(x)dx é chamado “elemento de integração” , o símbolo
a∫
b
denomina-se ”símbolo de integração no intervalo [a, b]”; a notação
a∫
b
f(x)dx é chamada
“integral definida no intervalo [a, b]”. A expressão
∫
f(x)dx lê-se “integral indefinida de
f(x) diferencial da variável x".
Propriedade 1.2.
Da Definição (1.3) deduz-se as seguintes propriedades:
a)
d
dx
(
∫
f(x)dx) = (
∫
f(x)dx)′ = (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x). Isto é, a derivada da
integral indefinida é igual ao integrando ou:
d
dx
(
∫
f(x)dx) = f(x).
b) d(
∫
f(x)dx) =
d
dx
(
∫
f(x)dx)dx = f(x)dx. Istoé, o diferencial da integral indefi-
nida, é igual ao elemento de integração ou: d(
∫
f(x)dx) = f(x)dx
c) Se f(x) é uma função derivável no intervalo A, então uma primitiva de f ′(x) é f(x)
e:
∫
f ′(x)dx = f(x) + C.
d) Sendo d(f(x)) = f ′(x)dx, do item c) deduz-se que:
∫
d(f(x))dx = f(x) + C
e)
∫
a.f(x)dx = a
∫
f(x)dx onde a é uma constante.
f) Se
∫
f(x)dx = F (x) + C e u = g(x), então
∫
f(u)du = F (u) + C.
De b) e d), a integral indefinida pode ser interpretada como uma operação inversa da
diferenciação.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 5
Exemplo 1.3.
i)
∫
e5xdx =
1
5
e5x + C ii)
∫
6x5dx = x6 + C
Exemplo 1.4.
Como d(x.Lnx−x) = Lnx.dx, então da Propriedade (1.2)-d) temos que
∫
d(x.Lnx−
x)dx =
∫
Lnx.dx = x.Lnx− x+ C.
Exemplo 1.5.∫
dx
9 + x2
=
1
3
arctan(
x
3
) + C , lembre que
d
dx
(arctan t) =
1
1 + t2
1.2.1 Propriedades da integral indefinida
Propriedade 1.3.
Se f(x) e g(x) são funções que admitem antiderivadas no intervalo A, e k é uma
constante real arbitrária, então:
i)
∫
[f(x)± g(x)]dx =
∫
f(x)dx±
∫
g(x)dx
ii)
∫
k.f(x)dx = k.
∫
f(x)dx
Demonstração. (i)
Pela Propriedade (1.2)-b) temos que:
d
dx
(
∫
[f(x)± g(x)]dx) = f(x)± g(x) (1.1)
Por outro lado, pela Propriedade (1.2)-b) como
d
dx
(
∫
f(x)dx) = f(x) e
d
dx
(
∫
g(x)dx =
g(x), somando (ou subtraindo) estas igualdades temos
d
dx
(
∫
f(x)dx)± d
dx
(
∫
g(x)dx) = f(x)± g(x)
Portanto, desta última igualdade e, de (1.1) segue que:
∫
[f(x)±g(x)]dx =
∫
f(x)dx±∫
g(x)dx �
Demonstração. (ii)
Exercício para o leitor.
6 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.6.
Observe,
∫
[e5x − 6x5 + Lnx]dx =
∫
e5xdx−
∫
6x5dx+
∫
Lnx.dx =
=
1
5
e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.
Logo, I =
∫
[e5x − 6x5 + Lnx]dx = 1
5
e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.
1.2.2 Integral imediata
Se conhecemos f ′(x), pela Propriedade (1.2)-c) deduzimos
∫
f ′(x)dx = f(x) + C ou∫
d(f(x))dx = f(x) + C.
Estas integrais assim obtidas denominam-se “integral imediata”; por exemplo
∫
dx =
x+ C.
A continuação apresenta-se uma tabela de integrais imediatas, que contém além das
integrais de funções elementares outras que serão de muita utilidade. Por comodidade,
utilizamos ao invés da variável x a letra u que pode ser uma função da forma u = f(x).
1.2.3 Fórmulas elementares de integração
Considere-se o número real a > 0, e n ∈ Z
1.
∫
du = u+ C 2.
∫
du
u
= Ln | u | +C
3.
∫
undu =
un+1
n+ 1
+ C n 6= 1 4.
∫
eudu = eu + C
5.
∫
audu =
au
Lna
+ C 6.
∫
sen u.du = − cosu+ C
7.
∫
cosu.du = sen u+ C 8.
∫
cotu.du = Ln | sen u | +C
9.
∫
tanu.du = Ln | secu | +C 10.
∫
secudu = Ln | secu+ tanu | +C
11.
∫
cscu.du = Ln | cscu− cotu | +C 12.
∫
sec2 u.du = tanu+ C
13.
∫
csc2 u.du = − cotu+ C 14.
∫
secu tanu.du = sec u+ C
15.
∫
cscu cotu = − cscu+ C 16.
∫
senhu.du = coshu+ C
17.
∫
coshu.du = senhu+ C 18.
∫
tanhu.du = Ln | coshu | +C
19.
∫
sech2u.du = tanh u+ C 20.
∫
cosh2 u.du = − cothu+ C
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 7
21.
∫
sechu tanhu.du = −sechu+ C 22.
∫
cschu cothu.du = −cschu+ C
23.
∫
du
u2 + a2
=
1
a
arctan(
u
a
) + C 24.
∫
du
u2 − a2 =
1
2a
Ln | u− a
u+ a
| +C
25.
∫
du
a2 − u2 =
1
2a
Ln
∣∣∣∣u+ au− a
∣∣∣∣+ C 26. ∫ du√a2 − u2 = arcsen(ua ) + C
27.
∫
du√
u2 ± a2 = Ln(u+
√
u2 ± a2) +C 28.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
u
a2
√
u2 + a2
+ C
29.
∫
du
u2
√
u2 + a2
= −
√
u2 + a2
a2u
30.
∫
du
u
√
u2 − a2 = (
1
a
)arcsec
| u |
a
+ C
31.
∫
sen 2u.du =
1
2
[u− 1
2
sen 2u] + C 32.
∫
du
uLnu
= Ln(Lnu) + C
33.
∫
tan2 u.du = tan u− u+ C 34.
∫
cot2 u.du = − cotu− u+ C
35.
∫
sen 3u.du =
1
3
(2 + sen 2u) cos u+ C
36.
∫
unsen u.du = −un cosu+ n
∫
un−1 cosu.du
37.
∫
tan3 u.du =
1
2
tan2 u+ Ln | cosu | +C
38.
∫
cot3 u.du =
1
2
cot2 u− Ln | sen u | +C
39.
∫
tann u.du =
1
n− 1 tan
n−1 u−
∫
tann−2 udu
40.
∫
unLnu.du =
un+1
(n+ 1)2
[(n+ 1)Lnu− 1] + C
41.
∫
uneaudu =
1
a
uneau − n
a
∫
un−1eaudu
42.
∫
eausen bu.du =
eau
a2 + b2
(asen bu− b. cos bu) + C
43.
∫
du
u
√
u2 + a2
= −1
a
Ln
[√
u2 + a2 + a
u
]
+ C =
1
a
Ln
[
u√
u2 + a2 − a
]
+ C
44.
∫ √
a2 − u2 · du = 1
2
[u
√
a2 − u2 + a2arcsen(u
a
)] + C
45.
∫ √
u2 + a2 · du = 1
2
[u
√
u2 + a2 + a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
46.
∫ √
u2 − a2 · du = 1
2
[u
√
u2 − a2 − a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
47.
∫
u2
√
u2 + a2 · du = 1
8
[u(a2 + 2u2)
√
u2 + a2 − a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
48.
∫
u
√
a+ bu · du = 2
15b2
[(3bu− 2a)
√
(a+ bu)3] + C
49.
∫
u√
a+ bu
· du = 2
3b2
(bu− 2a)√a+ bu+ C
50.
∫ √
a+ bu
u
· du = 2√a+ bu+ a
∫
du
u
√
a+ bu
+ C
51.
∫
sen nu · du = − 1
n
sen n−1 cosu+
n− 1
n
∫
senn−2u.du
8 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
52.
∫
cosn u · du = 1
n
cosn−1 usen u+
n− 1
n
∫
cosn−2 u.du
53.
∫
secn u.du =
1
n− 1 tanu sec
n−2 u+
n− 2
n− 1
∫
secn−2 u.du
54.
∫
cscn u.du =
−1
n− 1 cotu csc
n−2 u+
n− 2
n− 1
∫
cscn−2 u.du
55.
∫
sen (au)sen (bu) · du = sen (a− b)u
2(a− b) −
sen (a+ b)u
2(a+ b)
+ C
56.
∫
cos(au) cos(bu) · du = sen (a+ b)u
2(a+ b)
− sen (a− b)u
2(a− b) + C
57.
∫
sen (au) cos(bu) · du = −cos(a− b)u
2(a− b) −
cos(a+ b)u
2(a+ b)
+ C
Cada uma das fórmulas podem-se verificar mediante a derivação respeito da variável
u. Por exemplo observe, no caso da fórmula (25), temos quando a > 0:
d
dx
(
1
2a
Ln | u+ a
u− a |) =
1
2a
[
d
du
(Ln | u+ a | − | u− a |)] = 1
2a
[
1
u+ a
− 1
u− a ] =
1
u2 − a2
Portanto,
∫
du
a2 − u2 =
1
2a
Ln | u+ a
u− a | +C.
Exemplo 1.7.
Calcular I =
∫
(8x7 − 3x2 + 5)dx
Solução.
Aplicando a fórmula (3).
I =
∫
(8x7 − 3x2 + 5)dx =
∫
8x7dx−
∫
3x2dx+
∫
5dx = x8 − x3 + 5x+ C
Exemplo 1.8.
Calcular I =
∫
2(
√
x+
√
x3)
x
dx
Solução.
Aplicando a fórmula (3), temos: I =
∫
2(
√
x+
√
x3)
x
dx =
I = 2
∫
(x−1/2 + x−2/3)dx = 2
∫
x−1/2dx+ 2
∫
x−2/3dx = 4
√
x+ 6 3
√
x+ C
Exemplo 1.9.
Calcular I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 9
Observe, I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx =
∫
(a + bx3)−2x2dx, multiplicando e dividindo por
3b, temos I =
1
3b
∫
(a+ bx3)−2(3bx2)dx.
Considere u = (a+bx3) então o diferencial du = 3bx2dx; aplicando a fórmula (3) segue
I =
1
3b
∫
(a+ bx3)−2(3bx2)dx =
1
3b
∫
u−2du = − 1
3b
u−1 = − 1
3b
(a+ bx3)−1 + C
Portanto, I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx = − 1
3b
(a+ bx3)−1 + C.
Exemplo 1.10.
Calcular I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
Solução.
Pela identidade conhecida para funções hiperbólicas cosh2 x− senh2x = 1, então:
1
senh2x. cosh2 x
=
cosh2 x− senh2x
senh2x. cosh2 x
= csch2x− sech2x
pelas fórmulas (19) e (20) resulta I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
=
∫
(csch2x − sech2x)dx =
− cothx− tanhx+ C.
Portanto, I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
= − cothx− tanh x+ C.
Exemplo 1.11.
Calcular I =
∫
(3 + 2ex)2
ex
dx
Solução.
Resolvendo o quadrado: I =
∫
(3 + 2ex)2
ex
dx =
∫
9 + 12ex + 4e2x
ex
dx =
I = 9
∫
e−xdx+ 12
∫
dx+ 4
∫
exdx = −9e−x + 12x+ 4ex + C
Exemplo 1.12.
Calcular I =
∫
ax(
b
2
)xdx.
Solução.
I =
∫
ax(
b
2
)xdx =
∫
(
ab
2
)xdx =
(ab
2
)x
Ln(ab
2
)
= (
ab
2
)x[Ln(a) + Ln(b)−Ln2]−1 + C
Portanto, I =
∫
ax(
b
2
)xdx = (
ab
2
)x[Ln(a) + Ln(b)− Ln2]−1 + C.
10 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.13.
Calcular I =
∫
Lnx
x
dx
Solução.
Suponhamos que u(x) = Lnx, então du(x) =
1
x
· dx; assim podemos obter a integral
original
I =
∫
Lnx
x
dx =
∫
u.du =
1
2
(Lnx)2 + C
Exemplo 1.14.
Calcular I =
∫
dx
1 + e2x
.
Solução.
I =
∫
dx
1 + e2x
=
∫
e−2xdx
e−2x(1 + e2x)
=
∫
e−xdx
e−2x + 1
Suponha u(x) = e−2x + 1, então o diferencial du = −2e−2xdx; logo nossa integral.
I =
∫
e−xdx
e−2x + 1
= −1
2
∫
du
u
= −1
2
Ln(u(x)) + C = −1
2
Ln(e−2x + 1) + C
Exemplo 1.15.
Calcular I =
∫ √
cos x
sen5x
dx
Solução.
I =
∫ √
cos x
sen5x
dx =
∫ √
cosx
senx
· 1
sen4x
dx =
∫ √
cotx · csc4xdx =
∫ √
cotx · csc2x ·
dx
Supondo v(x) = cot x temos que, dv = −csc2x.dx.
Logo, I =
∫ √
cos x
sen5x
dx = −
∫ √
v · dv = −2
3
√
v3 + C = −2
3
√
cot3 x+ C.
Exemplo 1.16.
Calcular I =
∫
2x− 1
2x+ 3
dx
Solução.
A integral I =
∫
2x− 1
2x+ 3
dx =
∫
[1− 4
2x+ 3
]dx =
∫
dx− 2
∫
dx
x+ 3
2
=
I = x− 2Ln(2x+ 3)− 2Ln(2) = x− 2Ln(2x+ 3) + C
Exemplo 1.17.
Determine o valor da integral I =
∫
2x32x53xdx
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 11
Solução.
I =
∫
2x32x53xdx =
∫
(2 · 32 · 53)x · dx =
∫
2250x · dx = 2250
x
Ln2250
+ C
Portanto, I =
∫
2x32x53xdx =
2250x
Ln2250
+ C.
Exemplo 1.18.
Calcular I =
∫
x+ 2√
x
dx
Solução.
I =
∫
x+ 2√
x
dx =
∫
x√
x
dx+ 2
∫
dx√
x
=
∫ √
xdx+ 2
∫
x−1/2dx =
x3/2
3/2
+ 2
x1/2
1/2
=
2
3
√
x3 + 4
√
x+ C
Portanto, I =
∫
x+ 2√
x
dx =
2
3
√
x3 + 4
√
x+ C.
Exemplo 1.19.
Calcular I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx
Solução.
Lembre que, sen (A). cos(B) =
1
2
[sen (A+B) + sen (A−B)].
Sejam A = 3x− 1, B = 2x+ 2; então, A+B = 5x+ 1 e A−B = x− 3, logo
I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx = 1
2
∫
[sen (5x+ 1) + sen (x− 3)]dx =
=
1
2
∫
sen (5x+ 1)dx+
1
2
∫
sen (x− 3)dx
Suponhamos que u = 5x + 1, então du = 5dx ou
1
5
du = dx, de modo análogo,
suponhamos que v = x− 3 , então dv = dx assim:
I =
1
2
∫
sen (5x + 1)dx +
1
2
∫
sen (x − 3)dx = 1
10
∫
sen u · du + 1
2
∫
sen v · dv =
− 1
10
cosu− 1
2
cos v = − 1
10
cos(5x+ 1)− 1
2
cos(x− 3) + C.
Portanto, I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx = − 1
10
cos(5x+ 1)− 1
2
cos(x− 3) + C.
Exemplo 1.20.
Calcular I =
∫
1
1 + cos2 x
dx
Solução.
12 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Observe que
1
1 + cos2 x
=
1
1 + 1
sec2 x
=
sec2 x
sec2 x+ 1
=
sec2 x
tan2 x+ 2
=
sec2 x
tan2 x+ (
√
2)2
.
Aplicando a fórmula (23) temos que:
I =
∫
1
1 + cos2 x
dx =
∫
sec2 x
tan2 x+ (
√
2)2
dx =
1√
2
arctan[
tanx√
2
] + C
Exemplo 1.21.
Calcular I =
∫
dx
x4 − 16 .
Solução.
I =
∫
dx
x4 − 16 =
1
8
∫
[
1
x2 − 4 −
1
x2 + 4
]dx
Da fórmula (24) temos que I =
∫
dx
x2 − 4 =
∫
dx
x2 − 22 =
1
4
Ln | x− 2
x+ 2
|; e pela
fórmula (23) temos que,
∫
1
x2 + 4
dx =
∫
dx
x2 + 22
=
1
2
arctan
x
2
. Assim,
I =
∫
dx
x4 − 16 =
1
8
∫
[
1
x2 − 4 −
1
x2 + 4
]dx =
1
8
[
1
4
Ln | x− 2
x+ 2
| −1
2
arctan
x
2
]
Portanto, I =
∫
dx
x4 − 16 ==
1
32
[Ln | x− 2
x+ 2
| −2 arctan x
2
] + C.
Exemplo 1.22.
Calcular I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx
Solução.
I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
∫
x2 + 9 + 4√
x2 + 9
dx =
∫
[
√
x2 + 9 +
4√
x2 + 9
]dx.
Da fórmula (45) temos que a integral∫ √
x2 + 9dx =
∫ √
x2 + 32dx =
1
2
[x
√
x2 + 33 + 32Ln(x+
√
x2 + 32]
e, pela fórmula (27) temos que, a integral∫
4 · dx√
x2 + 9
= 4
∫
dx√
x2 + 32
= 4Ln(x+
√
x2 + 32) + C
Logo, I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
1
2
[x
√
x2 + 33+32Ln(x+
√
x2 + 32]+4Ln(x+
√
x2 + 32+C.
Portanto I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
1
2
[x
√
x2 + 9 + 17Ln(x+
√
x2 + 9)] + C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 13
Exemplo 1.23.
Seja f : R −→ R uma função contínua em R, de modo que f(0) = 2 e sua função
derivada é representada por:
f ′(x) =

x
| x | , se x < 1 e x 6= 0
ex, se x > 1
Determine a função f(x).
Solução.
Como d(| x |) = x| x | · dx se x 6= 0, então a função:
f(x) =
{
| x | +C1, se x < 1 e x 6= 0
ex + C2, se x > 1
Pela continuidade de f(x) temos que f(0) = f(0+) = f(0−) = 2, então C1 = 2; por
outro lado, f(1+) = f(1−) = e+ C2 = 1 + 2, logo C2 = 3− e.
Portanto, f(x) =
{
| x | +2, se x ≤ 1
ex + 3− e, se x > 1 .
Exemplo 1.24.
Calcular I =
∫
3ex√
1− e2xdx
Solução.
Suponha u = ex, então du = exdx.
I =
∫
3ex√
1− e2xdx = 3
∫
du√
1− u2 = 3arcsenx+ C = 3arcsen(e
x) + C
Exemplo 1.25.
Estima-se que, dentro de x semanas, a população de um certo tipo de gafanhotos
variará segundo a taxa (7+6x) insetos por semana. A população atual é de 500 gafanhotos.
Qual será a população dentro de nove semanas?
Solução.
Se P (x) é a população de gafanhotos dentro de x semanas, então a derivada de P (x)
é a taxa de variação da população em relação ao tempo; isto é, P ′(x) = (7 + 6x).
Por outro lado; P (x) =
∫
P ′(x)dx =
∫
(7 + 6x)dx = 7x+ 3x2 + C.
Quando x = 0 temos a população atual; assim P (0) = 7(0) + 3(02) + C = 500 então
C = 500 e P (x) = 7x+ 3x2 + 500.
Daqui a nove semanas a população será P (9) = 7(9) + 3(9)2 + 500 = 806 gafanhotos.
14 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.26.
O lucro marginal de uma fábrica de calçados ao produzir q pares de unidades de cal-
çados é 200 − 4q reais por unidade. Se o lucro obtido com a produção de 100 pares de
unidades é R$500, 00, qual será o lucro máximo da fábrica?
Solução.
O lucro marginal, é a derivada do lucro L(q).
Sabe-se que o lucro marginal é L′(q) = 200− 4q então,
L(q) =
∫
L′(q)dq =
∫
(200− 4q)dq = 200q − 2q2 + C
Quando q = 100 temos que L(100) = 500 = 200(100) − 2(100)2 + C, onde C = 0;
assim, L(q) = 200q − 2q2.
Para calcular o lucro máximo, observe que L(q) = 200q − 2q2 = 2(100q − q2) =
2(502 − 502 + 100q − q2) = 2[2500 − (50 − q)2]; o que implica q = 50 para obter lucro
máximo.
Assim, quando q = 50 temos L(50) = 200(50)− 2(50)2 = 5.000, 00.
Portanto, o lucro máximo é R$5.000, 00.
Exemplo 1.27.
Calcular a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da tangente em qualquer
ponto x, é m = 4x3 + 2 e seu gráfico passa pelo ponto (−2, 10).
Solução.
O coeficiente angular da tangente, é m = f ′(x) = 4x3 + 2 e f(x) é a primitiva; logo:
f(x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
(4x3 + 2)dx = x4 + 2x+ C
Para o cálculo de C consideremos o fato que o gráfico de f(x) passa pelo ponto (−2, 10);
isto é f(−2) = (−2)4 + 2(−2) + C = 10 o que implica que C = −2.
Portanto a equação desejada é f(x) = x4 + 2x− 2.
Exemplo 1.28.
Determine a função cujo gráfico possui máximo relativo em x = 2 e mínimo relativo
em x = 6, e passa pelo ponto (0, −3)
Solução.
Pelas condições de extremos, sabemos que:
f ′(2+) < 0, f ′(2−) > 0, f ′(6+) > 0 e f ′(6−) < 0
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 15
então a derivada da função tem a forma f ′(x) = (x − 2)(x − 6), logo a antiderivada
f(x) =
∫
(x− 2)(x− 3)dx =
∫
(x2 − 8x+ 12)dx = 1
3
x3 − 4x2 + 12x+ C.
Observe que pelo fato o gráfico da função f(x) passar por (0, −3) temos que f(0) =
C = −3.
Portanto f(x) =
1
3
x3 − 4x2 + 12x− 3.
Exemplo 1.29.
Um fabricante de componentes eletrônicos constata que o custo marginal em reais (R$)
da produção de x unidades de uma peçade filmadora é dada por 40 − 0, 01x reais. Se
o custo de produção de uma unidade é 45 reais, determine a função custo, e o custo de
produção de 50 unidades.
Solução.
Seja C(x) a função de custo total, então a função de custo marginal é dada pela função
C ′(x); isto é C ′(x) = 40− 0, 01x. Logo∫
C ′(x)dx =
∫
(40− 0, 01x)dx = 40x− 0, 005x2 +K
para alguma constante K; assim C(x) = 40x− 0, 005x2 +K.
Quando x = 1 (uma unidade) temos C(1) = 45, logo 45 = C(1) = 40(1)−0, 005(12)+
K, onde K = 5, 005.
Portanto a função de custo total em reais é dada pela função C(x) = 40x− 0, 005x2+
5, 005.
Em particular, quando x = 50, temos C(50) = 40(50) − 0, 005(502) + 5, 005, o custo
de produção de 50 unidades é: R$1.992, 505.
Exemplo 1.30.
Seja f(x) =| x− 1 | +x. Mostre que
F (x) =
x se, x < 1x2 − x+ 1 se, x ≥ 1.
é uma antiderivada de f(x) no intervalo (−∞, +∞)
Solução.
Suponhamos x ≥ 1, então f(x) = x− 1 + x = 2x− 1, onde∫
f(x)dx =
∫
(2x− 1)dx = x2 − x+ C1
16 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Por outro lado, se x < 1 temos que f(x) = −(x− 1) + x = 1 onde∫
f(x)dx =
∫
(1)dx = x+ C2
onde C1 e C2 são constantes reais arbitrárias.
Em particular, quando C1 = 1 e C2 = 0 temos que:
F (x) =
x se, x < 1x2 − x+ 1 se, x ≥ 1.
é uma antiderivada de f(x) no intervalo (−∞, +∞).
Exemplo 1.31.
Considere a equação:
dy
dx
+ y = x+ 1, onde y = f(x) determine o seguinte:
a) Uma solução geral dessa equação (chamada equação diferencial).
b) Determine a solução y = f(x) que cumpra a condição inicial f(0) = 4.
Solução. a)
Seja y função de variável x, e consideremos a função implícita F (x, y) = y·ex; derivando
F implícitamente em relação à variável x temos que F ′(x, y) =
dy
dx
· ex + y · ex.
Com esta idéia, a equação original podemos escrever na forma:
dy
dx
· ex + y · ex = ex(x+ 1), de onde resulta d(y · e
x)
dx
= ex(x+ 1).
De onde,
∫
d(y · ex)
dx
dx =
∫
ex(x+ 1)dx ⇒ y · ex =
∫
ex(x+ 1)dx.
Portanto. uma solução geral à equação é: y = e−x ·
∫
ex(x+ 1)dx
Solução. b)
Como
∫
ex(x+ 1)dx = x · ex, da solução geral temos que
y = f(x) = e−x(x · ex) + C ⇒ f(x) = x+ C · e−x
onde C ∈ R é uma constante de integração.
Em particular quando x = 0, temos que 4 = f(0) = 0 + C · e−0 = C ⇒ C = 4.
Portanto, a solução particular à equação é: y = x+ 4e−x.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 17
Exercícios 1-1
1. Determine as funções primitivas para as seguintes funções:
1. 2x8 2.
5
x
+
8
x2
3.
x6 − 7x2 + 2
x
4. 1− 2sen 2x 5. 1√
a+ bx
6. e2−5x
7.
1
3
√
7x
8.
1
cos2 3x
9.
x6 − 1
x2 − 1
2. Determine a validade das seguintes igualdades:
1.
∫
dx
9 + x2
=
1
3
arctan
x
3
+ C 2.
∫
x
√
2x2 + 5dx =
√
(2x+ 5)3
6
+ C
3.
∫
x3 · dx√
a2 + x4
=
√
a2 + x4
2
+ C 4.
∫
dx
(a+ bx)3
= − 1
2b(a+ bx)2
+ C
5.
∫
6x.dx
(5− 3x2)2 =
1
5− 3x2 + C 6.
∫
x(a− bx2)dx = −(a− bx
2)2
4b
+ C
7.
∫
8x · dx
3
√
x2 + 8
=
8
√
x2 + 8
3
+ C 8.
∫
x.dx
(a+ bx2)3
= − 1
4b(a+ bx2)2
+ C
9.
∫
(a+ bx)2dx =
(a+ bx)3
3b
+ C 10.
∫
x.dx
(a+ bx2)2
=
(−1)
2b(a+ bx2)
+ C
11.
∫
tan2 x.dx = tan x− x+ C 12.
∫
x(x2 + 2)2dx =
(x2 + 2)3
6
+ C
13.
∫
(2x+ 3)dx√
x2 + 3x
= 2
√
x2 + 3x+ C 14.
∫
dx√
8− x2 = arcsen[
x
2
√
2
] + C
15.
∫
(
√
a−√x)2√
x
· dx = −2(
√
a−√x)3
3
+ C
16.
∫
(
√
a−√x)2dx = ax− 4x
√
ax
3
+
x2
2
+ C
17
∫
x(2x+ 1)2dx = x4 +
4
3
x3 +
1
2
x2 + C
18.
∫ √
x(
√
a−√x)2dx = 2
3
a
√
x3 − x2√a+ 2
5
√
x5 + C
19.
∫
x(a+ bx3)2dx =
a2x2
2
+
2abx5
5
+
b2x8
8
+ C
20.
∫
xn−1
√
a+ bxndx =
2
√
(a+ bxn)3
3nb
+ C
21.
∫
(
√
a−√x)4√
x
dx = −1
2
x2 + 2x
√
ax− 3ax+ 2a√ax+ C
22.
∫
dx
x2 − 10 =
1
2
√
10
Ln | x−
√
10
x+
√
10
| +C
18 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
3. Calcular as integrais dos seguintes exercícios.
1.
∫
5a2x2dx 2.
∫ √
2pxdx 3.
∫
x(x+ a)(x+ b)dx
4.
∫
(nx)
1−n
n dx 5.
∫
cot2 x.dx 6.
∫
(
√
x+ 1)(x−√x+ 1)dx
7.
∫
dx√
4 + x2
8.
∫
(xm − xn)2√
x
dx 9.
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 dx
10.
∫
dx
x2 + 7
11.
∫
a.dx
a− x 12.
∫
x2 + 5x+ 7
x+ 3
dx
13.
∫
ax+ b
αx+ β
14.
∫
1− 3x
3 + 2x
dx 15.
∫
(a+
b
x− a)
2dx
16.
∫
b.dy√
1− y 17.
∫
x.dx√
x2 + 1
18.
∫
(6x2 + 8x+ 3)dx
19.
∫
3xexdx 20.
∫
dx
3x2 + 5
21.
∫
(a+ bx3)2dx
22.
∫
1
n
√
x
dx 23.
∫
(
3
√
a2 − 3
√
x2)3dx 24.
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)
3
√
x2
dx
4. Sejam a e b constantes reais tais que a 6= b, determine a antiderivada para as
seguintes funções:
1. sen (ax)sen (bx) 2. cos(ax) cos(bx) 3. sen (ax) cos(bx)
5. Mostre, calculando de duas maneiras, que:∫
tan x. sec2 x.dx =
1
2
tan2 x+ C1 =
1
2
sec2 x+ C2
6. Mostre, calculando de três maneiras distintas, que:∫
sen x. cosx.dx =
1
2
sen 2x+ C1 = −1
2
cos2 x+ C2 =
1
4
cos 2x+ C3
7. O preço de revenda de um carro decresce a uma taxa que varia com o tempo.
Quando o carro tiver x anos de uso, a taxa de variação de seu valor será 200(x− 9)
reais por ano. Se hoje o carro foi comprado por 12.000, 00 reais, qual será o custo
do carro dentro de cinco anos?
8. Determine uma função y = f(x) que cumpra
dy
dx
=
x+ 6x2√
y
e passe pelo ponto
(2, 4).
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 19
1.3 Métodos de integração
Antes do estudo dos métodos de integração, é bom notar a diferencia entre operações
de derivação e integração indefinida.
Dizemos que uma função elementar é aquela que se obtém mediante um número finito
de operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, e composição de funções como
por exemplo: as funções constantes; a função potência y = xn; a função exponencial
y = ax; as funções logarítmicas; trigonométricas e trigonométricas inversas.
Dada uma função elementar sua derivada conserva esta propriedade; isto é sua de-
rivada também expressa-se como uma função elementar, entanto na integral indefinida,
isto somente sucede em condições muito especiais. De fato é possível escrever integrais
relativamente simples como por exemplo:∫
ex
2
dx
∫
e−x
2
dx
∫
sen x
x
∫
tanx
x
dx∫
dx
Lnx
∫ √
1 + x3dx
∫
sen x2.dx
∫
cos x2.dx
as quais não podem ser expressas como “ combinações finitas” de funções elementares.
Do ponto de vista prático, a integração se apresenta como uma operação um tanto mais
complicada que a derivação; entanto tínhamos regras gerais de derivação, para a integração
somente é possível fazer artifícios que são válidos para grupos mais ou menos restritos de
funções. Para cada caso particular precisamos uma tentativa, um ensaio pelo que se
recomenda prática, mais prática e mais prática.
1.3.1 Integração por substituição
Algumas integrais inicialmente são difíceis de calcular. Uma idéia é transforma-as
mediante uma substituição algébrica com uma conveniente mudança de variável, que as
reduz em integrais muitas mais simples. Intuitivamente explicarei a técnica de substituição
mediante o seguinte roteiro:
1) Escreva a integral a calcular I =
∫
f(x)dx
2) Proponha uma substituição da forma u = u(x). Em geral é melhor escolher a parte
interna de uma função composta.
3) Depois nossa intenção será achar a função inversa de u(x), isto é temos que achar
x = x(u).
4) Calcular o diferencial dx = x′(u)du.
20 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
5) Escreva as substituições apropriadas
∫
f(x)dx =
∫
f(u(x))u′(x)dx.
6) Confira depois de simplificações algébricas que o cálculo da nova integral é mais simples
que a inicial 1). (Caso contrário proponha outrasubstituição em 2).
7) Não esqueça que a resposta para
∫
f(x)dx é uma função de variável x. Então uma
vez que você terminou seus cálculos, você deveria substituir parta obter na variável
inicial x.
Observação 1.2.
a) Em geral, se a substituição é boa, você pode não precisar de 3). Calcular o diferencial
de u = u(x), para obter du = u′(x)dx, logo substitua a variável u = u(x) na nova
integral. Você deveria ter certeza que a variável x desapareceu da integral original.
b) Uma boa substituição às vezes é difícil de achar no início. Então recomendamos não
perder muito tempo no passo 2). Depois de alguma prática você pode começar a
ter um bom palpite para a melhor substituição.
Exemplo 1.32.
Calcular I =
∫
x(x2 + 5)75dx
Solução.
Está claro que, se nós desenvolvemos o (x2 + 5)75 mediante a fórmula de binômio,
acharemos uma função polinomial fácil de integrar. Mas está claro, que isto levará muito
tempo com possibilidade de cometer erros de cálculo.
Consideremos a substituição u = x2 + 5 (a razão é a presença de x na integral).
Então temos du = 2xdx e I =
∫
x(x2 + 5)75dx =
∫
u75
2
du; podemos conferir que a
nova integral é mais fácil calcular, consequentemente
I =
∫
u75
2
du =
u76
152
+ C
que não completa a resposta desde que, a integral indefinida não é uma função de x é de
variável u = u(x).
Então, temos que substituir u através de u(x) ; onde
I =
∫
x(x2 + 5)75dx =
1
125
(x2 + 5)76 + C
O método de “integração por substituição”, também conhecida como o método da
“integração por mudança de variável" tem seu princípio fundamental na derivação da
função composta.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 21
Dada a função f : A ⊆ R −→ R, queremos calcular
∫
f(x)dx.
Propriedade 1.4.
Suponhamos que escrevemos x = h(t) onde h : B ⊆ R −→ A é uma função com
derivada h′(t) 6= 0 ∀ t ∈ B. Se a função g(t) = f(h(t)).h′(t) ∀ t ∈ B admite uma
primitiva G em B, isto é G′(t) = g(t) = f(h(t)).h′(t) então:∫
f(x)dx =
∫
f(h(t))h′(t)dt =
∫
g(t)dt = G(t) + C = G(h−1(x)) + C (1.2)
Demonstração.
Para mostrar, é necessário que as derivadas respeito da variável x, da igualdade (1.2)
sejam idênticas.
Com efeito, temos que:
d
dx
(∫
f(x)dx
)
= f(x)
Por outro lado, como h′(t) 6= 0 ∀ t ∈ B então h(t) > 0 ou h(t) < 0 logo h(t) é
estritamente crescente ou decrescente em B assim h(t) admite função inversa t = h−1(x)
onde h−1 : A −→ B e dt
dx
=
1
dx
dt
.
Pela regra da cadeia
dy
dx
=
dy
dt
· dt
dx
por tanto, na parte da direta da igualdade (1.2)
segue que:
d
dx
[
∫
f(h(t))h′(t)dt] =
d
dt
[
∫
f(h(t))h′(t)dt] · dt
dx
=
= f(h(t)) · h′(t) · dt
dx
= f(h(t)) · h′(t) · 1
dx
dt
=
= f(h(t)) · h′(t) · 1
h′(t)
= f(h(t)) = f(x)
As outras igualdades são evidentes.
Observação 1.3.
a) Resumindo, se na integral
∫
f(x)dx substituímos x = h(t) e como dx = h′(t)dt,
verifica-se
∫
f(x)dx =
∫
f(h(t))h′(t)dt.
b) Aqui entendemos que a função h(t) satisfaz as condições indicadas anteriormente e,
depois da integração a variável t será substituída por sua expressão na variável
original x, considerando que, x = h(t).
c) A eleição da função x = h(t) deve ser feita de modo que seja possível calcular a integral
indefinida em função da variável t.
22 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
d) Existem alguns casos onde é preferível utilizar a substituição t = g(x) e dt = g′(x)dx
como mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 1.33.
Calcular I =
∫
5(x5 + 2)3x4dx
Solução.
Considere t = (x5 + 2), então dt = 5x4dx, logo
I =
∫
5(x4 + 2)3x4dx =
∫
t3.dt =
1
4
t4 + C =
1
4
(x5 + 2)4 + C
.
Portanto, I =
∫
5(x4 + 2)3x4dx =
1
4
(x5 + 2)4 + C.
Exemplo 1.34.
Calcular I =
∫
x
√
2x+ 2dx
Solução.
Considere u = 2x+ 2, então du = 2dx, e x =
u− 2
2
logo:
I =
∫
x
√
2x+ 2dx =
∫
[
u− 2
2
]
√
u
du
2
=
1
4
∫
[
√
u3 − 2√u]du =
I =
1
4
[
2
5
√
u5 − 4
3
√
u3
]
+ C
Substituindo u = 2x+ 2, temos I =
1
4
[
2
5
√
(2x+ 2)5 +
4
3
√
(2x+ 2)3
]
+ C.
Portanto, I =
∫
x
√
2x+ 2dx =
1
10
√
(2x+ 2)5 +
1
3
√
(2x+ 2)3 + C.
Exemplo 1.35.
Considere-se a 6= 0, calcular I =
∫
cos(ax+ b)dx
Solução.
I =
∫
cos(ax+ b)dx =
1
a
sen (ax+ b) + C.
Exemplo 1.36.
Calcular I =
∫
(2x+ 1)20dx
Solução.
I =
∫
(2x+ 1)20dx =
1
42
(2x+ 1)21 + C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 23
Observação 1.4.
a) Considere a 6= 0, ao determinar a integral
∫
f(ax+b)dx podemos omitir a substituição
u = ax + b; é suficiente considerar dx =
1
a
d(ax + b) e deste modo obter a integral∫
f(ax+ b)dx =
1
a
F (ax+ b) + C onde F é a primitiva de f(x).
b) Em geral se temos que integrar o produto de duas funções, a qual uma delas é uma
certa função g(x) e a outra é a derivada de g(x) (com precisão até o fator constante),
então é conveniente efetuar a substituição g(x) = u.
Exemplo 1.37.
Calcular I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx
Solução.
I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx =
∫
arcsen
√
x√
x · √1− xdx
Seja a substituição u = arcsen
√
x, então du =
1√
1− (√x)2 ·
dx
2
√
x
Logo, I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx =
∫
arcsen
√
x√
x · √1− xdx =
I =
∫
2arcsen
√
x√
1− x · 2√xdx = 2
∫
u.du = u2 + C = (arcsen
√
x)2 + C
Portanto I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx = (arcsen
√
x)2 + C.
Exemplo 1.38.
Calcular I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx
Solução.
Considere u = ex · cos(e−x), então du = [ex · cos(e−x) + (ex)sen (e−x) · (e−x)]dx =
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx, logo na integral original temos que
I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx =
∫
du = u+ C = ex · cos(e−x) + C
Portanto, I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx = ex · cos(e−x) + C.
Exemplo 1.39.
Calcular I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx
Solução.
24 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Considere u = (1 + senh2x), então du = 2senhx · coshx · dx; logo:
I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx =
1
2
∫
2senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx =
=
1
2
∫
du
u3
= − 1
4
u−2 + C = − 1
4(1 + senh2x)2
+ C
Portanto, I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx = − 1
4(1 + senh2x)2
+ C.
Exemplo 1.40.
Calcular I =
∫
sen 3
√
x
3
√
x2
dx
Solução.
Considere u = 3
√
x, isto é u3 = x então 3u2du = dx logo,
I =
∫
sen 3
√
x
3
√
x2
dx =
∫
3u2 · sen u
u2
du = − cosu+ C = − 3 cos 3√x+ C
Exemplo 1.41.
Calcular a integral: I =
∫
e2x√
1 + ex
dx.
Solução.
Suponhamos u = ex ⇒ du = exdx, logo na integral:
I =
∫
e2x√
1 + ex
dx =
∫
u√
1 + u
du =
∫
(1 + u)− 1√
1 + u
du =
I =
∫ √
1 + u du−
∫
du√
1 + u
= I1 − I2
Calculando cada uma destas últimas integrais:
I1 =
∫ √
1 + u du =
2
3
(
√
1 + u)3 =
2
3
(
√
1 + ex)3
I2 =
∫
du√
1 + u
= 2
√
1 + u = 2
√
1 + ex
Portanto, I =
∫
e2x√
1 + ex
dx =
2
3
(
√
1 + ex)3 − 2√1 + ex + C.
Exemplo 1.42.
Calcular I =
∫ √2 +√2 +√2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 25
Sabe-se que cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
logo, 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ. Observe que:
√
2 +
√
2 +
√
2 + 2 cos(5
√
x+ 1) =
√
2 +
√
2 +
√
2[1 + cos(5
√
x+ 1)] =
=
√√√√√2 +
√√√√2 +√4 cos2 [(5√x+ 1)
2
]
=
√
2 +
√
2 + 2 cos(
5
√
x+ 1
2
) =
=
√
2 +
√
2[1 + cos(
5
√
x+ 1
2
)] =
√√√√2 +√4 cos2 [5√x+ 1
4
]
=
=
√
2 + 2 cos(
5
√
x+ 1
4
) =
√
2[1 + cos(
5
√
x+ 1
4
)] =
=
√
4 cos2
[
5
√
x+ 1
8
]
= 2 cos(
5
√
x+ 1
8
)
Seja u =
5
√x+ 1
8
então, du =
5 · dx
16
√
x
, assim na integral original temos:
I =
∫ √2 +√2 +√2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx =
32
5
∫
cosu · du = 32
5
sen u+ C
Portanto, I =
∫ √2 +√2 +√2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx =
32
5
sen
[
5
√
x+ 1
8
]
+ C.
Exemplo 1.43.
Emmarço de 1987, a populaçãomundial atingiu 5.000.000.000, e estava crescendo à
taxa de 380.000 pessoas por dia. Assumindo-se taxas de natalidade e mortalidade cons-
tantes, para quando se deve esperar uma população mundial de 10.000.000.000?
Solução.
Consideremos 1987 como o início da observação, logo o tempo t = 0 (em anos) co-
rresponde a 1987, sendo a função população P (t) em função do tempo, temos então que
P (0) = 5× 109 habitantes.
Seja k a constante de proporcionalidade para o crescimento populacional, então no
instante t, temos
dP
dt
= k · P de onde
1
P
· dP = k · dt
∫
1
P
· dP =
∫
k · dt ⇒ LnP = kt+ C1
26 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
P (t) = Cekt, C = eC1
como P (0) = 5× 109 ⇒ 5× 109 = Cek·0 ⇒ P (t) = 5× 109ekt.
Assim,
dP
dt
(t) = k · P (t) ⇒ dP
dt
(t) = k · 5× 109ekt.
Quando t = 0 temos P (0) = 380.000× 365 = 38× 104 × 365, logo
38× 104 × 365 = k · 5× 109ek·0 ⇒ k = 38× 10
4 × 365
5× 109 =
38× 73
105
= 0, 02774
de onde k = 0, 02774
Assim, temos que P (t) = 5× 109e0,02774t
Queremos saber qual o valor de t quando P (t) = 10.000.000.000 = 1010, isto é
1010 = 5× 109e0,02774t ⇒ 2 = e0,02774t ⇒ 0, 02774t = Ln2 ⇒ t = 24, 98
A população atingirá 1010 habitantes em 2012.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 27
Exercícios 1-2
1. Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras:
1.
∫
(
√
x+ 5)dx =
2
3
√
x3 + 5x+ C 2.
∫
senhx.dx
(1 + coshx)4
= − 1
3(1 + cosh x)3
3.
∫
e
√
x · 3e
√
x
dx√
x
=
2(3e
√
x
)
Ln3
+ C 4.
∫
cos(7x+ 4)dx =
1
7
sen (7x+ 4) + C
5.
∫
e2x−5dx =
1
2
e2x−5 + C 6.
∫
18dx
9x2 − x4 = −
2
x
+
2
3
Ln[
x+ 3
x− 3] + C
7.
∫
4xex · dx = (4e)
x
1 + Ln4
+ C 8.
∫
7x2 + 16
x4 + 4x2
dx =
3
2
arctan[
x
2
]− 4
x
+ C
9.
∫
dx
1 + cos 10x
=
tan 5x
10
+ C 10.
∫
dx
cos2(1− 4x) = −
1
4
tan(1− 4x) + C
11.
∫
dx
xLn2x
= − 1
Lnx
+ C 12.
∫ 5√x2 − 2x+ 1
1− x dx = −
5
2
5
√
(x− 1)2 + C
13.
∫
[Lnx+ 1].ex.Lnxdx = xx + C 14.
∫
2x · 3x+1
5x+2
dx =
3
25
(
6
5
)x(
1
Ln6− Ln5) + C
15.
∫
sen x · etan2 x
cos3 x
dx =
1
2
etan
2 x + C 16.
∫ √
x(x+ 1)dx =
2
√
x5
5
+
2
√
x3
3
+ C
17.
∫
7dx√
5− x2 = 7arcsen[
x√
5
] + C 18.
∫
3dx
x2 + 4x− 5 =
1
2
Ln[
x− 1
x+ 5
] + C
19.
∫
dx
1 + sen x
= tan x− sec+C 20.
∫
xdx
x2(x2 − 8) = Ln
16
√
x2 − 8
x2
+ C
21.
∫
x2x(1 + Lnx)dx =
x2x
2
+ C 22.
∫
cos3 x.dx
1− sen x = sen x+
sen 2x
2
+ C
23.
∫
dx
sen 2x( 3
√
cotx− 1 =
−3 3√(cotx− 1)2
2
+ C
24.
∫
4 · dx√−4x2 − 20x− 9 = 2arcsen[
2x+ 5
4
] + C
25.
∫ √
−4x2 − 12x− 5 · dx = 1
4
[(2x+3)
√
−4x2 − 12x− 5+4arcsen(2x+ 3
2
)]+C
26.
∫
dx√
(1 + x2)Ln(x+
√
1 + x2)
= 2
√
Ln(x+
√
1 + x2) + C
27.
∫
earctanx + xLn(x2 + 1) + 1
1 + x2
· dx = earctanx + 1
4
Ln2(x2 + 1) + arctan x + C
28.
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 · dx = arcsen(
x√
2
)− arcsenh( x√
2
) + C
29.
∫
dx√
x− 1 +√x+ 1 =
1
3
[(
√
(x+ 1)3 −
√
(x− 1)3] + C
28 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
2. Calcular as seguintes integrais utilizando regras principais e fórmulas de integração.
1.
∫
sen 2x · dx 2.
∫
sec2(ax+ b)dx 3.
∫
tan
√
x√
x
dx
4.
∫
senh2x · dx 5.
∫
dx
coshx
6.
∫
tanhx · dx
7.
∫
dx
sen x
a
8.
∫
dx
sen (ax+ b)
9.
∫
xsen (1− x2)dx
10.
∫
tanx · dx 11.
∫
dx
sen x cos x
12.
∫
cot(
x
a− b)dx
13.
∫
sen 36x · cos 6x · dx 14.
∫
sen 2x · cos 6x · dx 15.
∫ √
tanx
cos2 x
dx
16.
∫
sen 3x · dx
3 + cos 3x
17.
∫
1 + sen 3x
cos2 3x
dx 18.
∫
csc2 3x
b− a · cot 3xdx
19.
∫
x
5
√
5− x2dx 20.
∫
x3 · dx
x8 + 5
21.
∫
3−√2 + 3x2
2 + 3x2
dx
22.
∫ √
a− bxdx 23.
∫
x2
x2 + 2
dx 24.
∫
x2 + 1
x− 1 dx
25.
∫
2x+ 3
2x+ 1
dx 26.
∫
x2 − 5x+ 6
x2 + 4
dx 27.
∫
dx√
7− 5x2
28.
∫
dx
7x2 − 8 29.
∫
x
(x+ 1)2
dx 30.
∫
3− 2x
5x2 + 7
dx
3. Determine o valor das seguintes integrais mediante mudança da variável apropriada:
1.
∫
sen ax · sen bx · dx 2.
∫
cos ax · cos bx · dx 3.
∫
sen ax · cos bx · dx
4.
∫
sen 3x · cos x · dx 5.
∫
x
ax+ b
dx 6.
∫
x
√
1 + x2dx
7.
∫
x2
x3 − adx 8.
∫
sen x
cos2 x
dx 9.
∫
x(a+ bx2)3dx
10.
∫
tanx
cos2 x
dx 11.
∫
(Lnx)p
x
dx 12.
∫
ex
1 + e2x
dx
13.
∫
ex
1 + ex
dx 14.
∫
cos x · dx
a+ bsen x
15.
∫
arcsenx√
1− x2dx
16.
∫
(3x− 1)dx
3x2 − 2x+ 5 17.
∫
dx
x(1 + Lnx)3
18.
∫
cos x
1 + sen 2x
dx
19.
∫
dx
x
√
1− Ln2x
20.
∫
dx√
x cos2(
√
x)
21.
∫
sen 2x
1 + cos2 x
dx
22.
∫
cos(Lnx)
x
dx 23.
∫
cos x · √1 + sen x · dx 24.
∫
sen x · cos x
1 + cos2 x
dx
25.
∫
cotx · dx 26.
∫
(3x2 − 6x)3(x− 1)dx 27.
∫
x · e1+x2dx
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 29
28.
∫
dx√
1 + x
29.
∫
sen x+ cos x
3 + sen 2x
dx 30.
∫
dx√
1− x2
31.
∫ √
x · dx√
a3 − x3 32.
∫
dx
(x+ 1)
√
x
33.
∫
x2√
1 + x6
· dx
34.
∫ √
a− x√
x
dx 35.
∫
x2 · dx
a6 − x6
4. Calcular as integrais dos seguintes exercícios:
1.
∫
x3
a2 − x2dx 2.
∫
dx√
7 + 8x2
dx 3.
∫
dx
(a+ b)− (a− b)x2 0 < b < a
4.
∫
2x− 5
3x2 − 2dx 5
∫
3x+ 1√
5x2 + 1
dx 6.
∫
x
x2 − 5dx
7.
∫
ax+ b
a2x2 + b2
dx 8.
∫
x2
1 + x6
dx 9.
∫ √
arcsenx
1− x2 · dx
10.
∫
x
√
e
x2
dx 11.
∫
a · e−mxdx 12.
∫
(et − e−t)dt
13.
∫
(ax − bx)2
ax · bx dx 14.
∫
x · e(x2+1)dx 15.
∫
x−√arctan 2x
1 + 4x2
dx
16.
∫
ex
ex − 1dx 17.
∫
ax · dx
1 + a2x
18.
∫
3
√
( a
√
ex + 1) · a√exdx
19.
∫
et
1− e2tdt 20.
∫
cos(
x√
5
)dx 21.
∫
(cos
√
x)√
x
dx
5. Resolver as seguintes integrais:
1.
∫
x− arctan 2x
1 + 4x2
dx 2.
∫
Ln(Lnx)
x · Lnx dx 3.
∫
dx
2x + 3
4.
∫
dx√
ex − 1 5.
∫
sen x · cosx · dx√
2− sen 4x 6.
∫
dx
4 + 5sen 2x
7.
∫
dx
4 + 5 cos2 x
8.
∫
dx
ex + 4
9.
∫
Ln3x · dx
x · Ln5x
10.
∫ √
Ln(x+
√
x2 + 1)
1 + x2
dx 11.
∫ √
1 + sen xdx 12.
∫ √
1 + cos xdx
13.
∫
dx
e−x + ex
14.
∫
dx√√
x+ 1
15.
∫
arctan
√
x√
x+ 2x2 + x3
dx
16.
∫
(x− 2)dx
x
√
x− 1 · √x2 − x+ 1 17.
∫
sen 8x · dx
9 + sen 44x
18.
∫
csc3 x · dx
19.
∫
(2ex + e−x)dx
3ex − 4e−x 20.
∫
Lnx · dx
x3(Lnx− 1)3 21.
∫
x · dx
(x− 1)5e4x
30 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
22.
∫
ex
√
ex + 2 · dx
6 + ex
23.
∫
cos2 x(tan2 x+ 1)
(sen x+ cos x)2
dx 24.
∫
(1 + tan x)dx
sen 2x
25.
∫
dx
eLn(2x)
√
Lnx+
√
Lnx+
√
Lnx+ . . .+∞ − x
26.
∫
sec3 x · dx
27.
∫
x2sen x−1(sen x+ x · cos x · Lnx)dx 28.
∫
x5 · dx
x3 − 8
29.
∫
(cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10)dx
cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x
6. Uma função contínua, real de variável real cumpre as seguintes condições : f(1) = 0
e f ′(x) =
x+ | 1− x |
x2 + 1
. Achar f(x).
7. Ache uma equação da curva que contém o ponto (2, 3) e tem declividade m =
7x2 + 3x− 5 em todo ponto (x, y).
8. Determine a equação da curva y = f(x) cuja tangente no ponto (0, 2) é horizontal
e tenha como ponto inflexão (−1, 2
3
) e satisfazy′′′ = 4 .
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 31
1.3.2 Método de integração por partes
Um estudante muitas vezes se engana, pensa que a solução da integral
∫
f(x) ·g(x)dx
é da forma
∫
f(x)dx ·
∫
g(x)dx; isto é, pensa que
∫
f(x) ·g(x)dx =
∫
f(x)dx ·
∫
g(x)dx.
Para se convencer que isto esta errado por um instante suponha que f(x) = x e
g(x) = 1 e você obterá um absurdo.
Uma resposta parcial para este problema é determinada pelo que é chamado de “inte-
gração por partes”. Para entender esta técnica, lembre a fórmula de derivação:
d(u(x) · v(x))
dx
=
du(x)
dx
· v(x) + u(x) · dv(x)
dx
aplicando diferenciais resulta: u(x) · v(x) =
∫
u′(x) · v(x)dx+
∫
u(x) · v′(x)dx
Então se uma das duas integrais
∫
u′(x)v(x)dx ou
∫
u(x)v′(x)dx é fácil calcular,
podemos usar este resultado para adquirir a outra. Esta é a idéia principal de “integração
por partes”. Intuitivamente explicarei esta técnica.
1) Escreva a integral a calcular: I =
∫
f(x)·g(x)dx onde você identifica as duas funções
f(x) e g(x). Note que somente uma função estará determinada (por exemplo
suponha f(x)), então fixe a segunda a ser determinada (neste caso sería g(x)).
2) Introduza as funções intermediárias u(x) e v(x) na forma u = f(x) e dv = g(x)dx.
Então precisamos da derivada de f(x) e de integrar g(x)dx para obter: du = f ′(x)dx
e v =
∫
g(x)dx . Note que neste passo, você tem a escolha se diferenciar f(x) ou
g(x).
3) Use a fórmula
∫
u(x)v′(x)dx = u(x) · v(x) −
∫
v(x)u′(x)dx
4) Temos que calcular a nova integral
∫
v(x)u′(x)dx
O primeiro problema que a pessoa enfrenta lidando com esta técnica é a escolha a ser
utilizada no passo 2); não há nenhuma regra geral para seguir; na verdade é uma questão
de experiência. Observe o seguinte exemplo:
Exemplo 1.44.
Calcular I =
∫
Lnx · dx
Solução.
Podemos supor u = Lnx e dv = dx, então du =
1
x
dx e v =
∫
1 · dx = x, logo
I =
∫
Lnx · dx = x · Lnx−
∫
1
x
dx = x · Lnx− x+ C.
32 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Portanto, I =
∫
Lnx · dx = x · Lnx− x+ C. �
Formalmente; sejam u e v duas funções definidas e deriváveis num intervalo da
reta R, pela regra do diferencial de um produto temos: d(u · v) = u · dv + v · du logo,
u · dv = u · v − v · du; integrando esta última expressão resulta:∫
u · dv = u · v −
∫
v · du
Esta fórmula é conhecida como “fórmula de integração por partes”. Na prática esta
fórmula é bastante útil e consiste em expressar o elemento de integração como o produto
de dois fatores; de uma função u = u(x) e do diferencial de uma função v = v(x) denotado
por dv, de modo que determina-se a função v do diferencial dv, e o cálculo da nova integral∫
v · du constituem em conjunto um problema simples que o cálculo da integral
∫
u · dv;
esta fórmula pode ser utilizada mais de uma vez na solução de uma integral.
Para decompor o elemento de integração dado em dois fatores u e dv, normal-
mente traba- lhamos com nossa função u = u(x) como aquela que simplifica-se com
a derivação; por exemplo, nais integrais que aparecem alguma destas funções xn (n ∈
N), Lnx, arcsenx, arcsenhx; etc., considera-las como u(x). Isto não é regra geral, na
prática a habilidade e a experiência de quem calcula é a melhor ferramenta.
Observação 1.5.
• Quando determinamos a função v do diferencial dv, não é necessário considerar a
constante de integração C, se ao invés da função v considera-se v + C onde C é
constante, então:∫
u · dv = u · (v + C) −
∫
(v + C) · du = u · v −
∫
v · du
Logo, não é necessário considerar essa constante C.
Exemplo 1.45.
Calcular I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx
Solução.
Seja u = x2 + 3x− 1 e dv = e2xdx, então du = (2x+ 3)dx e v = e2x, logo
I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx = (x2 + 3x− 1)e2x − 1
2
∫
e2x(2x+ 3)dx (1.3)
Considere-se em (1.3) a integral J =
∫
e2x(2x + 3)dx, u = 2x + 3 e dv = e2xdx,
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 33
então du = 2dx e v = 1
2
e2x, assim, J =
1
2
e2x(2x + 3) −
∫
e2xdx =
1
2
e2x(2x + 3) =
1
2
e2x(2x+ 3)− 1
2
e2x =
1
2
e2x(2x+ 2) = e2x(x+ 1).
Em (1.3) temos I =
1
2
(x2 + 3x− 1)e2x − 1
2
e2x(x+ 1) + C.
Portanto, I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx = 1
2
e2x(x2 + 2x+ 1) + C.
Exemplo 1.46.
Calcular I =
∫
x · Lnx · dx
Solução.
Considere-se u = Lnx e dv = x.dx; então du =
1
x
dx e v =
x2
2
; logo I =
x2
2
Lnx −∫
1
x
· x
2
2
· dx = x
2
2
Lnx− 1
2
∫
x · dx = 1
2
[x2Lnx− x
2
2
] + C.
Portanto, I =
1
2
[x2Lnx− x
2
2
] + C.
Exemplo 1.47.
Calcular I =
∫
x2 · ex · dx
Solução.
Seja u = x2 e dv = ex · dx; então du = 2xdx e v = ex; logo I =
∫
x2 · ex · dx =
x2 · ex− 2
∫
x · ex · dx. Conseguimos diminuir o grau do polinômio de x em uma unidade.
Para calcular J =
∫
x·ex ·dx aplicamos mais uma vez integração por partes. Considere-se
u = x e dv = exdx, então du = dx e v = ex; logo J = x · ex −
∫
ex · dx = x · ex − ex.
Portanto temos I =
∫
x2 · ex · dx = ex[x2 − 2x+ 2] + C.
Observação 1.6.
Suponha que temos uma integral da forma
∫
u · dv.
a) Para as integrais do tipo
∫
P (x)eaxdx,
∫
P (x)sen ax · dx,
∫
P (x) cos ax · dx onde
P (x) é um polinômio, recomenda-se considerar u = P (x) e dv = ? como uma das
expressões eaxdx, sen (ax)dx ou cos(ax)dx respectivamente.
b) Para as integrais do tipo
∫
P (x)Lnx · dx,
∫
P (x)arcsenax · dx,
∫
P (x) arccos ax · dx
recomenda-se considerar a função u como uma das funções Lnx, arcsenx ou arccosx
e dv = P (x)dx.
34 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.48.
Calcular I =
∫
x · sen 2x · dx
Solução.
Seja u = x e dv = sen 2x · dx então du = dx e v =
∫
sen 2x · dx =
∫
1− cos 2x
2
dx =
x
2
− sen 2x
4
; logo I =
∫
x · sen 2x · dx = x[x
2
− sen 2x
4
] − [
∫
x
2
− sen 2x
4
dx] =
x
4
[2x −
sen 2x]− x
2
4
− cos 2x
8
=
1
8
[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.
Portanto, I =
∫
x · sen 2x · dx = 1
8
[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.
Exemplo 1.49.
Calcular I =
∫
x · sen x · dx
Solução.
Se u = x e dv = senx · dx, então du = dx e v = − cosx; logo I =
∫
x · sen x · dx =
−x · cos x+
∫
cosx · dx := −x · cos x+ sen x+ C.
Portanto, I =
∫
x · sen x · dx = − x · cos x+ sen x+ C.
Suponha a solução de outro modo, se escolhemos u = sen x e dv = x · dx então
du = cos x · dx e v = 1
2
x2 e
I =
∫
x · sen x · dx = 1
2
x2sen x− 1
2
∫
x2 cos x · dx
de onde teríamos a resolver uma integral mais complexa que a inicial, pois o grau de x
haveria sido aumentado em uma unidade.
Exemplo 1.50.
Calcular I =
∫
exsen x · dx
Solução.
Considere-se u = ex e dv = sen x · dx; então du = exdx e v = − cosx; logo
I =
∫
exsen x · dx = − ex cos x−
∫
ex(− cos x)dx = ex +
∫
ex · cosx · dx (1.4)
Observe em (1.4) que, J =
∫
exsen x · dx também é uma integral por partes; seja
u = ex e dv = cosx · dx, então u = ex e v = sen x. Assim a integral J =
∫
ex cosx · dx =
exsen x−
∫
exsen x · dx = exsen x− I
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 35
Em (1.4) temos que I =
∫
exsen x · dx = − ex cos x+ J = − ex cosx+ exsen x− I,
logo 2I = ex(senx− cosx).
Portanto, I =
∫
exsen x · dx = 1
2
ex(sen x− cos x) + C.
Exemplo 1.51.
Discuta a aplicação da fórmula de integração por partes na solução da seguinte integral:
Seja I =
∫
1
x
· dx, considere u = 1
x
e dv = dx, logo du = − 1
x2
dx e v = x, assim
I =
∫
1
x
· dx = 1
x
· x −
∫
x · (− 1
x2
) · dx = 1 +
∫
1
x
· dx = 1 + I
então I = 1 + I.
Portanto, 0 = 1 !
Exemplo 1.52.
Deduzir a fórmula de recorrência para a integral In =
∫
dx
(x2 + d2)n
Solução.
Observe que: In =
∫dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
∫
(d2 + x2 − d2)dx
(x2 + d2)n
=
=
1
d2
∫
dx
(x2 + d2)n−1
− 1
d2
∫
x2 · dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
In−1 − 1
d2
J
isto é:
In =
∫
dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
In−1 − 1
d2
J (1.5)
onde J =
∫
x2 · dx
(x2 + d2)n
=
∫
x · x · dx
(x2 + d2)n
Seja u = x e dv =
x · dx
(x2 + d2)n
então du = dx e v = − 1
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 logo
J = − x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + d2)n−1
Em (1.5), In =
1
d2
In−1 − 1
d2
[
− x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + d2)n−1
]
=
In =
1
d2
In−1 − 1
d2
[− x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)In−1] =
=
x
2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
2n− 3
d2(2n− 2)In−1
36 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Portanto, In =
x
2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
2n− 3
d2(2n− 2)In−1
Quando n = 2 obtemos a integral I2 por meio de funções elementares. Quando n = 3
conseguimos a integral I3 que depende da integral já calculada I2. Em geral podemos
calcular In para qualquer inteiro n positivo.
Exemplo 1.53.
Suponha que a integral
∫
e2x cos 2x · dx = 1
4
e2x(cos 2x+sen 2x). Determine a integral
I =
∫
e2x cos2 x · dx.
Solução.
Considere-se a integral J =
∫
e2xsen 2x · dx, então temos que:
I + J =
∫
e2x cos2 x · dx+
∫
e2xsen 2x · dx =
I + J =
∫
e2x · dx = 1
2
e2x. (1.6)
Por outro lado do dado do problema temos que:
I − J =
∫
e2x cos2 x · dx−
∫
e2xsen 2x · dx =
∫
e2x cos 2x · dx =
I − J = 1
4
e2x(cos 2x+ sen 2x) (1.7)
De (1.6)) e (1.7) segue que I =
∫
e2x cos2 x · dx = 1
8
e2x(2 + cos 2x+ sen 2x).
Exemplo 1.54.
Determine se, a seguinte igualdade é verdadeira:∫
dx√
2x+ 1−√x = 2(
√
2x+ 1 +
√
x)− 2[arctan√2x+ 1 + arctan√x] + C
Solução.
Entanto estamos aprendendo a integrar, o melhor método é derivar a parta à direita
da igualdade. Sendo a derivada de uma soma de funções igual à soma das derivadas mas
mesmas temos:
f1(x) =
√
2x+ 1 +
√
x ⇒ f ′1(x) =
2
2
√
2x+ 1
+
1
2
√
x
=
2
√
x+
√
2x+ 1
2
√
x
√
2x+ 1
f2(x) = arctan
√
2x+ 1 ⇒ f ′2(x) =
1
(
√
2x+ 1)2 + 1
· 2
2
√
2x+ 1
=
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 37
=
1
2(x+ 1)
√
2x+ 1
f3(x) = arctan
√
x ⇒ f ′3(x) =
1
(
√
x)2 + 1
· 1
2
√
x
=
1
2(x+ 1)
√
x
Logo, se F (x) = 2(
√
2x+ 1+
√
x)− 2[arctan√2x+ 1+ arctan√x] +C, sua derivada
é:
F ′(x) = 2(
2
√
x+
√
2x+ 1
2
√
x
√
2x+ 1
)− 2
[
1
2(x+ 1)
√
2x+ 1
+
1
2(x+ 1)
√
x
]
Assim, F ′(x) =
2
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
− 1
(x+ 1)
[√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
]
⇒
F ′(x) =
1√
x
√
2x+ 1(
√
x−√2x+ 1)
[
(2
√
x+
√
2x+ 1)(
√
x−√2x+ 1) + 1
]
F ′(x) =
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
[
1− 1
x+ 1
]
=
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
· x
x+ 1
De onde:
F ′(x) =
1√
2x+ 1−√x
Portanto, a igualdade∫
dx√
2x+ 1−√x = 2(
√
2x+ 1 +
√
x)− 2[arctan√2x+ 1 + arctan√x] + C
é verdadeira.
Exemplo 1.55.
Suponha n 6= 1 , deduzir a fórmula de recorrência para a integral
In =
∫
(a+ bxp)n · dx
logo mostre que satisfaz
(np+ 1)In = x(a+ bx
p)n + anp · In−1
Solução.
Sejam u = (a+ bxp)n e dv = dx, então
du = nbpxp−1(a+ bxp)n−1dx, v = x
38 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
logo integrando por partes
In = x(a+bx
p)n−
∫
[nbpxp(a+bxp)n−1]dx = x(a+bxp)n−np
∫
[(a+bxp−a)(a+bxp)n−1]dx
In = x(a+ bx
p)n − np
∫
(a+ bxp)ndx+ npa
∫
(a+ bxp)n−1dx
Assim, a fórmula de recorrência procurada é
In = x(a+ bx
p)n − np
∫
(a+ bxp)ndx+ npaIn−1
Por outro lado, da fórmula de recorrência segue
(1 + np)In = x(a+ bx
p)n + npaIn−1
Portanto, (1 + np)In = x(a+ bxp)n + anp · In−1.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 39
Exercícios 1-3
1. Mediante integração por partes, resolver as seguintes integrais indefinidas:
1.
∫
Lnx · dx 2.
∫
x2Lnx · dx 3.
∫
xpLnx · dx
4.
∫
Lnx
x3
dx 5.
∫
Ln(Lnx)
x
dx 6.
∫
Ln(x+
√
1 + x2)dx
7.
∫
x · Ln(x− 1
x+ 1
)dx 8.
∫
e−x cos2 x · dx 9.
∫
x · cosx
sen 2x
dx
10.
∫
x · sen x · dx 11.
∫
x · cos x · dx 12.
∫
sen (Lnx)dx
13.
∫
x · eaxdx 14.
∫
x · 2−xdx 15.
∫
x · sen x · cosx · dx
16.
∫
arcsenx · dx 17.
∫
arctanx · dx 18.
∫
coshx · senhx · dx
19.
∫
arcsenhx · dx 20.
∫
x2 arctanx · dx 21.
∫
x · arctanx · dx
22.
∫
e
√
xdx 23.
∫
x(arctanx)2dx 24.
∫
(x2 − 2x+ 5) · e−xdx
25.
∫ √
a2 − x2dx 26.
∫
arcsenx
x2
dx 27.
∫
cos x · Ln(1 + cosx) · dx
28.
∫
x · dx
cos2 x
29.
∫
x · tan2 x · dx 30.
∫
(x3 + 5x2 − 2)e2xdx
31.
∫ √
x2 + a2 · dx 32.
∫ √
x2 − a2dx 33.
∫ √
x2 + 2x+ 5 · dx
34.
∫ √
x(3x− 2)dx 35.
∫
x · sen (ax) · dx 36
∫
x2Ln(x6 − 1)dx
37.
∫
x2 · e2x · dx 38.
∫
x · cosh(x
2
) · dx 39.
∫
ex · cos2 x · dx
40.
∫
3x · cos x · dx 41.
∫
x2 · e−xdx 42.
∫
eax cos bx · dx
43.
∫
e2xsen 2x · dx 44.
∫
earcsenx · dx 45.
∫
senhx · cosx · dx
46.
∫
x2 · e3x · dx 47.
∫
x3 · e− x3 · dx 48.
∫
Lnx√
x
· dx
49.
∫
ex · sen x · dx 50.
∫
x · arcsenx · dx 51.
∫
(x2 + 5x+ 6) cos 2x · dx
52.
∫
(arcsenx)2dx 53.
∫
arcsen
√
x√
1− x · dx 54.
∫
Ln2x · dx
55.
∫
x3 · e−x2 · dx 56.
∫
Ln2x
x2
· dx 57.
∫
(x2 − 2x+ 3)Lnx · dx
58.
∫
sen 2x
ex
· dx 59.
∫
x · arctanx · dx 60.
∫
x2 · dx√
9− x2
40 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
61.
∫
x · dx
sen 2x
62.
∫
x2 · arctan 3x · dx
2. Se P (x) é um polinômio em x, e P ′, P”, P”′, . . . indicam as derivadas, mostre que:
1.
∫
P (x)eaxdx =
eax
a
(1− P
′
a
+
P ′′
a2
− P
′′′
a3
+ . . .)
2.
∫
P (x) cos(ax)dx =
sen (ax)
a
(1− P
′′
a2
+
P (4)
a4
− P
(6)
a6
+ . . .) +
+
cos(ax)
a
(
P ′
a
− P
′′′
a3
+
P (5)
a5
− . . .)
3. Suponha m 6= 1 e n 6= 1 deduzir a fórmula de recorrência para cada uma das
integrais:
1. In =
∫
xn · eax · dx satisfaz In = 1
a
· xn · eax − n
a
· In−1.
2. In =
∫
(Lnx)n · dx satisfaz In = x · (Lnx)n − n · In−1.
3. Imn =
∫
xm · (Lnx)n · dx satisfaz Imn =
xm+1
1 +m
· (Lnx)n − n
m+ 1
· Im−1n
4. In =
∫
ex
xn
· dx satisfaz In = − e
x
(n− 1)xn−1 +
1
n− 1 · In−1
4. Determine
∫
sen 4x · dx de dois modos diferentes: primeiro, utilizando a fórmula de
redução, e logo utilizando a fórmula do sen 2x.
5. Combine-se as duas soluções do exercício anterior para obter uma identidade im-
pressionante.
6. Expressar
∫
Ln(Lnx) · dx em função de,
∫
dx
Ln
(as duas integrais não são
possíveis expressar como combinação de funções elementares)
7. Mostre que a fórmula
∫
2g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
2[
√
g(x)]3
dx =
f(x)√
g(x)
+ C é válida.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 41
1.3.3 Integração de funções trigonométricas e hiperbólicas
É importante verificar e lembrar as seguintes identidades:
1) cos2 x+ sen 2x = 1 2) cosh2 x− senh2x = 1
3) sec2 x− tan2 x = 1 4) sech2x+ tanh2 x = 1
5) csc2 x− cot2 x = 1 6) coth2 x− csch2x = 1
7) sen 2x =
1− cos 2x
2
8) senh2x =
cosh 2x− 1
2
9) cos2 x =
1 + cos 2x
2
10) coshx =
cosh 2x+ 1
2
Apresentamos integrais e diversos tipos que envolvem funções trigonométricas e hiper-
bólicas.
1.3.3.1 Integrais do tipo:
∫
sen mx cosn x dx e
∫
senhmx coshn x dx
Aqui consideramos os seguintes casos para m e n inteiros:
Caso 1. a) Se m é ímpar positivo, então escreva sen m−1x em função de cos x e considere
a substituição cos x = t. De modo análogo para o caso da função hiperbólica;
utilizando a identidade sen 2x = 1− cos2 x (ou cosh2 x+ 1 = senh2x).
b) Se n é ímpar