Arcos e Angulos

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March 15, 2013
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Matemática
Introdução
A
B
Arco AB
Ângulo central
Equivalência:  rd = 180o
ARCOS e ÂNGULOS
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Matemática
 São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
 A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2.
 Forma geral:
 
 
2. Arcos côngruos
A
B
x =  + 2k
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Matemática
3. Circunferência trigonométrica
O x
A’ A
y
B
B’
1
1
P
+
-
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Matemática
4. Seno e Cosseno
O x
A’ A
y
B
B’
P
M
N

sen 
cos 
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Matemática
Seno: 
 marcado no eixo Y
 varia de –1 até 1  -1  sen  1
 sinal do seno:
O x
A’ A
y
B
B’
1
-1
4. Seno e Cosseno
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Matemática
Cosseno: 
 marcado no eixo X
 varia de –1 até 1  -1  cos  1
 sinal do cosseno:
O x
A’ A
y
B
B’
-1 1
4. Seno e Cosseno
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Matemática
5. Tangente
O x
A’ A
y
B
B’
P
t
t // y
M
tg 

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Matemática
O x
A’ A
y
B
B’
5. Tangente
Sinal
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Matemática
Ângulo do 1º Quadrante = tg 30º = tg (-330º)
Ângulo do 2º Quadrante = tg 120º = tg (-240º)
Ângulo do 3º Quadrante = tg 225º = tg (-135º)
Ângulo do 4º Quadrante = tg 315º = tg (-45º)
 tg 90º e tg (-270) não existem tg 180º = 0 = tg -180º 
 tg -90º e tg (270) não existem tg 0º = tg 360º = tg(-360º) 
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Matemática
6. Cotangente
O x
A’ A
y
B
B’
P
t
t // x
M
tg 

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Matemática
O x
A’ A
y
B
B’
6. Cotangente
Sinal
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Matemática
Ângulo do 1º Quadrante = cotg 30º = cotg (-330º)
Ângulo do 2º Quadrante = cotg 120º = cotg (-240º)
Ângulo do 3º Quadrante = cotg 225º = cotg (-135º)
Ângulo do 4º Quadrante = cotg 315º = cotg (-45º)
 cotg 90º = cotg (-270º) = 0 cotg 180º e cotg -180º não existem
 cotg - 90º = cotg (270) = 0 cotg 0º ,cotg 360º e cotg( -360º) não existem
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Matemática
Valores especiais das funções trigonométricas
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Matemática
Relações fundamentais
Matemática
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Prove:
Matemática
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Simplifique:
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Matemática
6. Redução ao 1º quadrante
a) 2o quadrante
 cos ( - x) = - cos x
 tg ( - x) = - tg x
a = ( - x)
 sen ( - x) = sen x
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Matemática
b) 3o quadrante
 sen ( + x) = - sen x
a = ( + x)
6. Redução ao 1º quadrante
 cos ( + x) = - cos x
 tg ( + x) = tg x
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Matemática
c) 4o quadrante
 sen (2 - x) = - sen x
a = (2 - x)
6. Redução ao 1º quadrante
 cos (2 - x) = cos x
 tg (2 - x) = - tg x
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Matemática
7. Relações entre arcos complementares
y = /2 - x
sen x = cos y
sen y = cos x
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Matemática
8. Relações fundamentais
I. sen2 x + cos2x = 1
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Matemática
8. Relações fundamentais
 VI. sec2x = 1 + tg2x
 VII. csc2x = 1 + cotg2x
continuação...
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Matemática
9. Aplicações práticas
1. Sabendo-se que cos x = ½ , determine o valor de 
2. Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 2, calcule o valor de A = sen x + cos x .
3. Demonstrar a identidade 
tg x + cotg x = tg x . csc2x
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Matemática
10. Soma e diferença de arcos
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
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Matemática
10. Soma e diferença de arcos
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Matemática
11. Arcos duplos
a) cos(2a) = cos2a – sen2a
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
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Matemática
12. Arcos metade
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Matemática
13. Transformação de soma em produto
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Matemática
O x
y
/2
			 0
y
3/2
2
a
14. Equações trigonométricas
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Matemática
ex. Resolva as equações:
14. Equações trigonométricas
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Matemática
O x
y
/2
			 0
y
3/2
2
a
14. Equações trigonométricas
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Matemática
ex. Resolva as equações:
b) cos 2x = 0
14. Equações trigonométricas
March 15, 2013
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Matemática
O x
y
/2
			 0
y
3/2
2
b
t
14. Equações trigonométricas
March 15, 2013
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Matemática
ex. Resolva as equações:
b) tg (2x - ) = 1 
14. Equações trigonométricas
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Matemática
1) sen2x + 4cos x = - 4
2) cos (2x) + cos x = 0
3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0 , 2]
4) tg2x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0 , /4 ]
5) 1 + cos x + cos(2x) = 0 ; x [- , ]
14. Equações trigonométricas
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Matemática
a) Função seno : 
 f : IR  IR
 f(x) = sen x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x. 
  x  IR  -1  sen x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
15. Funções trigonométricas
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Matemática
a) gráfico : 
15. Funções trigonométricas
-
-
y
x
0

2
-
-
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Matemática
a) Função seno : 
Periodicidade : sen x = sen ( x + 2)
Paridade : sen x = - sen (- x)
 A função y = sen x é ímpar.
15. Funções trigonométricas
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Matemática
b) Função cosseno : 
 f : IR  IR
 f(x) = cos x
A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x. 
  x  IR  -1  cos x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
15. Funções trigonométricas
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Matemática
b) gráfico : 
15. Funções trigonométricas
-
-
y
x
0

2
-
-
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Matemática
b) Função cosseno : 
Periodicidade : cos x = cos ( x + 2)
Paridade : cos x = cos (- x)
 A função y = cos x é par.
15. Funções trigonométricas
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Matemática
ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3/ 2.
c)	Determine os valores de x onde f assume o seu valor máximo.
b)	Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ], determine a e b.
Determine c.
15. Funções trigonométricas
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Matemática
c) Função tangente : 
 f : D  IR
 f(x) = tg x
A função associa cada arco x, x   / 2 + k , da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x. 
Im(f) = IR
D = { x  IR / x   / 2 + k  }
15. Funções trigonométricas
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Matemática
-
-
15. Funções trigonométricas
c) gráfico :
y
x
0

2
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Matemática
c) Função tangente : 
Periodicidade : tg x = tg ( x + )
Paridade : tg x = - tg (- x)
 A função y = tg x é ímpar.
15. Funções trigonométricas
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Matemática
Ex 1. Determine o domínio e o período da funçãof(x) = tg (4x).
15. Funções trigonométricas
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