Matemática Financeira UNIDADE II

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Unidade II
5 JUROS COMPOSTOS
 Observação
Ao final deste capítulo, você deverá ser capaz de identificar as 
aplicações de juros segundo o critério composto e efetuar os cálculos 
básicos utilizando as fórmulas da definição.
Apesar das controvérsias e até de uma proibição do seu uso, o juro composto é o critério de cálculo 
do juro mais aplicado em todo o território nacional há muito tempo.
5.1 Conceito 
Segundo o critério de cálculo denominado composto, ao final de cada período, o juro é adicionado 
ao principal do período, e o montante assim formado é reaplicado como principal no período seguinte. 
Analisando essa definição, você percebe que a diferença entre os critérios simples e composto é a 
capitalização período a período no juro composto. Esse tipo de cálculo provoca um aumento do juro 
calculado, pois, apesar de a taxa de juros permanecer a mesma, o montante vai crescendo com a adição 
do juro.
5.2 Consequências da definição do critério composto
As denominações desse critério seguem as ideias passadas pela definição de:
• juro sobre juro;
• juro capitalizado;
• juro exponencial.
Nesse caso, o juro não é diretamente proporcional à taxa e ao número de períodos, mas exponencial. 
Na prática, isso significa que o juro composto de dois períodos consecutivos é maior que o dobro do 
juro do primeiro período. Com essa característica desaparecem os números proporcionais usados como 
divisores da taxa de juros simples. Os cálculos a juros compostos serão feitos utilizando o divisor 100 
para a taxa de juros, referente à sua característica percentual. 
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Você verá também que os cálculos das taxas efetivas compostas terão um grau de complexidade 
maior que no juro simples.
5.3 Fórmula do montante composto
Relembrando o conceito de montante, faremos sua aplicação período a período, construindo a 
fórmula. Vamos indexar o montante, ao final de cada período, com o número do período.
Primeiro período: M1 = P + P. i = P. (1 + i)
Segundo período: M2 = M1 + M1 . i = P. (1 + i) + P. (1 + i). i = P. (1 + i)2 
Terceiro período: M3 = M2 + M2. i = P. (1 + i)2 + P. (1 + i) 
2 . i = P. (1 + i) 
3
 
Seguindo essa linha de raciocínio, concluímos que, para n períodos, teremos:
M = P.(1 + i)n
5.4 Fórmula do juro composto
Para o cálculo do juro composto, podemos aplicar a própria definição de montante:
M = P + J 
J = M - P = P. (1 + i)n - P
Colocando o fator comum P em evidência, teremos:
J = P. [(1 + i)n - 1]
 Observação
A maioria das aplicações a juros compostos será calculada por meio da 
fórmula do montante, ficando a fórmula do juro em segundo plano.
5.5 Valor atual (A) e Valor nominal (N)
Repetindo os conceitos, definimos o atual como um valor da dívida em uma data anterior à data 
de vencimento da dívida, e o nominal como seu valor na própria data de vencimento. O nominal está 
associado a uma ideia de valor futuro, de montante do valor atual. Conceitualmente, podemos dizer que 
todos os valores atuais terão como montante o mesmo valor nominal, no prazo de antecipação (tempo 
que vai da data de pagamento antecipado até a data do vencimento).
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Operacionalmente podemos escrever:
N = A. (1 + i)n ou A = N/(1 + i)n 
5.6 Calculadoras financeiras
Existe uma correspondência entre os parâmetros financeiros e as funções presentes nas teclas de 
uma calculadora financeira. De maneira geral, introduzidos os valores de três desses parâmetros, a 
calculadora fornecerá o valor do quarto parâmetro. Essa correspondência é a seguinte:
Montante (M) FV
Principal (P) PV
Taxa de juros (i) i
Número de períodos (n) n
 Observação
Cuidado ao introduzir a taxa por meio da tecla i, que deverá estar na 
forma percentual.
Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar com sinais 
diferentes (+ ou -).
Existem algumas pequenas diferenças de um modelo de calculadora para outro, mas, de modo geral, 
suas estruturas de cálculo e entrada/saída de dados são muito parecidas. 
Exemplos do uso de uma calculadora financeira (HP12C):
1. Calcule o montante composto de um principal de R$ 10.000,00 à taxa de 5% ao mês, ao final de 
7 meses.
Entradas Teclas Visor
10000 CHS PV -10.000,00
5 i 5,00
7 n 7,00
FV 14.071,00
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2. A que taxa mensal de juros compostos devo aplicar um capital qualquer para dobrá-lo em dez meses?
Entradas Teclas Visor
1 CHS PV -1,00
2 FV 2,00
10 n 10,00
I 7,18
 Observação
No caso de um capital qualquer que vai dobrar, podemos usar 1 para 
o principal e 2 para o montante. Não se esqueça de inverter o sinal do 
principal ou do montante. 
5.7 Aplicações
a) Calcule o montante de um principal de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos de 5% ao mês, 
durante dez meses.
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 1000
i = 5/100
n = 10
Podemos aplicar diretamente a fórmula do montante composto, pois a taxa de juros e o prazo estão 
na mesma unidade de medida:
M = P.(1 + i)n
Substituindo os valores, temos:
M = 1000 . (1 + 5/100)10
M = R$ 1.628,89
 Observação
O recurso de cálculo usado nesse caso foi a tecla exponencial da sua 
calculadora: yx.
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Sugestão de cálculo:
• Calculadora algébrica:
 5 ÷ 100+1= yx 10 = x 1000 =
• Calculadora RPN (HP12C):
 5 ENTER 100 ÷ 1+ 10 yx 1000 x
 Observação
A calculadora RPN está estruturada para calcular e dar a resposta assim 
que a tecla de operação é acionada. Ela não possui a tecla =.
 Lembrete
Não coloque o ponto separador do milhar, pois a calculadora fará isso. 
Nos cálculos, o ponto do teclado é interpretado como vírgula.
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
1000 CHS PV -1.000,00
5 i 5,00
10 n 10,00
FV 1.628,89
Resposta: o montante será de R$ 1.628,89.
b) Uma indústria financia seu capital de giro em um banco que cobra juros compostos de 5% ao 
mês. Podemos afirmar que, para um principal de R$ 10.000,00, essa indústria pagará, em um prazo de 
seis meses, um juro de qual valor?
O juro poderá sempre ser calculado como a diferença entre o montante e o principal, ou diretamente 
a partir da sua fórmula.
Pela diferença dos valores, teremos:
J = 10000 . (1 + 5/100)6 – 10000 = R$ 3.400,96
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
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10000 CHS PV -10.000,00
5 i 5,00
6 n 6,00
FV 13.400,96
Subtraindo o principal:
J = 13.400,96 - 10.000 = R$ 3.400,96.
Resposta: o valor do juro será de R$ 3.400,96.
c) Do que restou do seu 13º salário, um professor aplicou R$ 1.000,00 em uma financeira que 
paga juros compostos de 2% ao mês. Efetuando os cálculos, determine o montante que esse professor 
receberá ao final de cinco meses.
Aplicando a fórmula do montante, teremos:
M = 1000 . (1 + 2/100)5 = R$ 1.104,08
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
1000 CHS PV -1.000,00
2 i 2,00
5 n 5,00
FV 1.104,08
Resposta: o professor receberá um montante de R$ 1.104,08.d) Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros compostos de 5% ao mês?
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
i = 5/100
M = 2 . P
Pela fórmula de montante, temos:
M = P . (1 + i)n
2 = 1 . (1 + 5/100)n
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2 = 1,05n
n = 
log
log ,
2
1 05
 = 14,21 meses
 Observação
Observe que 14 meses correspondem a 1 ano (12 meses) e dois meses. 
Subtraindo 14 do número decimal que você calculou, restará um número 
fracionário de meses, que será transformado em dias ao ser multiplicado 
por 30.
O novo cálculo que apareceu nessa questão foi o logaritmo, presente na 
sua calculadora em uma tecla específica. Ele deverá ser usado sempre que 
a incógnita for expoente.
Resposta: o capital dobrará em 14,21 meses, ou, de outra forma, em 1 ano, 2 meses e 6 dias.
e) A que taxa mensal de juros compostos um capital qualquer rende de juros 20% do seu valor em 
cinco meses? 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
J = 20% de P
n = 5
Como o cálculo será válido para qualquer capital, podemos arbitrar um capital de R$ 100,00, que 
renderá R$ 20,00 (20% do seu valor), passando a um montante de R$ 120,00. 
Com a fórmula do montante composto:
M = P. (1 + i)n
Substituindo os valores numéricos, temos:
120 = 100 . (1 + i)5
120 ÷ 100 = (1 + i)5
1 + i = 125 ,
Resposta: i = 125 , - 1 = 0,03714 ao mês ou (x 100): 3,71% ao mês.
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 Observação
Uma das formas de solucionar a equação exponencial é a radiciação, 
que pode ser feita com sua calculadora pelo uso das teclas yx e 1/x. 
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
 1,2 yx 5 1/x = - 1 = 
— Calculadora RPN (HP12C):
 1,2 ENTER 5 1/x yx 1-
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
1,20 CHS FV -1,20
1 PV 1,00
5 n 5,00
i 3,71
Resposta: a taxa composta será de 3,71% ao mês.
f) Que principal devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à taxa de juros 
compostos de 4% ao mês para ter R$ 5.000,00 de montante daqui a dez meses? 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
i = 4/100
M = 5000
n = 10
Podemos trabalhar diretamente com a fórmula do montante:
M = P.(1 + i)n
Aplicando os valores numéricos, temos:
5000 = P . (1 + 4/100)10
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P = 
5000
1,04 10
= R$ 3.377,82
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
5000 CHS FV - 5.000,00
4 i 4,00
10 n 10,00
PV 3.377,82
Resposta: devo aplicar um principal de R$ 3.377,82.
g) Calcule o valor dos juros recebidos por um investidor que aplicou R$ 5.000,00 a juros compostos 
de 4% ao mês durante 11 meses. 
Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são:
P = 5.000
i = 4/100
n = 11
 Observação
Você não precisa aplicar a fórmula do juro composto, cujos cálculos 
são mais complexos. Basta calcular o montante composto e subtrair dele 
o principal.
Fórmula do montante composto:
M = P.(1 + i)n
Substituindo os valores numéricos:
M = 5000. (1 + 0,04)11 
M = R$ 7.697,27
J = 7697,27 - 5.000,00
J = R$ 2.697,27
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O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
5000 CHS PV - 5.000,00
4 i 4,00
11 n 11,00
FV 7.697,27
J = M - P
J = 7697,27 - 5000 = R$ 2.697,27. 
Resposta: o juro composto dessa operação será de R$ 2.697,27.
h) Um investidor aplicou R$ 40.000,00 a juros compostos, recebendo um montante de R$ 51.200,00 
depois de três meses. Sabendo que nos dois primeiros meses as taxas de juros da aplicação foram de 5% 
e 6%, respectivamente, calcule a taxa referente ao último mês da aplicação.
Você poderá montar a solução por meio da definição, calculando o montante composto período a período: 
Primeiro período: 
M1 = 40.000 . 1,05 = 42.000
Segundo período:
M2 = 42.000 . 1,06 = 44.520
Para o terceiro período, temos o principal de 44.520 e o montante de 51.200. Com isso, podemos 
calcular a taxa de juros aplicando a fórmula do montante para um período único:
M = P . (1+i)
Substituindo os valores numéricos, temos:
51.200 = 44.520 . (1+i)
51.200 = 44.520 + 44.520i
44.520 . i = 51.200 – 44.520
44.520 . i = 6.680
i = 6.680/44.520
i = 0,15 ao mês ou 15% a.m.
Resposta: a taxa de juros do último mês foi de 15% a.m. 
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i) Uma aplicação a juros compostos rendeu, ao final de três meses, a taxa de juros total de 7%. 
Sabendo que nos dois primeiros meses as taxas foram, respectivamente, de 1,5% e 2%, calcule a taxa 
usada no terceiro mês.
Nesse caso, você poderá montar a fórmula de cálculo do montante período a período, usando as 
taxas correspondentes, com um principal arbitrário de R$ 100,00, por exemplo.
Primeiro mês:
M1 = 100 . (1 + 1,5/100) = 101,50
Segundo mês:
M2 = M1 . (1 + 2/100) = 101,50 . (1,02) = 103,53
No terceiro mês, a aplicação começa com 103,53 e termina com 107, pois a taxa total dos três meses 
foi de 7%. Começando com 100 e ganhando 7%, você terminará a aplicação com 107. Nesse caso, a 
diferença 107 - 103,53 = 3,47 é o juro do terceiro mês. 
Como estamos trabalhando com base 103,53, teremos a variação nessa base, calculada em 
porcentagem:
3,47/103,53 = 0,0335 ou 3,35%.
Resposta: o terceiro mês teve uma taxa de 3,35%.
j) Seguindo o esquema da Tabela Price, muito comum em financiamentos, uma financeira afirma 
utilizar a taxa de juros compostos anual de 12%. Exemplifica mostrando que divide a taxa anual por 12, 
chegando a uma taxa mensal de 1%. Para o cálculo do financiamento, essa taxa mensal é capitalizada 
mensalmente durante doze períodos. Calcule a taxa de juros compostos anual que o cliente desse 
financiamento está pagando.
A solução pode ser encontrada simulando-se um financiamento com o capital hipotético de 
R$ 100,00, capitalizado por doze meses, a juros compostos de 1% ao mês.
Fórmula do montante composto:
M = P . (1 + i)n
Substituindo os valores numéricos, temos:
M = 100 . (1 + 1/100)12
M = R$ 112,68
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Você aplicou 100 e recebeu 112,68 ao final de um ano, ganhando 12,68 
em 100, ou seja, 12,68%.
Com essa operação, podemos concluir que a capitalização de 1% ao mês, por 12 meses, resulta em 
uma taxa anual maior que 12%.
Resposta: a financeira está aplicando 12,68% a.a., e não 12% a.a., como afirma.
k) Um cliente deve R$ 1.000,00 a uma instituição financeira e declara que somente poderá pagá-lo 
ao final de três anos. Calcule o montante composto pago pelo cliente, sabendo que a financeira concorda, 
mas, para não perder o poder aquisitivo de seu ativo, propõe ao cliente uma taxa de juros compostos de 
1,5% ao mês, para corrigir o valor da dívida.
Você poderá resolver essa questão por meio da fórmula do montante composto, não se esquecendo 
de que o prazo de três anos corresponde a 36 meses, para coincidir com o prazo da taxa de juros.
Fórmula do montante composto:
M = P . (1 + i)n
Aplicando os valores numéricos, temos:
M = 1.000 . (1 + 1,5/100)36 
M = 1.000 . 1,015 36
M = R$ 1.709,14
O cálculo também pode serfeito com a calculadora financeira HP12C:
1000 CHS PV -1.000,00
1,5 i 1,50
36 n 36,00
FV 1.709,14
Resposta: o montante devolvido será de R$ 1.709,14.
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l) Diante da impossibilidade de um casamento imediato, um executivo aplica suas economias a juros 
compostos de 15% ao ano, com o objetivo de comprar uma casa no valor de R$ 500.000,00, daqui a seis 
anos. Calcule o valor das economias aplicadas do executivo.
Solução por aplicação direta da fórmula do montante composto:
M = P . (1 +i)n
Aplicando os valores numéricos, temos:
500000 = P.(1 + 0,15)6
P = 500000/ (1 + 0,15)6
P = R$ 216.163,80
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
500000 CHS FV -500.000,00
15 i 15,00
6 n 6,00
PV 216.163,80
Resposta: o executivo aplicou o principal de R$ 216.163,80.
m) Uma aplicação em caderneta de poupança rendeu R$ 500,00 de juros compostos sobre um 
capital de R$ 800,00, em um ano e três meses. Calcule a taxa composta anual envolvida nessa operação.
Solução por meio da fórmula do montante composto:
Observe que o prazo de um ano e três meses corresponde a quinze meses e pode ser transformado 
em anos, dividindo-se por 12.
M = P. (1 + i)n
Substituindo os valores numéricos, temos:
800 + 500 = 800 . (1 + i)15/12
i = 1300 80015 12 // - 1
100 . i = 47,46% a.a.
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• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
 1300 ÷ 800 = yx (15 ÷ 12) 1/x =
— Calculadora RPN (HP12C):
 1300 ENTER 800 ÷ 15 ENTER 12 ÷ 1/x yx 
 Lembrete
A raiz pode ser calculada por meio da combinação das teclas yx e 1/x 
da calculadora.
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
1300 CHS FV -1.300,00
800 PV 800,00
3 n 3,00
i 17,57
 Observação
Você deve ter reparado que a HP12C demora um pouco mais quando 
calcula a taxa de juros.
Resposta: a taxa anual será de 47,46% a.a.
n) Uma empresa efetuou compras no valor de R$ 20.000,00 para ser pago daqui a um ano. Quanto 
essa empresa pagaria hoje, se o valor atual fosse calculado a juros compostos de 36% ao ano?
Aplicando a fórmula do valor atual composto, teremos:
A = N/(1 + i)n
Aplicando os valores numéricos, temos:
A = =
+
20000
1 36 100( / )
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Como a taxa de juros é anual, na fórmula, teremos n = 1.
A = R$ 14.705,88
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
20.000 CHS FV -20.000,00
36 i 36,00
1 n 1,00
PV 14.705,88
Resposta: a empresa pagaria hoje o valor atual de R$ 14.705,88.
o) Calcule o montante de um principal de R$ 10.000,00, aplicado a juros compostos de 2% ao mês, 
durante um ano.
 Observação
A leitura atenta do enunciado mostra que a taxa e o prazo estão em 
unidades de tempo diferentes. Para resolver, basta trabalhar com 12 meses 
no lugar de 1 ano.
A solução será encontrada por meio da aplicação direta da fórmula do montante:
M = P . (1 + i)n
Aplicando os valores numéricos, temos:
M = 10.000 . (1 + 2 ÷ 100)12
M = R$ 12.682,42
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
10.000 CHS PV - 10.000,00
2 i 2,00
12 n 12,00
FV 12.682,42
Resposta: o montante será de R$ 12.682,42.
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p) Em quanto tempo quadruplica (multiplica-se por 4) um capital qualquer aplicado a juros 
compostos de 5% ao mês?
Como o enunciado explicita que um capital qualquer será quadruplicado, podemos trabalhar com 
principal 1 e montante 4.
Por meio da fórmula de montante, temos:
M = P . (1 +i)n
Aplicando os valores numéricos, temos:
4 = 1 . (1 + 5/100)n
4 = 1,05n
n = log
log ,
4
1 05
n = 28,41 meses
 Observação
Tome cuidado com a função logaritmo, que, por ser pouco usada, fica 
fora da tecla na maioria das calculadoras, exigindo a digitação de uma 
tecla de função. No caso da HP12C, digite g antes de digitar LN, abaixo 
da tecla %T.
Observe que 28 meses é o mesmo que dois anos e quatro meses. Tirando 
28 do resultado, ficamos com 0,41, que pode ser multiplicado por 30 e ser 
transformado em dias: 0,41 . 30 = 12 dias. Dessa forma, nossa resposta será 
2a 4m 12d.
Resposta: o capital quadruplicará em 28,41 meses, ou, de outra forma, em 2 anos, 4 meses e 12 dias.
q) A que taxa mensal de juros compostos um capital qualquer rende de juros 40% do seu valor em 
seis meses? 
Como o cálculo será válido para qualquer capital, podemos arbitrar um valor de R$ 100,00, que 
renderá R$ 40,00 (40% do seu valor), passando a um montante de R$ 140,00.
Podemos iniciar com a fórmula do montante composto:
M = P . (1 + i)n
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Aplicando os valores numéricos, temos:
140 = 100 . (1 + i)6
140 ÷ 100 = (1 + i)6
1 + i = 146 ,
i = 146 , - 1 
i = 0,05768 ao mês 
i x 100 = 5,77% ao mês
 Observação
Não tenha medo das contas! Com o advento das modernas calculadoras, 
os cálculos tornaram-se o aspecto menos trabalhoso da matemática. 
Como exemplo, vamos calcular a resposta anterior. 
146 , - 1
• Calculadora algébrica:
 1,4 yx 6 1/x = - 1 =
• Calculadora RPN (HP12C):
 1,4 ENTER 6 1/x yx 1 -
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
1,4 CHS FV - 1,40
1 PV 1,0
6 n 6,00
i 5,77
Resposta: a taxa será de 5,77% ao mês.
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r) Que principal devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à taxa de juros 
compostos de 4% ao mês, para ter R$ 15.000,00 de montante daqui a oito meses? 
Podemos trabalhar diretamente com a fórmula do montante:
 M = P . (1 + i)n
Substituindo os valores numéricos, temos:
15.000 = P . (1 + 4/100)8
P = 
15000
(1 + 4/100)8
P = R$ 10.960,35
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
15.000 CHS FV - 15.000,00
4 i 4,00
8 n 8,00
PV 10.960,35
Resposta: devo aplicar um principal de R$ 10.960,35.
s) O valor de um veículo à vista é R$ 55.000,00. Para atrair clientes, o vendedor concorda em vendê-
lo por 40% de entrada mais um pagamento depois de quatro meses. Calcule o valor desse pagamento, 
sabendo que a financeira dessa concessionária cobra juros compostos de 3% ao mês.
Primeiro passo: cálculo da entrada de 40%:
Entrada = (40 ÷ 100) . 55.000 = 22.000
Segundo passo: cálculo do valor a ser financiado:
55.000 - 22.000 = 33.000
Terceiro passo: correção do valor do pagamento:
V = 33.000 . (1 + 0,03)4
V = 37.141,79
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O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
33.000 CHS PV - 33.000,00
3 i 3,00
4 n 4,00
FV 37.141,79
Resposta: o pagamento daqui a quatro meses será de R$ 37.141,79.
t) Calcule o prazo para que um capital qualquer, aplicado a juros compostos de 5% ao mês, produza 
de juros o dobro do seu valor.
Como o juro será o dobro do principal, o montante, que é a soma do juro com o principal, será o 
triplo do principal.
Solução por meio da fórmula do montante composto:M = P . (1 + i)n
Sabendo que M = 3 . P e substituindo os valores na fórmula, temos:
3 . P = P . (1 + 0,05)n
Simplificando o fator comum P, temos:
3 = 1,05n
A solução dessa equação será por meio do cálculo do logaritmo:
n = log3 ÷ log1,05
n = 22,52 meses ou 1a 10m e 15d.
Na apresentação da resposta, temos:
22 meses = 12 meses + 10 meses = 1 ano e 10 meses.
22,52 - 22 = 0,52 mês, que, transformado em dias, será igual a:
0,52 x 30 = 15,6 dias.
Como a menor unidade com que trabalhamos é dia, temos a resposta em anos, meses e dias.
Resposta: o prazo será de 1 ano, 10 meses e 15 dias.
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u) Um investidor aplica R$ 5.000,00 como depósito inicial em uma caderneta de poupança que 
paga juros compostos de 2% ao mês. Depois de dois meses, aplica mais R$ 2.000,00. Sabendo que esse 
aplicador retirou R$ 2.500,00 no final do terceiro mês, calcule quanto esse investidor terá ao final do 
quarto mês.
Esse é um problema característico de movimentação de conta-poupança, respeitando a data de 
“aniversário” da sua conta.
Você deverá corrigir os valores para a data do saque e, finalmente, corrigir o saldo para o quarto mês. 
Nesse processo, use a fórmula do montante composto.
M2 = 5.000 . (1 + 0,02)2 = R$ 5.202,00
Somando a nova aplicação, temos:
5.202 + 2.000 = 7.202 (novo montante a ser aplicado por um mês).
M3 = 7.202 . (1 + 0,02) = 7.346
Subtraindo o saque do valor em caixa, temos:
7.346 – 2.500 = 4.846
Esse saldo ficará aplicado por mais um mês:
4.846 . (1 + 0,02) = R$ 4.942,96
 Observação
Para períodos unitários, o juro composto comporta-se como o 
simples. Isso acontece porque no primeiro período ainda não há nenhuma 
capitalização.
Resposta: ao final do quarto mês, o saldo será de R$ 4.942,96.
 Lembrete
Ao calcular, cuide para que a taxa de juros e o prazo estejam sempre na 
mesma unidade de tempo.
v) Uma loja de departamentos tem como política de vendas exigir 40% do valor à vista da compra 
como entrada, e o restante pode ser pago com um acréscimo de 15% do preço à vista, quatro meses 
depois. Calcule a taxa de juros compostos que está corrigindo o valor financiado.
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Interpretando o sistema de vendas dessa loja, notamos que:
• o comprador paga 40% e fica devendo 60%; 
• com o acréscimo de 15%, o valor a ser pago ao final de quatro meses se eleva para 75%.
Você poderá resolver essa questão usando a fórmula do montante composto:
M = P . (1 + i)4
Pensando em um valor de compra de R$ 100,00, podemos usar as percentagens diretamente como 
valores:
75 = 60 . (1 + i)4
75/60 = (1 + i)4
1 + i = 75 604 ÷
i = 1,05737 - 1
i = 0,05737 ao mês ou 5,74% a.m.
O cálculo também pode ser feito com a calculadora financeira HP12C:
75 CHS FV - 75,00
60 PV 60,00
4 n 4,00
i 5,74
Resposta: a taxa composta usada nesse financiamento foi de 5,74% a.m.
 Lembrete
Você deve ter notado a facilidade de cálculo com a calculadora 
financeira. Mesmo assim, mantenha contato com as fórmulas, para não 
perder de vista os conceitos e cultivar a capacidade de criar soluções 
para situações que não podem ser resolvidas com esquemas triviais.
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 Observação
Caso tenha acesso a uma calculadora financeira, refaça os cálculos 
relativos a juros compostos utilizando as funções financeiras da calculadora. 
Essa habilidade pode não ser muito valorizada em um curso teórico, mas 
ajuda muito no mercado de trabalho.
6 EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS
Ao final deste capítulo, você será capaz de calcular as taxas de juros equivalentes que se referem a 
períodos de tempo diferentes, sob o critério composto de cálculo dos juros.
Historicamente, o cálculo dos juros foi caracterizado por forte presença de taxas compostas anuais. 
Hoje, com as grandes variações de taxas e prazos e a marcante presença da inflação, abriu-se espaço 
para as aplicações de taxas em períodos menores, com recálculos mais frequentes.
As operações de recálculo das taxas de juros são importantes nas economias inflacionadas, para 
garantir o valor dos ativos financeiros; e, nas economias estáveis, para garantir a confiabilidade da 
margem de lucro, de difícil recuperação nesse perfil econômico.
Por terem de levar junto suas capitalizações, os cálculos da taxa efetiva no critério composto são 
mais complexos que no simples, no qual as taxas equivalentes são proporcionais. Atualmente, essas 
dificuldades estão minimizadas pela eficiência das calculadoras modernas, que, a um custo baixo, 
proporcionam grande eficiência e precisão ao realizar cálculos.
Bancos e financeiras desenvolveram esquemas práticos para cálculos em situações corriqueiras, que 
não atendem a situações de exceção cada vez mais frequentes, cujos cálculos devem ser específicos. A 
consequência importante dessa situação é uma exigência maior da competência do administrador que 
gerencia o cotidiano das empresas. Quando não é obtido esse desenvolvimento nas escolas, as empresas 
acabam arcando com os custos dessa formação de seus gerentes financeiros.
Para facilitar nosso trabalho, vamos estabelecer um conceito operacional a ser traduzido em uma 
fórmula aberta, que, com pequenas alterações, poderá ser aplicada a todas as situações.
6.1 Conceito 
Duas taxas de juros diferentes, relativas a unidades de tempo diversas, serão equivalentes quando, a 
partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante.
6.2 Fórmulas
Para construirmos uma fórmula que relacione duas taxas equivalentes, de acordo com o critério do 
juro composto, vamos fixar as taxas anual e mensal.
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• ia: taxa unitária anual;
• im: taxa unitária mensal;
• número de períodos: um ano para a taxa anual e doze meses para a taxa mensal.
Aplicando a fórmula do montante composto, teremos:
M = P . (1 + im)12, para a taxa mensal.
M = P . (1 + ia), para a taxa anual.
 Observação
Para o mesmo prazo de um ano, a taxa anual considera um período, e a 
taxa mensal considera doze. 
Como, de acordo com o conceito, os principais e os montantes são iguais, teremos:
(1 + im)12 = (1 + ia)
Essa fórmula indica que a taxa anual possui doze capitalizações da taxa mensal equivalente.
Equivalências em outros períodos poderão ser calculadas alterando-se, na fórmula, os números de 
capitalizações correspondentes.
 Observação
O número de capitalizações dessa fórmula é obtido por meio da relação 
entre os prazos das duas taxas de juros consideradas.
6.3 Aplicações
a) Calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m.
Solução por aplicação direta da fórmula:
(1 + 2 ÷ 100)12 = (1 + ia)
1 + ia = 1,26824
ia = 0,26824 ao ano, ou 26,82% a.a. 
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Na calculadora, temos:
• Algébrica:
 2 ÷ 100 + 1= yx 12 = -1 =
• RPN (HP12C):
 2 ENTER 100 ÷ 1 + 12 yx 1- 
 Observação
Atente para o conceito em que se baseia essa solução: a taxa anual tem doze 
capitalizações da mensal equivalente. Esse formato de cálculo decorre do fato 
de a capitalização ser efetuada por meio da fórmula do montante composto.
Esses cálculos de taxas equivalentes também poderão ser feitos por meio das funções da calculadora 
financeira. A definição da taxa de jurosunitária como a variação do juro por unidade de capital dá 
suporte a esse cálculo.
No caso desse exercício, temos:
1 CHS PV - 1,00
12 n 12,00
2 i 2,00
FV 1,2682
Calculando 1,2682 - 1, temos a taxa de 0,2682 ao ano.
Como a taxa é a variação por unidade de capital, aplicamos 1,00 e, ao final, subtraímos 1,00 para 
ficar apenas com a variação no período, que é a taxa pedida. Alterando os parâmetros, podemos calcular 
todas as variações das taxas, a juros compostos.
Resposta: a taxa será de 26,82% a.a. 
b) Calcule a taxa composta semestral equivalente a 3% ao bimestre.
Solução por aplicação direta da fórmula:
(1 + 3÷100)3 = 1 + is 
1,09273 = 1 + is
is = 0,09273 ao semestre
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Por meio das funções da calculadora financeira, temos:
1 CHS PV - 1,00
3 n 3,00
3 i 3,00
FV 1,09273
Subtraindo 1 e multiplicando por 100, temos:
is = 9,27% a.s.
Resposta: a taxa será de 9,27% a.s. (100 . is). 
c) Calcule a taxa composta mensal equivalente a 30% a.a. 
Solução por aplicação direta da fórmula:
(1 + 30/100) = (1 + im)12
1 + im = 1312 ,
im = 0,0221 ao mês, ou 2,21% a.m.
Na calculadora, você deverá obedecer a esta sequência para calcular a raiz demonstrada anteriormente:
• Calculadora algébrica
 1,3 yx 12 1/x =
• Calculadora RPN
 1,3 ENTER 12 1/x yx 
Por meio das funções da calculadora financeira, obtemos:
1 CHS PV - 1,00
12 1/x n 0,0833333
30 i 30,00
FV 1,0221045
1 – 0,0221045
100 x 2,21
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 Observação
Na descapitalização, o prazo deverá ser invertido.
Resposta: a taxa será de 2,21% a.m. (100 . im). 
d) Calcule a taxa composta quadrimestral equivalente a 50% a.a.
Solução por aplicação direta da fórmula:
(1 + 50/100) = (1 + iq)3
iq = 153 , - 1 (veja a sugestão de cálculo no exercício c))
iq = 0,14471 ao quadrimestre.
Por meio das funções da calculadora financeira, obtemos:
1 CHS PV - 1,00
3 1/x n 0,33333
50 i 50,00
FV 1,1447142
1 – 0,1447142
100 x 14,47
Resposta: a taxa será de 14,47% a.q. (100 . iq). 
e) Um funcionário de uma financeira recebe uma proposta de financiamento à taxa composta de 
2% ao bimestre. Pretendendo pagar com o bônus que recebe ao final do ano, solicita que a dívida seja 
calculada anualmente. Qual o valor da taxa anual composta que a financeira deverá usar, equivalente 
a 2% ao bimestre?
Solução por meio da fórmula de capitalização composta:
Observe que, como o ano tem seis bimestres, a taxa anual tem seis capitalizações da taxa bimestral 
equivalente.
ia = (1 + 2/100)6 - 1
100 . ia = 12,62% a.a.
Resposta: a taxa deverá ser de 12,62% a.a.
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f) Uma empresa financia seu capital de giro a juros compostos de 3% ao mês. Calcule a taxa anual 
equivalente, pois, para fechar o balanço, a taxa deverá ser lançada em anos.
 Lembrete
A taxa anual tem doze capitalizações da mensal equivalente. 
Aplicando a fórmula de capitalização da taxa, teremos:
(1 + 3/100)12 = (1 + ia)
ia = 1,0312 - 1 = 0,4258 ao ano 
42,58% a.a. 
Resposta: a taxa anual equivalente será de 42,58% a.a.
g) Uma empresa financia seu capital de giro à taxa composta de 36% a.a. Como o controller dessa 
empresa faz as projeções de caixa mês a mês, necessita da taxa composta mensal equivalente. Calcule 
essa taxa mensal, explicitando seus cálculos.
Solução por meio da fórmula de capitalização da taxa composta: 
(1 + im)12 = 1 + 36/100
1 + im = 13612 , (veja a sugestão de cálculo no exercício c))
im = 13612 , - 1 = 0,02595 a.m., o que corresponde a 2,60% a.m.
Resposta: a taxa composta mensal, equivalente a 36% a.a., é de 2,60% a.a.
h) Calcule a taxa composta mensal equivalente a 1% ao dia, segundo o critério composto, trabalhando 
com mês de trinta dias. 
Nesse caso, a taxa mensal tem trinta capitalizações da diária equivalente.
im = [(1 + 1/100)30 - 1] 
im = 0,3478 a.m.
100 x im = 34,78% a.m.
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Por meio das funções financeiras da calculadora, obtemos:
1 CHS PV - 1,00
1 i 1,00
30 n 30,00
FV 1,3478
im = 1,3478 - 1 = 0,3478 a.m. 
100 . im = 34,78% a.m.
Resposta: a taxa mensal será de 34,78% a.m.
i) Calcule a taxa composta anual equivalente a 2,5% ao mês.
Solução por aplicação direta da fórmula para capitalizar a taxa mensal por 12 períodos, 
transformando-a em anual:
(1 + 2,5/100)12 = (1 + ia)
1 + ia = 1,26824
ia = 0,34489 a.a., ou 34,48% a.a.
Resposta: a taxa será de 34,48% a.a.
j) Calcule a taxa composta semestral equivalente a 3,5% ao bimestre.
Na solução por aplicação direta da fórmula para capitalizar a taxa bimestral e transformá-la na 
semestral equivalente, devemos considerar que, como o semestre tem três bimestres, a taxa bimestral 
deverá ser capitalizada à terceira potência:
(1 + 3,5/100)3 = 1 + is
1,10872 = 1 + is
is = 0,10872 a.s., ou 10,87% a.s.
Resposta: a taxa será de 10,87% a.s.
k) Calcule a taxa composta mensal equivalente a 25% a.a.
Solução por aplicação direta da fórmula para descapitalizar a taxa anual por doze períodos, 
transformando-a na mensal equivalente:
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
(1 + 25/100) = (1 + im)12
1 + im = 12512 , (veja a sugestão de cálculo no exercício c))
im = 0,01877 a.m., ou 1,88% a.m.
Resposta: a taxa será de 2,21% a.m.
l) Calcule a taxa composta quadrimestral equivalente a 20% a.a.
Solução por aplicação direta da fórmula, lembrando que um ano tem três quadrimestres:
(1 + 20/100) = (1 + iq)3
iq = 123 , - 1 (veja a sugestão de cálculo no exercício c))
iq = 0,06266 ao quadrimestre, ou 6,27% a.q.
Resposta: a taxa será de 6,27% a.q.
m) Calcule a taxa anual média de crescimento do PIB de um país que cresceu 46,9328% em cinco anos. 
 Lembrete
PIB é o Produto Interno Bruto, uma espécie de quantificação em moeda 
corrente de tudo o que foi produzido no país. Esses valores são calculados, 
todo ano, sobre o valor do ano anterior, evoluindo exponencialmente como 
o juro composto. 
Para calcular essa equivalência, devemos trabalhar com as fórmulas das taxas de juros compostos, 
descapitalizando a taxa dos cinco anos por cinco períodos e chegando à taxa anual correspondente.
Por meio da fórmula das taxas de juros, obtemos: 
ia = 1 46 9328 1005 + , / - 1 = 0,080 
100 . ia = 8%
• Sugestões de cálculo 
 ia = 1 46 9328 1005 + , / - 1
— Calculadora algébrica:
 46,9328/100 + 1 = yx 5 1/x =
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— Calculadora RPN:
 46,9328 ENTER 5 1/x yx 
Resposta: a taxa de crescimento anual equivalente será de 8%.
n) Um banco opera sua bandeira de cartões de crédito a juros compostos de 14% ao mês. Como são 
muitas as operações com prazos menores que um mês, foi preciso calcular a taxa diária equivalente. 
Considerando o mês de trinta dias, calcule essa taxa que o banco deverá aplicar nos prazos em dias.
Uma taxa para trinta dias deverá sofrer trinta descapitalizações para voltar a um dia.
 Lembrete
As descapitalizações deverão ser feitas por meio da radiciação.
Aplicando a fórmula, temos:
id = 1 14 10030 + / - 1 = 0,00438
100 . id =0,44% 
Resposta: a taxa será de 0,44% ao dia. 
o) Uma financeira recebe sua planilha de cálculo dos valores financeiros com a taxa de juros quinzenal 
(capitalizada a cada quinze dias) de 3%. Caso queira transformar os cálculos para base quadrimestral, 
que taxa equivalente deverá usar?
Sabemos que o quadrimestre é composto de oito quinzenas, o que nos leva à seguinte fórmula de 
cálculo:
iq = [(1 + 0,03)8 - 1] . 100
iq = 26,68% à quinzena
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica
 1 + 0,03 = yx 8 = -1 = x 100 =
— Calculadora RPN (HP12C)
 1 ENTER 0,03 + 8 yx 1 - 100 x
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Por meio das funções financeiras na calculadora, temos:
1 CHS PV - 1,00
3 i 3,00
8 n 8,00
FV 1,2668
im = 1,2668 - 1 = 0,2668 a.m. 
100 . im = 26,68% a.m.
Resposta: a taxa mensal será de 34,78% a.m. 
 Observação
A importância de conhecermos a variação das taxas compostas está na 
grande aplicação prática desse critério de cálculo. Na era da informação, o 
conhecimento dessas regras poderá ser uma característica importante de 
um executivo.
É útil aprender todos esses conceitos e fundamentações a respeito de taxas de juros, porque muitas 
situações do dia a dia exigem soluções criativas que somente poderão ser estruturadas por executivos 
de grande conhecimento da base teórico-conceitual da administração. Não há mais espaço para 
administradores carregados de soluções padronizadas.
7 MONTANTE COMPOSTO EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS
Em números fracionários de períodos da taxa de juros, desaparece a figura da capitalização, pois esta 
somente acontece ao final de cada período completo.
Nesse caso, aparecem duas correntes de interpretação defendendo critérios diferentes. Uma delas 
opta pela transformação da taxa de juros em uma unidade menor, que é capitalizada exponencialmente 
no número total de períodos, o que equivale a capitalizar diretamente para o número fracionário de 
períodos. Esse critério é denominado exponencial. 
A outra corrente escolheu o cálculo do número inteiro de períodos a juros compostos. O montante 
assim obtido é reaplicado a juros simples no número fracionário de períodos. Esse critério é denominado 
linear. 
Como não se conseguiu derrubar nenhum dos dois critérios, ambos permaneceram em uso. 
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Unidade II
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Sistemas de cálculo diferentes, os dois critérios conduzem a resultados diversos, e o resultado do 
critério linear é sempre maior que o do exponencial. 
Geralmente, nós, como consumidores, não podemos escolher o critério de cálculo. Esses critérios 
somente podem ser aplicados a números fracionários de períodos.
7.1 Aplicações
a) Calcule o montante composto de um principal de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao 
mês, por 115 dias, pelos critérios exponencial e linear.
• Exponencial
— Fórmula do montante composto:
M = P . (1 + i)n
Substituindo os valores numéricos, temos:
M = 1000 . 1
4
100
115
30
+



 = R$ 1.162,24
— Sugestão de cálculo
- Calculadora algébrica:
4 ÷ 100 + 1 = yx (115 ÷ 30) = 
- Calculadora RPN (HP12C):
4 ENTER 100 ÷ 1 + 115 ENTER 30 ÷ yx 1000 x
Resposta: segundo o critério exponencial, o montante será de R$ 1.162,24.
• Linear
O prazo de 115 dias pode ser visto como 3 meses mais 25 dias, que não completam um mês inteiro. 
Pelo critério linear, devemos calcular os três primeiros meses a juros compostos e reaplicar o montante 
assim obtido, a juros simples, nos últimos 25 dias. Podemos fazer isso em uma única fórmula, calculando 
o montante final diretamente:
M = 1.000 . (1 + 
4
100
)3. (1 + 4 30
100
/ . 25) = R$ 1.162,36
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
— Sugestão de cálculo
- Calculadora algébrica:
4 ÷ 100 + 1 = yx 3 = x 1.000 = x (4 ÷ 100 ÷ 30 x 25 + 1) =
 Observação
Você também poderá efetuar esse cálculo por partes. Nesse caso, use 
todas as casas decimais para não quebrar a precisão do cálculo. 
- Calculadora RPN (HP12C):
4 ENTER 100 ÷ 1 + 3 yx 1.000 x 4 ENTER 30 ÷ 100 ÷ 25 x 1 + x
 Observação
A vantagem de calcularmos em uma única operação é que chegamos 
ao resultado com a precisão máxima.
Resposta: segundo o critério linear, o montante será de R$ 1.162,36.
 Lembrete
Algumas calculadoras financeiras já estão preparadas para os dois tipos 
de cálculo.
Podemos fazer esse cálculo diretamente, por meio das funções financeiras da calculadora HP12C. 
Clicando, na sequência, primeiro a tecla STO e depois a tecla EEX, você verá que aparece/desaparece um 
c no visor da calculadora. Com o c no visor, a calculadora trabalhará pelo critério exponencial; sem ele, 
estará no critério linear.
b) Calcule, segundo os critérios exponencial e linear, o montante composto de um principal de 
R$ 5.000,00 pelo prazo de trinta meses, à taxa de juros composta de 10% ao ano. 
• Exponencial
M = P . (1 + i)n
M = 5.000 . 1
10
100
30
12
+



 = R$ 6.345,29
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Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c esteja no visor): 
5.000 CHS PV - 5.000,00
10 i 10,00
30/12 n 2,5
FV 6.345,29
Resposta: segundo o critério exponencial, o montante será de R$ 6.345,29.
• Linear
O prazo de meses pode ser visto como dois anos inteiros mais seis meses, que não completam um 
ano inteiro. Pelo critério linear, devemos calcular os dois primeiros anos a juros compostos e reaplicar 
o montante assim obtido a juros simples nos últimos seis meses. Podemos fazer isso em uma única 
fórmula, calculando o montante final diretamente: 
M = 5.000. (1 + 
10
100
)2 . (1 + 10 12
100
/ . 6) = R$ 6.352,50
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c não esteja no visor): 
5.000 CHS PV - 5.000,00
10 i 10,00
2,5 n 2,50
FV 6.352,50
Resposta: segundo o critério linear, o montante será de R$ 1.162,36.
c) Um investidor aplicou R$ 50.000,00 a juros compostos de 25% ao ano, por três anos e dez meses. 
Calcule, segundo o critério exponencial, o montante composto dessa aplicação.
Primeiro, você deverá notar que três anos e dez meses totalizam 46 meses. Em seguida, aplique 
diretamente a fórmula do critério exponencial.
M = P . (1 + i)n
M = 50.000 . 1
25
100
46
12
+




M = R$ 117.613,83
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c esteja no visor): 
50.000 CHS PV - 5.0000,00
25 i 25,00
46/12 n 3,833333
FV 117.613,83
Resposta: o montante composto será de R$ 117.613,83. 
d) Calcule o montante composto de um principal de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de juros de 3% ao 
mês, por 110 dias, por meio dos critérios exponencial e linear.
• Exponencial
M = P . (1+i)n
M = 5.000 . 1
3
100
110
30
+



 = R$ 5.572,37
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c esteja no visor): 
5.000 CHS PV - 5.000,00
3 i 3,00
110/30 n 3,666666
FV 5.572,37
Resposta: segundo o critério exponencial, o montante será de R$ 5.572,37.
• Linear
M = 5.000 . (1 + 4
100
)3 . (1 + 4 30
100
/ . 20) 
M = R$ 5.774,30
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c não esteja no visor): 
5000 CHS PV - 5.000,00
4 i 4,00110/30 n 3,666666
FV 5.774,30
Resposta: segundo o critério linear, o montante será de R$ 5.774,30.
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e) Um investidor aplica o principal de R$ 10.000,00 pelo prazo de quatro anos e nove meses, à taxa 
de juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante recebido por esse investidor, sabendo que o 
critério de cálculo foi o exponencial.
Como a questão fornece todos os dados, basta que você aplique a fórmula. 
 Lembrete
Não se esqueça de que quatro anos e nove meses são 57 meses.
M = P.(1+i)n
M = 10.000 . 1
10
100
57
12
+




M = R$ 15.725,89
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c esteja no visor): 
10.000 CHS PV - 10.000,00
10 i 10,00
57/12 n 4,75
FV 15.725,89
Resposta: segundo o critério exponencial, o montante será de R$ 15.725,89.
f) Calcule, por meio do critério linear, o montante composto de um principal de R$ 20.000,00, à taxa 
de 30% ao ano, por 30 meses.
No critério de cálculo linear, é importante fazer corretamente o desdobramento do prazo da 
aplicação: 30 meses = 2 anos e seis meses.
Recordando a dinâmica do critério linear, temos o cálculo de dois anos a juros compostos e a 
aplicação desse montante a juros simples pelos seis meses restantes.
Aplicando as fórmulas, temos:
M = 20.000 . (1 + 0,30)2 . [1 + (0,30/12) . 6]
M = R$ 38.870,00
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c não esteja no visor):
20.000 CHS PV - 20.000,00
30 i 30,00
30/12 n 2,50
FV 38.870,00
Resposta: o montante será de R$ 38.870,00.
g) Um investidor aplica o principal de R$ 20.000,00 pelo prazo de três anos e meio, à taxa de juros 
compostos de 12% ao ano. Calcule o montante recebido por esse investidor, sabendo que o critério de 
cálculo foi o exponencial.
 Lembrete
Não se esqueça de que três anos e meio são 42 meses.
Pela fórmula do montante composto, temos:
M = P . (1+i)n
Aplicando os valores numéricos, temos:
M = 20.000 . 1
12
100
42
12
+




M = R$ 29.736,72
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
12 ÷ 100 + 1 = yx (42 ÷ 12) =
— RPN (HP12C)
12 ENTER 100 ÷ 1 + 42 ENTER 12 ÷ yx
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c esteja no visor): 
20.000 CHS PV - 20.000,00
12 i 12,00
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42/12 n 3,50
FV 29.736,72
Resposta: segundo o critério exponencial, o montante será de R$ 29.736,72.
h) Calcule, por meio do critério linear, o montante composto de um principal de R$ 15.000,00, à taxa 
de 20% ao ano, por 2,5 anos.
 Lembrete
Não se esqueça de que 2,5 anos são 2 anos e 6 meses. 
Solução direta a partir da fórmula completa: 
M = 15.000 . (1 +
20
100
)2 . (1 + 
20 12
100
/
 . 6) 
M = R$ 23.760,00
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
20 ÷ 100 + 1 = yx 2 = x 15.000 = x (0,20 ÷ 12 x 6 +1) = 
— Calculadora RPN (HP12C):
20 ENTER 100 ÷ 1 + 2 yx 15.000 x 0,20 ENTER 12 ÷ 6 x 1 + x
Cálculo por meio da calculadora HP12C (certifique-se de que c não esteja no visor): 
15.000 CHS PV - 15.000,00
20 i 20,00
2,5 n 2,5
FV 23.760
Resposta: o montante linear, nessas condições, será de R$ 23.760,00.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Lembrete
Ao realizarmos cálculos, não podemos esquecer que as unidades de 
tempo da taxa e do prazo devem ser as mesmas. 
 Observação
Um fator importante é a diferença entre os resultados obtidos pelos dois 
critérios. Em razão das estruturas de cálculo, o linear apresentará sempre 
valores maiores que o exponencial. É fundamental aplicar esses critérios 
apenas aos casos em que o número de períodos é fracionário em relação à 
unidade de tempo da taxa de juros. 
8 PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO DIFERENTE DO PERÍODO DA TAXA E SÉRIES DE 
CAPITAIS
Geralmente, a capitalização de uma taxa composta coincide com seu período. Taxas anuais 
possuem capitalizações anuais, taxas mensais têm capitalizações mensais e assim por diante. 
Alguns casos, principalmente aqueles cujo recolhimento do juro não coincide com o período da 
taxa, pressupõem outros períodos de capitalização. Podemos ter taxa anual com capitalização 
mensal, como é o caso da Tabela Price, modelo de cálculo muito utilizado em financiamentos 
imobiliários. 
Esses casos de disparidade da capitalização poderão ser calculados por uma associação entre a 
proporcionalidade e a recapitalização, dentro do prazo utilizado.
O cálculo é muito simples: dividimos a taxa pelo número de períodos de capitalização e capitalizamos 
o resultado novamente, período a período de capitalização, totalizando o prazo da operação financeira.
8.1 Aplicações
a) Determine a taxa efetiva anual correspondente à nominal de 50% ao ano, com capitalização 
mensal.
Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula:
ia = [( 1 + 
50 12
100
/
)12 – 1]
ia = 0,6321 a.a. 
100 . ia = 63,21% a.a.
120
Unidade II
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• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
50 ÷ 12 ÷ 100 +1 = yx 12 = - 1 =
— Calculadora RPN (HP12C):
50 ENTER 12 ÷ 100 ÷ 1 + 12 yx 1 -
Resposta: a taxa efetiva será de 63,21% a.a. 
b) Calcule a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 30% ao ano, com capitalização 
trimestral.
Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula:
ia = [(1 + 
30 4
100
/
)4 – 1]
ia = 0,3355 a.a. 
100 . ia = 33,55% a.a.
Resposta: a taxa efetiva será de 33,55% a.a.
c) Uma financeira trabalha com a taxa de 12% ao ano, mas exige o pagamento dos juros mensalmente 
(capitalização). Calcule a taxa efetiva anual correspondente a esse cálculo.
Esse tipo de cálculo é feito por meio da taxa proporcional, que é capitalizada novamente pelo número 
total de períodos. 
A solução obtida por meio da aplicação da fórmula de capitalização da taxa composta proporcional é:
ia = [(1 + 0,12/12)2 - 1]
ia = 0,1268 a.a. 
100 . ia = 12,68% a.a.
Resposta: a taxa efetiva anual é de 12,68% a.a. 
d) Determine a taxa efetiva anual correspondente à nominal de 45% ao ano, com capitalização 
bimestral.
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula, sabendo que um ano tem seis bimestres:
ia = [(1 + 
45 6
100
/
)6 - 1 ]
ia = 0,5433 a.a. 
100 . ia = 54,33% a.a.
Resposta: a taxa efetiva será de 54,33% a.a.
e) Calcule a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 50% ao ano, com capitalização 
quadrimestral.
Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula, lembrando que um ano tem três quadrimestres:
ia = [(1 + 
50 3
100
/
)3 - 1] 
ia = 0,5880 a.a. 
100 . ia = 58,80% a.a.
Resposta: a taxa efetiva será de 58,80% a.a.
f) Determine a taxa efetiva mensal correspondente à taxa de 10% ao mês com capitalização diária, 
considerando um mês de trinta dias.
Operacionalizando o conceito, montamos a fórmula, lembrando que estamos trabalhando com mês 
de trinta dias.
im = [(1 + 0,10/30)30 - 1]
im = 0,104987 a.m.
100 . im = 10,50% a.m.
Resposta: a taxa efetiva mensal será de 10,50% a.m.
8.2 Séries de capitais
Ao final deste tópico, o aluno será capaz de identificaruma série de capitais, destacando suas 
características, e calcular seus parâmetros por meio das fórmulas de definição ou das funções apropriadas 
de uma calculadora financeira.
122
Unidade II
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 Lembrete
Os valores financeiros vinculados a datas diferentes não podem 
ser comparados nem adicionados ou subtraídos. Esse critério é levado 
em consideração sempre que desenvolvemos uma fórmula de cálculo 
financeiro, principalmente para as séries de capitais.
Este tópico reveste-se de extrema importância, pois desenvolve o estudo dos principais critérios de 
financiamento e de remuneração, na organização de um conjunto de valores financeiros. 
O leque de aplicações das séries é muito grande. Qualquer conjunto de valores que guardam entre 
si alguma relação é uma série. Podemos citar como exemplos anuidades escolares, aluguéis, seguros, 
condomínios, poupança programada, poupança imobiliária vinculada e previdência (pública e privada).
8.2.1 Conceito de série 
Qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada característica pode ser considerada 
uma série, também denominada, historicamente, anuidade. Esses capitais podem ser valores que saem ou 
entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma série de pagamentos, com o objetivo de quitar uma 
dívida ou uma série de aplicações, denominada série de rendas, que tem como objetivo a capitalização 
de um valor futuro.
Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data zero, também 
denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores (termos) da série na data zero, valor 
esse que depende do número e do valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no 
cálculo do financiamento.
Já a série de rendas, tem como parâmetro característico fundamental o montante, ou valor futuro, 
que é a soma de todas as aplicações na data do último depósito. Esse valor dependerá do número e do 
valor dos depósitos, bem como da taxa utilizada para corrigi-los. 
São exemplos de séries: 
• de pagamentos: aluguéis, condomínios, mensalidades escolares, seguros, financiamentos em 
geral;
• de rendas: poupança programada, poupança imobiliária vinculada, previdência (privada e pública).
De acordo com suas características, as séries podem ser classificadas em dois grandes grupos: as 
certas ou determinísticas e as probabilísticas ou aleatórias. 
Uma série é denominada certa quando as datas e os valores dos seus termos são conhecidos. Como 
exemplo, temos os financiamentos com taxas predeterminadas, como mensalidades escolares, aluguéis, 
prêmios de seguro, poupanças programadas. 
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A série aleatória não tem datas nem valores determinados. Como exemplo, podemos citar os 
fluxos de caixa das seguradoras. Nenhuma companhia de seguros sabe quando vai ter de indenizar 
um sinistro, e de quanto será essa saída de caixa. Precisará tanto desembolsar valores pequenos 
para o pagamento de sinistros corriqueiros quanto enfrentar indenizações milionárias de grandes 
desastres. Um exemplo disso foi visto em uma propaganda de seguradora cujo texto dizia: “Se 
você é mulher e tem por volta de trinta anos, faça seguro conosco com 20% de desconto”. Esse 
procedimento provavelmente tenha sido consequência de levantamento estatístico do perfil 
das pessoas que mais se envolvem em acidentes junto aos registros de sinistros. Com certeza, 
“mulher de trinta” não é o perfil do maior envolvido em sinistros. Os cálculos das séries aleatórias 
são feitos pela estatística, com modelos probabilísticos complexos, em uma área da Matemática 
denominada atuária. 
Nesta disciplina, não estudaremos as séries probabilísticas. O estudo completo de todos os modelos 
de série exigiria um prazo muito longo e se revelaria ineficaz, pois perderíamos os conceitos de vista, 
por não usá-los. O objetivo do nosso curso é aprender a aplicação operacional dos conceitos para 
produzirmos resultados úteis a nós e à coletividade. Para atendermos aos nossos objetivos, escolheremos 
um modelo de série mais restrito, elegendo algumas de suas características:
• série periódica: seus termos ocorrem a períodos de tempo iguais;
• temporária: a série tem uma duração determinada;
• constante: todos os termos da série têm o mesmo valor;
• imediata: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo;
• postecipada: cada termo localiza-se no final do período de vencimento.
Nossos conhecimentos sobre séries poderão, no futuro, estender-se a outros modelos, por meio de 
pequenos ajustes adicionais, uma vez conhecidos seus conceitos básicos.
8.2.2 Fórmula do valor presente ou à vista (A) 
Como a definição de valor à vista da série configura-o como a soma de todos os pagamentos 
trazidos para a data zero (sem juros), teoricamente, o valor à vista da série de pagamentos poderia ser 
calculado por meio da sua definição, termo a termo. Na prática, isso seria complicado, pois podemos 
ter séries com um grande número de termos. Para evitar esse transtorno, estabeleceremos uma fórmula 
que fará isso por nós. 
Adotando R para representar o valor das prestações, n para o número de prestações e i para a taxa 
de financiamento, e aplicando a definição de valor atual na data zero a cada um dos termos da série, 
teremos:
A = R/(1 + i) + R/(1 + i)2 + R/(1 + i)3 + ... + R/(1 + i)n
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Fatorando e agrupando os termos dessa expressão, teremos:
A = R . ( )
.( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Ficou bem mais simples aplicar essa fórmula do que trazer para a data zero todos os termos de uma 
série. 
Com essa fórmula, podemos calcular o valor à vista da série de pagamentos, exercitando os 
conceitos de Matemática Financeira e as operações básicas que aprendemos em anos de estudo e, como 
consequência, desenvolvendo uma habilidade importante de análise, por meio do conhecimento dos 
limites dos cálculos financeiros, bem como aprendendo a explorar suas vantagens. 
De forma mais rápida e precisa, você poderá efetuar esses cálculos por meio de funções programadas 
da calculadora financeira. Isso se aplica principalmente a cálculos cujos objetivos sejam apenas os 
resultados. Essa situação ocorre em mesas de aplicações de ativos de bancos e financeiras. Os operadores 
usam telefones, calculadoras, terminais de computador e boletins com informações sobre o mercado 
financeiro. A dinâmica de desenvolvimento desse tipo de atividade não deixa tempo para o trabalho 
com fórmulas. 
Caso você tenha algum interesse nessa área, é imprescindível aprender a manejar bem uma 
calculadora financeira.
A correspondência entre os parâmetros da fórmula teórica e as teclas da calculadora é:
Valor à vista (P) PV
Taxa de financiamento (i) i
Número de pagamentos (n) n
Valor dos pagamentos(R) PMT
 Lembrete
Valores financeiros de entrada ou saída no fluxo de caixa deverão figurar 
com sinais diferentes (+ ou -). 
Não existe sequência fixa para a entrada dos dados nas funções de cálculo, a não ser que a incógnita 
deva ser digitada no final da sequência. 
Como exemplo desse cálculo, podemos citar a solução de um problema por meio da calculadora 
financeira HP12C, muito conhecida entre as pessoas que trabalham com cálculos financeiros. Existem 
outras calculadoras que também poderão ser usadas para se chegar aos mesmos resultados.
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Exemplos:1. Calcule o valor à vista de um financiamento composto de dez pagamentos mensais consecutivos 
e iguais de R$ 500,00, à taxa composta de 3% ao mês. 
Dados: 
n = 10
R = 500
i = 3
A = ?
Na calculadora HP12C, temos: 
10 n 10,00
3 i 3,00
500 CHS PMT - 500,00
PV 4.265,10
Resposta: o valor à vista, nessas condições, será de R$ 4.265,10.
2. Calcule a taxa de juros compostos mensal em que foi calculado um financiamento de uma 
casa com valor à vista de R$ 100.000,00, quitada em 15 pagamentos mensais consecutivos e iguais a 
R$ 10.000,00 sem entrada. 
Na calculadora financeira HP12C, temos: 
15 n 15,00
100.000 CHS PV - 100.000,00
10.000 PMT 10.000,00
i 5,56
Resposta: a taxa de juros composta mensal será de 5,56%.
3. Calcule o número de pagamentos mensais consecutivos e iguais de R$ 500,00, sem entrada, que 
quitam uma compra com valor à vista de R$ 5.000,00, financiada a juros compostos de 3% ao mês.
Na calculadora financeira HP12C, temos:
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500 CHS PMT - 500,00
5000 PV 5.000,00
3 i 3,00
n 13,00
Resposta: o financiamento foi quitado em 13 pagamentos mensais iguais.
Fique atento quando calcular o número de pagamentos ou depósitos na HP12C, pois essa 
calculadora arredonda automaticamente o número para um dígito acima. Essa característica precisa ser 
acompanhada. 
A tecla CHS alterna o sinal do número que está no visor (+/-). 
Ao digitar a tecla PV sem antes digitar um dado, a calculadora efetua a operação e mostra a resposta 
no visor. 
Não se esqueça de deixar sua HP12C na opção END, pois o modelo de série que escolhemos trabalha 
com pagamentos ao final do período de vencimento. Caso esteja aparecendo no visor a inscrição BEGIN, 
digite a tecla g azul seguida do dígito 8, END. 
Nesses cálculos, é fundamental que a calculadora esteja programada para trabalhar com o critério 
exponencial. Essa condição fica evidenciada por um c no visor da HP12C. Essa característica poderá ser 
alterada por um toque na tecla STO seguido de um toque na tecla EEX. 
Os códigos de denominação das teclas são as suas funções, em inglês. A tecla PV corresponde a Valor 
Presente (Present Value), CHS corresponde a Mude o Sinal (CHange Signal) e PMT é Pagamento 
(PayMenT).
As calculadoras modernas possuem, por conta de imprevistos que possam prejudicar o trabalho de 
um calculista financeiro, memória contínua, que não se apaga com o desligamento da máquina. Essa 
característica obriga-nos a zerar as funções financeiras antes de cada cálculo, para evitar indução ao 
erro provocada por acúmulo de valores armazenados.
No caso da HP12C, as funções financeiras são zeradas dando-se um toque na tecla f e outro na tecla 
FIN, que fica sob a inscrição CLEAR. Dessa maneira, você garante a confiabilidade de seus cálculos. 
 Observação
A primeira tendência que temos ao usar essas rotinas da calculadora 
financeira é a de valorizá-la muito, principalmente quando a comparamos 
com os cálculos por meio das fórmulas. Tome cuidado com essa sensação, 
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pois sempre haverá alguém escolhendo as teclas que digita e interpretando 
os resultados que a máquina mostra. 
8.2.3 Aplicações
a) Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais iguais 
a R$ 250,00 sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 3% ao mês.
Solução por aplicação direta da fórmula:
 A = R . 
( )
.( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Substituindo os valores numéricos, temos:
 A = 250 . ( / )
. ( / )
1 3 100 1
3
100
1 3 100
13
13
+ −
+
 = R$ 2.658,74
• Sugestão de cálculo
— Calculadora algébrica:
Numerador: 3 ÷ 100 + 1 = yx 13 = - 1 = x 250 = 117,13343
Denominador: 3 ÷ 100 + 1 = yx 13 = x 3 ÷ 100 = 0,04406
Resultado: 117,13343/0,04406 = 2.658,74 
— Calculadora RPN (HP12C):
 3 ENTER 100 ÷ 1 + 13 yx 1 - 250 x 3 ENTER 100 ÷ 1 + 13 yx 3 x 100 ÷ ÷ 
Cálculo por meio da calculadora HP12C:
250 CHS PMT - 250,00
13 n 13,00
3 i 3,00
PV 2.658,74
A sequência de operação é padrão: dado, tecla, visor da calculadora. Lembre-se de que a incógnita a 
ser calculada deverá ficar por último. 
Resposta: o valor à vista será de R$ 2.658,74. 
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Nos casos de quocientes indicados, você sempre poderá calcular separadamente o numerador e o 
denominador, dividindo-os para encontrar o resultado. Anote sempre esses valores com todos os dígitos, 
ou use a memória da calculadora.
A HP12C tem vinte memórias de acesso direto pelas teclas STO (Storage), para guardar valores 
na memória, e RCL (ReCalL), para recuperar valores da memória. Essas teclas devem ser seguidas do 
número da memória que você quer acessar. Por exemplo, STO 0 guarda o conteúdo do visor na memória 
número 0. Para trazer de volta esse valor, use RCL 0. São dez memórias de 0 a 9 mais dez, de .0 a .9
A vantagem do uso da memória está no fato de que os números serão guardados com todos os seus 
dígitos, independentemente do número de dígitos mostrado no visor. Essa característica evita a perda 
de precisão com o uso da memória.
 Lembrete
O uso de uma calculadora não é intuitivo, e você pode ter alguma 
dificuldade no início.
 Observação
Procure não perder de vista os conceitos básicos, para não se tornar 
refém da máquina. Você é quem toma as decisões.
b) Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida com valor à vista 
de R$ 5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em quinze pagamentos mensais iguais, sem entrada?
Solução por aplicação direta da fórmula:
A = R . ( )
.( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Substituindo os valores numéricos, temos: 
5.000 = R . 
( / )
. ( / )
1 5 100 1
5
100
1 5 100
15
15
+ −
+
R = 5.000 / 
( / )
. ( / )
1 5 100 1
5
100
1 5 100
15
15
+ −
+
R = R$ 481,71
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 Observação
Nesse caso, calcule primeiro o quociente e depois divida 5.000 pelo 
resultado. 
Cálculo por meio da calculadora HP12C:
5.000 CHS PV - 5.000,00
15 n 15,00
5 i 5,00
PMT 481,71
Resposta: o valor da prestação será de R$ 481,71.
c) Calcule o valor à vista do financiamento que quita (paga) um bem em doze pagamentos mensais 
iguais a R$ 500,00 sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 5% ao mês.
Solução por aplicação direta da fórmula:
 A = R . 
( )
.( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Substituindo os valores numéricos, temos: 
 A = 500 . 
( / )
. ( / )
1 5 100 1
5
100
1 5 100
12
12
+ −
+
 = R$ 4.431,63
Cálculo por meio da calculadora HP12C:
500 CHS PMT - 500,00
5 i 5,00
12 n 12,00
PV 4.431,63
Resposta: o valor à vista será de R$ 4.431,63. 
d) Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida com valor à 
vista de R$ 50.000,00, a juros compostos de 4% ao mês, em vinte pagamentos mensais iguais, sem 
entrada?
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Solução por aplicação direta da fórmula:
A = R . ( )
. ( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Substituindo os valores numéricos, temos:
50.000 = R . ( / )
. ( / )
1 4 100 1
4
1001 4 100
20
20
+ −
+
R = 50.000 / 
( / )
. ( / )
1 4 100 1
4
100
1 4 100
20
20
+ −
+
R = R$ 3.679,09
Cálculo por meio da calculadora HP12C:
50000 CHS PV - 50.000,00
20 n 20,00
4 i 4,00
PMT 3.679,09
Resposta: o valor da prestação será de R$ 3.679,09. 
e) Um professor compra um terreno dando R$ 10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais 
consecutivas e iguais de R$ 500,00. Sabendo que o banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, 
determine o valor à vista do imóvel. 
Solução por meio da soma da entrada com o valor à vista da série:
VA = 10.000 + R . 
( )
.( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Substituindo os valores numéricos, temos:
VA = 10.000 + 500 . 
( , / )
, / .( , / )
1 2 5 100 1
2 5 100 1 2 5 100
36
36
+ −
+
VA = R$ 21.778,13
Cálculo por meio da calculadora HP12C:
500 CHS PMT - 500,00
36 n 36,00
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2,5 i 2,50
PV 11.778,13
10.000 + 21.778,13
Resposta: o valor à vista foi de R$ 21.778,13. 
 Observação
Tome cuidado com o valor da entrada. Quando você financia, esse valor 
deve ser tirado do preço do bem, e quando calcula o valor à vista, deve 
somá-lo ao valor à vista do financiamento. 
 Lembrete
A entrada é um valor da data zero.
f) Calcule o valor à vista de um bem pago em dez prestações mensais consecutivas e iguais de 
R$ 500,00 sem entrada, em um financiamento feito a juros compostos de 5% ao mês.
Solução obtida aplicando diretamente a fórmula do valor à vista da série:
A = R . 
( )
. ( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Aplicando os valores numéricos, temos:
A = 500 . 
( , )
, . ( , )
1 0 05 1
0 05 1 0 05
10
10
+ −
+
A = R$ 3.860,87
Cálculo por meio da calculadora HP12C:
500 CHS PMT - 500,00
10 n 10,00
5 i 5,00
PV 3.860,87
Resposta: o valor à vista será de R$ 3.860,87.
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g) Um relógio custa R$ 1.500,00 à vista, podendo ser pago com uma entrada de 20% do valor à vista 
mais dez prestações mensais consecutivas e iguais. Calcule o valor do pagamento mensal, sabendo que 
a financeira cobra juros compostos de 2% a.m. 
Cálculo da entrada:
0,20 x 1500 = 300
Com R$ 300,00 de entrada, a loja deverá financiar: 1500 - 300= 1200. 
Aplicação da fórmula do valor à vista:
A = R . ( )
. ( )
1 1
1
+ −
+
i
i i
n
n
Substituição dos valores numéricos:
1200 = R . ( , )
, . ( , )
1 0 02 1
0 02 1 0 02
10
10
+ −
+
1200 = R x 8,9826
R = 1200/8,9826
R = R$ 133,59
Cálculo por meio da calculadora HP12C:
1.200 CHS PV - 1.200,00
10 n 10,00
2 i 2,00
PMT 133,59
Resposta: o pagamento mensal será de R$ 133,59.
 Observação
Não se preocupe com a aparente complexidade desses cálculos. Você 
deverá repeti-los tantas vezes que vai se familiarizar com eles.
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8.2.4 Fórmula do valor futuro ou montante (S) 
O conceito de valor futuro ou montante é aplicado toda vez que temos uma série de aplicações 
com o objetivo de construir um valor futuro, em uma data determinada. Na prática, podemos ter uma 
poupança programada em que o investidor aplica todo mês, no mesmo dia, determinado valor. Uma 
figura muito popular desse tipo de operação é a poupança para financiamento imobiliário, em que o 
poupador tem como objetivo comprar um imóvel financiado; a entrada é constituída por meio de uma 
série de rendas. 
Esse valor futuro ou montante da série de rendas poderia ser calculado por meio da definição, 
corrigindo-se termo a termo cada um dos valores dos depósitos para a data do último depósito e 
somando-os nessa data. Lembre-se de que somente podemos somar valores na mesma data, não fazendo 
sentido somar valores vinculados a datas diferentes. Esse procedimento seria, no entanto, impraticável 
para uma série com um grande número de termos. Vamos estabelecer uma fórmula que efetue todo 
esse cálculo para nós. Adotando S para denominar o montante da série, poderíamos escrever, de acordo 
com a definição:
S = R i R i R i R i Rn n.( ) .( ) ... .( ) .( )1 1 1 11 2 2+ + + + + + + + +− −
 Observação
Essa correção de cada termo é feita por meio da fórmula do montante, à 
taxa de juros que remunera aplicação, no prazo que vai da data do depósito 
até a data do último depósito. 
Fatorando e simplificando a expressão, teremos:
S R
i
i
n
=
+ −
.
( )1 1
Também no caso do montante da série, você poderá efetuar os cálculos por meio das funções da 
calculadora financeira.
A correspondência entre os parâmetros teóricos e as teclas é parecida com aquela do cálculo do 
valor à vista.
Montante (M) FV
Taxa de remuneração (i) i
Número de depósitos (n) n
Valor dos depósitos (R) PMT
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Nesse caso, temos uma operação de cálculo do montante ou valor futuro FV de uma série de 
depósitos ou aplicações, corrigidos por uma taxa i até a data da última aplicação.
Veja exemplos do cálculo dessa operação por meio da HP12C:
1. Calcule o montante composto de uma série de oito aplicações mensais consecutivas e iguais de 
R$ 500,00, em uma instituição que paga juros compostos de 2% ao mês, sem que haja nenhuma retirada.
Dados da questão:
n = 8
R = R$ 500,00
i = 2%
S = ?
Cálculos:
8 n 8,00
500 CHS PMT - 500,00
2 i 2,00
FV 4.291,48
Resposta: o montante composto da série de rendas será de R$ 4.291,48. 
2. Quanto terei de depositar mensalmente em uma instituição que paga juros compostos de 4% ao 
mês para ter, não fazendo nenhuma retirada, ao fim de vinte depósitos, um montante de R$ 10.000,00?
4 i 4,00
20 n 20,00
10000 CHS FV - 10.000,00
PMT 335,82
Resposta: o valor depositado será de R$ 335,82.
As condições de trabalho com a HP12C são as mesmas para o valor à vista e o montante, mudando 
apenas os dados. 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
 Lembrete
FV é a sigla de valor futuro (em inglês, Future Value).
Não se preocupe com esse aparente excesso de informações: aos poucos, você irá se acostumando e 
trabalhando naturalmente com a calculadora financeira.
Algumas planilhas eletrônicas trazem como rotinas as funções da calculadora financeira, para 
facilitar seu uso nessa área.
Você percebeu que o cálculo por meio das funções financeiras da calculadora é muito mais simples e 
rápido. Toda vez que a prioridade for o resultado dos cálculos, deveremos lançar mão de uma calculadora 
financeira.
8.2.5 Aplicações
a) Quanto terei de montante ao fim de cinquenta depósitos mensais iguais a R$ 300,00 em uma 
instituição que remunera as aplicações a juros compostos de 3% ao mês, se não fizer nenhuma retirada? 
Solução pela fórmula do montante da série:
S R
i
i
n
=
+ −
.
( )1 1
Substituindo os valores numéricos, temos:
S =
+ −
300
1 0 03 1
0 03
50
.
( , )
,
S = R$ 33.839,06
• Sugestão de cálculos
— Calculadora algébrica
3 ÷ 100 + 1 = yx 50 = - 1= x 300 ÷ 0,03 =
— Calculadora RPN (HP12C)
3 ENTER 100 ÷ 1 + 50 yx 1 - 0,03 ÷ 300 x
— Cálculo por meio da calculadora HP12C:
 3 i 3,00
 50 n 50,00
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